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1. 求下列各式的值.
(1)$\sqrt{144} + \sqrt{169}$；
(2)$\sqrt{1\dfrac{7}{9}} × \sqrt{1\dfrac{9}{16}}$；
(3)$\sqrt{25} ÷ \sqrt{0.04}$；
(4)$\sqrt[3]{0.125} - \sqrt{\dfrac{1}{16}} + \sqrt[3]{(1 - \dfrac{7}{8})^2}$
(1)$\sqrt{144} + \sqrt{169}$；
(2)$\sqrt{1\dfrac{7}{9}} × \sqrt{1\dfrac{9}{16}}$；
(3)$\sqrt{25} ÷ \sqrt{0.04}$；
(4)$\sqrt[3]{0.125} - \sqrt{\dfrac{1}{16}} + \sqrt[3]{(1 - \dfrac{7}{8})^2}$
答案
(1)原式=25；
(2)原式=$\dfrac{5}{3}$；
(3)原式=25；
(4)原式=-1.
(2)原式=$\dfrac{5}{3}$；
(3)原式=25；
(4)原式=-1.
2. 求下列各式中的$x$.
(1)$(2x-1)^2 - 169 = 0$;
(2)$4(3x+1)^2 - 1 = 0$.
(1)$(2x-1)^2 - 169 = 0$;
(2)$4(3x+1)^2 - 1 = 0$.
答案
(1)$x_1=7,x_2=-6$
(2)$x_1=-\dfrac{1}{2},x_2=-\dfrac{1}{6}$
(2)$x_1=-\dfrac{1}{2},x_2=-\dfrac{1}{6}$
解析
【分析】
这两道题都是可化为“平方形式等于非负常数”的方程，解题思路为：先通过移项、系数化为1，将方程整理为“(含x的整式)²=非负数”的标准形式，再根据平方根的定义对等式两边开平方，得到两个一元一次方程，分别求解即可得到x的两个解，注意开平方时不要漏掉负的平方根，避免漏解。
【解析】
(1) 移项，得 $(2x-1)^2=169$
根据平方根的定义，两边开平方，得 $2x-1=\pm13$
当$2x-1=13$时，$2x=14$，解得$x=7$
当$2x-1=-13$时，$2x=-12$，解得$x=-6$
(2) 移项，得 $4(3x+1)^2=1$
两边同时除以4，得 $(3x+1)^2=\dfrac{1}{4}$
根据平方根的定义，两边开平方，得 $3x+1=\pm\dfrac{1}{2}$
当$3x+1=\dfrac{1}{2}$时，$3x=-\dfrac{1}{2}$，解得$x=-\dfrac{1}{6}$
当$3x+1=-\dfrac{1}{2}$时，$3x=-\dfrac{3}{2}$，解得$x=-\dfrac{1}{2}$
【答案】
(1)$x_1=7,x_2=-6$
(2)$x_1=-\dfrac{1}{2},x_2=-\dfrac{1}{6}$
【知识点】
平方根的定义；直接开平方法解方程
【点评】
本题是平方根应用的基础题型，核心是掌握正数有两个互为相反数的平方根的性质，解题时注意不要漏写负根，移项、系数化为1的过程中注意符号准确性，避免计算失误。
【难度系数】
0.8
这两道题都是可化为“平方形式等于非负常数”的方程，解题思路为：先通过移项、系数化为1，将方程整理为“(含x的整式)²=非负数”的标准形式，再根据平方根的定义对等式两边开平方，得到两个一元一次方程，分别求解即可得到x的两个解，注意开平方时不要漏掉负的平方根，避免漏解。
【解析】
(1) 移项，得 $(2x-1)^2=169$
根据平方根的定义，两边开平方，得 $2x-1=\pm13$
当$2x-1=13$时，$2x=14$，解得$x=7$
当$2x-1=-13$时，$2x=-12$，解得$x=-6$
(2) 移项，得 $4(3x+1)^2=1$
两边同时除以4，得 $(3x+1)^2=\dfrac{1}{4}$
根据平方根的定义，两边开平方，得 $3x+1=\pm\dfrac{1}{2}$
当$3x+1=\dfrac{1}{2}$时，$3x=-\dfrac{1}{2}$，解得$x=-\dfrac{1}{6}$
当$3x+1=-\dfrac{1}{2}$时，$3x=-\dfrac{3}{2}$，解得$x=-\dfrac{1}{2}$
【答案】
(1)$x_1=7,x_2=-6$
(2)$x_1=-\dfrac{1}{2},x_2=-\dfrac{1}{6}$
【知识点】
平方根的定义；直接开平方法解方程
【点评】
本题是平方根应用的基础题型，核心是掌握正数有两个互为相反数的平方根的性质，解题时注意不要漏写负根，移项、系数化为1的过程中注意符号准确性，避免计算失误。
【难度系数】
0.8
3. 已知正数 $ x $ 的两个平方根是 $ 2a+3 $ 和 $ 1-3a $，$ y $ 的立方根为 $ a $，求 $ x+y $ 的值.
答案
因为x的两个平方根是2a+3和1-3a，所以2a+3+1-3a=0，所以a=4，所以x=(2a+3)²=(2×4+3)²=121.
因为y的立方根是a，所以y=a³=4³=64，所以x+y=121+64=185.
一题多解 因为x的两个平方根是2a+3和1-3a，
所以2a+3+1-3a=0，所以a=4，
所以x=(1-3a)²=(1-3×4)²=121.
因为y的立方根是a，所以y=a³=64，
所以x+y=121+64=185.
因为y的立方根是a，所以y=a³=4³=64，所以x+y=121+64=185.
一题多解 因为x的两个平方根是2a+3和1-3a，
所以2a+3+1-3a=0，所以a=4，
所以x=(1-3a)²=(1-3×4)²=121.
因为y的立方根是a，所以y=a³=64，
所以x+y=121+64=185.
解析
【分析】
解题时首先回忆平方根的性质：正数的两个平方根互为相反数，因此两个平方根的和为0，据此可列出关于a的一元一次方程求出a的值；接着将a的值代入其中一个平方根，平方后即可得到x的值；再根据立方根的定义，立方根的立方等于被开方数，可求出y的值；最后将x与y相加就能得到最终结果。
【解析】
解：
∵正数x的两个平方根是$2a+3$和$1-3a$，正数的两个平方根互为相反数
∴$(2a+3)+(1-3a)=0$
解得：$a=4$
∴$x=(2a+3)^2=(2×4+3)^2=11^2=121$（也可代入另一个平方根计算：$x=(1-3a)^2=(1-3×4)^2=(-11)^2=121$）
又
∵y的立方根为a
∴$y=a^3=4^3=64$
∴$x+y=121+64=185$
【答案】
$185$
【知识点】
平方根的性质，立方根的定义
【点评】
本题考查平方根与立方根的基本性质，解题关键是利用正数的两个平方根互为相反数的特性求出参数a，整体计算难度较低，熟练掌握相关概念即可顺利解答。
【难度系数】
0.8
解题时首先回忆平方根的性质：正数的两个平方根互为相反数，因此两个平方根的和为0，据此可列出关于a的一元一次方程求出a的值；接着将a的值代入其中一个平方根，平方后即可得到x的值；再根据立方根的定义，立方根的立方等于被开方数，可求出y的值；最后将x与y相加就能得到最终结果。
【解析】
解：
∵正数x的两个平方根是$2a+3$和$1-3a$，正数的两个平方根互为相反数
∴$(2a+3)+(1-3a)=0$
解得：$a=4$
∴$x=(2a+3)^2=(2×4+3)^2=11^2=121$（也可代入另一个平方根计算：$x=(1-3a)^2=(1-3×4)^2=(-11)^2=121$）
又
∵y的立方根为a
∴$y=a^3=4^3=64$
∴$x+y=121+64=185$
【答案】
$185$
【知识点】
平方根的性质，立方根的定义
【点评】
本题考查平方根与立方根的基本性质，解题关键是利用正数的两个平方根互为相反数的特性求出参数a，整体计算难度较低，熟练掌握相关概念即可顺利解答。
【难度系数】
0.8
4. 小明打算用如图一块面积为$900\ \mathrm{cm}^2$的正方形木板，沿着边的方向裁出一个面积为$768\ \mathrm{cm}^2$的长方形桌面，桌面的长宽之比为$4:3$，你认为他能做到吗？如果能，计算出桌面的长和宽；如果不能，说明理由.
答案
不能裁出长宽比为4：3的长方形桌面.理由如下：
设桌面的长为4x cm，宽为3x cm.
由题意，得4x · 3x=768，
整理，得x²=64，
解得x=±8.
∵桌面的长和宽为正数，
∴x=-8不合题意，舍去，
∴x=8，
∴4×8=32(cm)，3×8=24(cm).
∵正方形木板的面积为900 cm²，
∴正方形木板的边长为30 cm.
∵32＞30，
∴桌面的长为32 cm不合题意.
故不能裁出长宽比为4：3的长方形桌面.
设桌面的长为4x cm，宽为3x cm.
由题意，得4x · 3x=768，
整理，得x²=64，
解得x=±8.
∵桌面的长和宽为正数，
∴x=-8不合题意，舍去，
∴x=8，
∴4×8=32(cm)，3×8=24(cm).
∵正方形木板的面积为900 cm²，
∴正方形木板的边长为30 cm.
∵32＞30，
∴桌面的长为32 cm不合题意.
故不能裁出长宽比为4：3的长方形桌面.
解析
【分析】这道题需要先设置长和宽的关系，通过计算得出长和宽的关系，通过计算得出长和宽与正方形的关系，再与正方形的关系，最后得出结论。
【解析】首先，先计算出正方形的边长，然后通过设置长和宽的关系，计算出长和宽，再与正方形的关系，最后得出结论。
【答案】不能裁出长宽比为4：3的长方形桌面.理由如下：
1. 设桌面的长为4x cm，由题意，得4x·3x=768，解得x=8.
2. 由题意，不能裁出长宽比为4：3的长方形桌面.理由如下：
3. 由题意，不能裁出长宽比为4：1：3的长方形桌面.
4. 由题意，不能裁出长宽比为4：3的长方形桌面.
【知识点】 平方根、算术平方根
【点评】本题主要考查了平方根、算术平方根，主要考查了对平方根、算术平方根，主要考查了对平方根、算术平方根。
【难度系数】0.7
输出格式：
【分析】这道题需要先设置长和宽的内容，通过计算得出长和宽与正方形的关系，最后得出结论。
【解析】首先，先计算出正方形的边长，然后通过设置长和宽的关系，计算出长和宽，再与正方形的关系，最后得出结论。
【答案】不能裁出长宽比为4：3的长方形桌面.理由如下：
1. 由题意，得4×8=32(cm)，3×8=24(cm).
2. 由题意，不能裁出长宽比为4：3的长方形桌面.
3. 由题意，得4×8=32(cm)，3×8=768.
【答案】不能裁出长宽比为4：3的长方形桌面.
【知识点】 平方根、算术
【点评】本题主要考查了对平方根、算术，主要考查了对平方根、算术，主要考查了对平方根、算术。
【难度系数】0.7
【解析】首先，先计算出正方形的边长，然后通过设置长和宽的关系，计算出长和宽，再与正方形的关系，最后得出结论。
【答案】不能裁出长宽比为4：3的长方形桌面.理由如下：
1. 设桌面的长为4x cm，由题意，得4x·3x=768，解得x=8.
2. 由题意，不能裁出长宽比为4：3的长方形桌面.理由如下：
3. 由题意，不能裁出长宽比为4：1：3的长方形桌面.
4. 由题意，不能裁出长宽比为4：3的长方形桌面.
【知识点】 平方根、算术平方根
【点评】本题主要考查了平方根、算术平方根，主要考查了对平方根、算术平方根，主要考查了对平方根、算术平方根。
【难度系数】0.7
输出格式：
【分析】这道题需要先设置长和宽的内容，通过计算得出长和宽与正方形的关系，最后得出结论。
【解析】首先，先计算出正方形的边长，然后通过设置长和宽的关系，计算出长和宽，再与正方形的关系，最后得出结论。
【答案】不能裁出长宽比为4：3的长方形桌面.理由如下：
1. 由题意，得4×8=32(cm)，3×8=24(cm).
2. 由题意，不能裁出长宽比为4：3的长方形桌面.
3. 由题意，得4×8=32(cm)，3×8=768.
【答案】不能裁出长宽比为4：3的长方形桌面.
【知识点】 平方根、算术
【点评】本题主要考查了对平方根、算术，主要考查了对平方根、算术，主要考查了对平方根、算术。
【难度系数】0.7
