1. 求下列各数的平方根和算术平方根.
(1)$324$;
(2)$\dfrac{49}{64}$;
(3)$0$;
(4)$0.014\;4$;
(5)$2\dfrac{1}{4}$;
(6)$\sqrt{81}$;
(7)$35$.

(1)±18 18
(2)±$\dfrac{7}{8}$ $\dfrac{7}{8}$
(3)0 0
(4)±0.12 0.12
(5)±$\dfrac{3}{2}$ $\dfrac{3}{2}$
(6)±3 3
(7)±$\sqrt{35}$ $\sqrt{35}$

【分析】
解题时首先明确平方根和算术平方根的定义：若$x^2=a(a≥0)$，则$x$叫做$a$的平方根，其中非负的平方根叫做$a$的算术平方根。解题步骤：①先处理待求数：带分数先化为假分数，含根号的数先化简出结果，确保被求平方根的数是最简形式；②判断数的正负，非负数才有平方根；③找到平方等于该数的数，正数的平方根是互为相反数的两个数，算术平方根取非负的那个，0的平方根和算术平方根都是0，无法开尽平方的数保留根号形式即可。
【解析】
(1) 因为$18^2=324$，所以324的平方根为$\pm\sqrt{324}=\pm18$，算术平方根为$\sqrt{324}=18$；
(2) 因为$(\frac{7}{8})^2=\frac{49}{64}$，所以$\frac{49}{64}$的平方根为$\pm\sqrt{\frac{49}{64}}=\pm\frac{7}{8}$，算术平方根为$\sqrt{\frac{49}{64}}=\frac{7}{8}$；
(3) 因为$0^2=0$，所以0的平方根为0，算术平方根为0；
(4) 因为$0.12^2=0.0144$，所以0.0144的平方根为$\pm\sqrt{0.0144}=\pm0.12$，算术平方根为$\sqrt{0.0144}=0.12$；
(5) 先将带分数化为假分数：$2\frac{1}{4}=\frac{9}{4}$，因为$(\frac{3}{2})^2=\frac{9}{4}$，所以$2\frac{1}{4}$的平方根为$\pm\sqrt{\frac{9}{4}}=\pm\frac{3}{2}$，算术平方根为$\sqrt{\frac{9}{4}}=\frac{3}{2}$；
(6) 先化简根号：$\sqrt{81}=9$，因为$3^2=9$，所以$\sqrt{81}$的平方根为$\pm\sqrt{9}=\pm3$，算术平方根为$\sqrt{9}=3$；
(7) 35不是完全平方数，所以35的平方根为$\pm\sqrt{35}$，算术平方根为$\sqrt{35}$。
【答案】
(1)±18 18
(2)±$\dfrac{7}{8}$ $\dfrac{7}{8}$
(3)0 0
(4)±0.12 0.12
(5)±$\dfrac{3}{2}$ $\dfrac{3}{2}$
(6)±3 3
(7)±$\sqrt{35}$ $\sqrt{35}$
【知识点】
平方根的定义，算术平方根的定义，根式化简
【点评】
本题重点考察平方根与算术平方根的概念辨析，解题时要注意：正数有两个互为相反数的平方根，算术平方根仅指正的那个；遇到含根号的数、带分数要先化简再计算，避免因未化简直接运算出错；无法开尽平方的数要保留根号形式，属于基础概念应用题，需熟练掌握。
【难度系数】
0.75

2. 求下列各数的立方根.
(1)$-125$;
(2)(青海中考改编)$-8$;
(3)$0.343$;
(4)$\sqrt{64}$.

(1)$-5$
(2)$-2$
(3)$0.7$
(4)$2$

【分析】
求解一个数的立方根核心依据是立方根的定义：若$x^3=a$，则$x$叫做$a$的立方根，其中正数的立方根为正数，负数的立方根为负数，0的立方根为0。解题时先明确所给数的数值，对于带运算的数（如第(4)小问的$\sqrt{64}$），要先化简得到最简结果，再查找哪个数的立方等于该结果，即可得到对应立方根。
【解析】
(1) 因为$(-5)^3=-125$，根据立方根的定义，可得$-125$的立方根是$-5$；
(2) 因为$(-2)^3=-8$，根据立方根的定义，可得$-8$的立方根是$-2$；
(3) 因为$0.7^3=0.343$，根据立方根的定义，可得$0.343$的立方根是$0.7$；
(4) 先化简得$\sqrt{64}=8$，又因为$2^3=8$，根据立方根的定义，可得$\sqrt{64}$的立方根是$2$。
【答案】
(1)$-5$
(2)$-2$
(3)$0.7$
(4)$2$
【知识点】
立方根的定义，乘方运算，算术平方根化简
【点评】
本题属于基础运算类题目，主要考查立方根的求解，解题时要注意区分立方根和平方根的性质，负数也有立方根且为负数；遇到含开方运算的数时，要先化简原数再求立方根，避免漏算化简步骤导致出错。
【难度系数】
0.8

3. 已知 $ x - 6 $ 和 $ 3x + 14 $ 是 $ a $ 的两个不同的平方根，$ 2y + 2 $ 是 $ a $ 的立方根。
(1)求 $ x,y,a $ 的值；
(2)求 $ 1 - 4x $ 的平方根。

(1)由题意,得$(x-6)+(3x+14)=0$,
解得$x=-2,\therefore a=(x-6)^2=64$.
又$2y+2$是$a$的立方根,
$\therefore 2y+2=\sqrt[3]{64}=4$,
$\therefore y=1$,即$x=-2,y=1,a=64$.
(2)由(1)得$x=-2$,
$\therefore 1-4x=1-4×(-2)=9$,
$\therefore 9$的平方根为$\pm3$,
$\therefore 1-4x$的平方根为$\pm3$.

【分析】
解决第(1)问时，首先利用正数的两个不同平方根互为相反数的性质，两个平方根相加和为0，据此列方程即可求出x的值；再将x代入其中一个平方根，平方后得到a的值；最后根据立方根的定义，a的立方根唯一且等于$\sqrt[3]{a}$，因此$2y+2$等于a的立方根，列方程就能求出y的值。第(2)问只需将第(1)问求出的x代入$1-4x$算出结果，再根据平方根的定义求该数的平方根即可，注意正数的平方根有2个，互为相反数，不要漏解。
【解析】
(1) 由正数的两个不同平方根互为相反数，可得：
$(x-6)+(3x+14)=0$
整理得$4x+8=0$，解得$x=-2$
将$x=-2$代入$x-6$得$x-6=-8$，因此$a=(-8)^2=64$
$\because 2y+2$是$a$的立方根
$\therefore 2y+2=\sqrt[3]{64}=4$，解得$y=1$
即$x=-2,y=1,a=64$
(2) 把$x=-2$代入$1-4x$得：
$1-4x=1-4×(-2)=9$
$\because 9$的平方根为$\pm\sqrt{9}=\pm3$
$\therefore 1-4x$的平方根为$\pm3$
【答案】
(1) $x=-2,y=1,a=64$；(2) $\pm3$
【知识点】
平方根的性质，立方根的定义，平方根的运算
【点评】
本题属于平方根和立方根的基础应用题，解题的核心是熟记平方根与立方根的性质，注意求正数的平方根时不要遗漏负的结果。
【难度系数】
0.8

4. 将半径为12 cm的铁球熔化，重新铸造出8个半径相同的小铁球，不计损耗，则小铁球的半径是多少厘米？（球的体积公式为$V=\dfrac{4}{3}π R^{3}$）

设小铁球的半径是R cm.
根据题意,得$8× \dfrac{4}{3}π R^3=\dfrac{4}{3}π · 12^3$,
解得$R=\sqrt[3]{\dfrac{12^3}{8}}=6$.
故小铁球的半径是6 cm.

【分析】
首先明确熔化过程不计损耗时铁的总体积保持不变，即大铁球的体积等于8个小铁球的体积之和。我们可以先设小铁球的半径为未知数，再代入球的体积公式列出方程，最后通过立方根的运算求解，就能得到小铁球的半径。
【解析】
设小铁球的半径是$R$ cm。
根据熔化前后总体积相等，列方程得：
$8× \dfrac{4}{3}π R^3=\dfrac{4}{3}π × 12^3$
方程两边同时约去$\dfrac{4}{3}π$，化简得：
$8R^3=12^3$
整理得$R^3=\dfrac{12^3}{8}$，对等式两边同时开立方：
$R=\sqrt[3]{\dfrac{12^3}{8}}=\dfrac{12}{2}=6$
【答案】
6 cm
【知识点】
立方根的计算，等体积变形，列方程解应用题
【点评】
本题解题的核心是抓住“熔化前后总体积不变”这一等量关系列方程，计算时可先约去公共项简化运算，需要熟练掌握立方根的运算规则。
【难度系数】
0.8

5. 已知$(x+9)^2=169,(y-1)^3=-0.125$,求$\sqrt{x}-\sqrt{8xy}-\sqrt[3]{2y-7x}$的值.

$(x+9)^2=169$可转化为$(x+9)^2=(\pm13)^2$,两边同时开平方,得$x+9=\pm13$,解得$x=4$或$x=-22$.
$\because x＞0,\therefore x=4$.
$(y-1)^3=-0.125$可转化为$(y-1)^3=(-0.5)^3$,
两边同时开立方,得$y-1=-0.5$,解得$y=0.5$.
当$x=4,y=0.5$时,
原式$=\sqrt{4}-\sqrt{8×4×0.5}-\sqrt[3]{2×0.5-7×4}=1$.

【分析】
解题时首先根据平方根的定义求解x的取值，由于待求式中含有$\sqrt{x}$，需满足算术平方根的被开方数非负的要求，因此要舍去不符合条件的x值；再根据立方根的定义求出y的唯一取值，最后将符合条件的x、y代入待求式，按照算术平方根、立方根的运算规则依次计算即可得到结果。
【解析】
1. 求解x的值：
已知$(x+9)^2=169$，根据平方根的定义，两边同时开平方得：
$x+9=\pm13$
解得$x=4$或$x=-22$
$\because \sqrt{x}$有意义的条件是$x≥0$，$\therefore$舍去$x=-22$，得$x=4$
2. 求解y的值：
已知$(y-1)^3=-0.125$，根据立方根的定义，两边同时开立方得：
$y-1=-0.5$
解得$y=0.5$
3. 代入计算：
将$x=4$、$y=0.5$代入待求式：
$\begin{aligned}原式&=\sqrt{4}-\sqrt{8×4×0.5}-\sqrt[3]{2×0.5-7×4}\\&=2-\sqrt{16}-\sqrt[3]{-27}\\&=2-4+3\\&=1\end{aligned}$
【答案】
1
【知识点】
平方根的性质，立方根的性质，算术平方根的非负性
【点评】
本题重点考查开方运算和代数式求值，需注意平方根和立方根的运算差异：正数的平方根有两个互为相反数的结果，立方根只有唯一结果，解题时要结合隐含条件筛选合理的解，避免多解代入出错。
【难度系数】
0.7