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1. (2025·南通期末)下列各式计算结果为负数的是(
A.$3+(-2)$
B.$3-(-2)$
C.$3×(-2)$
D.$(-3)^{2}$
C
).A.$3+(-2)$
B.$3-(-2)$
C.$3×(-2)$
D.$(-3)^{2}$
答案
1.C
解析
【分析】要确定哪个式子的计算结果为负数，需依据有理数的运算法则，分别计算每个选项中式子的结果，再判断结果的正负性即可。
【解析】
根据有理数的运算法则逐一计算各选项：
选项A：$3+(-2)=3-2=1$，结果是正数，不符合要求；
选项B：$3-(-2)=3+2=5$，结果是正数，不符合要求；
选项C：$3×(-2)=-6$，结果是负数，符合要求；
选项D：$(-3)^2=(-3)×(-3)=9$，结果是正数，不符合要求；
综上，答案为C。
【答案】C
【知识点】有理数的四则运算、有理数的乘方
【点评】本题考查有理数的基本运算，属于基础题型，解题关键是熟练掌握有理数的加、减、乘、乘方的运算法则，通过计算各选项结果即可快速得出答案，难度较低。
【难度系数】0.8
【解析】
根据有理数的运算法则逐一计算各选项：
选项A：$3+(-2)=3-2=1$，结果是正数，不符合要求；
选项B：$3-(-2)=3+2=5$，结果是正数，不符合要求；
选项C：$3×(-2)=-6$，结果是负数，符合要求；
选项D：$(-3)^2=(-3)×(-3)=9$，结果是正数，不符合要求；
综上，答案为C。
【答案】C
【知识点】有理数的四则运算、有理数的乘方
【点评】本题考查有理数的基本运算，属于基础题型，解题关键是熟练掌握有理数的加、减、乘、乘方的运算法则，通过计算各选项结果即可快速得出答案，难度较低。
【难度系数】0.8
2. (2025·南通启东期末)下列结果最小的是(
A.$-3-\dfrac{1}{2}$
B.$-3+\dfrac{1}{2}$
C.$-3×(-\dfrac{1}{2})$
D.$-3÷(-\dfrac{1}{2})$
A
).A.$-3-\dfrac{1}{2}$
B.$-3+\dfrac{1}{2}$
C.$-3×(-\dfrac{1}{2})$
D.$-3÷(-\dfrac{1}{2})$
答案
2.A
解析
【分析】要找出结果最小的选项，需先分别计算每个选项的运算结果，再根据有理数大小比较的规则排序，最小结果对应的选项即为答案。
【解析】分别计算各选项：
A选项：$-3 - \frac{1}{2} = -\frac{7}{2} = -3.5$；
B选项：$-3 + \frac{1}{2} = -\frac{5}{2} = -2.5$；
C选项：$-3 × (-\frac{1}{2}) = \frac{3}{2} = 1.5$；
D选项：$-3 ÷ (-\frac{1}{2}) = -3 × (-2) = 6$；
比较四个结果：$-3.5 ＜ -2.5 ＜ 1.5 ＜ 6$，因此结果最小的是A选项。
【答案】A
【知识点】有理数的加减乘除运算；有理数大小比较
【点评】本题考查有理数的基本运算与大小比较，属于基础题，只需准确计算各选项结果即可快速得出答案，难度较低。
【难度系数】0.6
【解析】分别计算各选项：
A选项：$-3 - \frac{1}{2} = -\frac{7}{2} = -3.5$；
B选项：$-3 + \frac{1}{2} = -\frac{5}{2} = -2.5$；
C选项：$-3 × (-\frac{1}{2}) = \frac{3}{2} = 1.5$；
D选项：$-3 ÷ (-\frac{1}{2}) = -3 × (-2) = 6$；
比较四个结果：$-3.5 ＜ -2.5 ＜ 1.5 ＜ 6$，因此结果最小的是A选项。
【答案】A
【知识点】有理数的加减乘除运算；有理数大小比较
【点评】本题考查有理数的基本运算与大小比较，属于基础题，只需准确计算各选项结果即可快速得出答案，难度较低。
【难度系数】0.6
3. (2024·甘肃白银期末) 对于有理数 $a,b$，定义一种新运算，规定 $a\mathrm{☆}b=a^{2}-|b|$，则 $2\mathrm{☆}$ $(-3)=$
1
。答案
3.1
解析
【分析】本题是新定义运算题，首先明确新运算“☆”的规则：对于有理数a、b，a☆b等于a的平方减去b的绝对值。计算2☆(-3)时，需将a=2、b=-3代入该规则，分别计算a²和|b|，再求两者的差。
【解析】根据新运算定义a☆b = a² - |b|，将a=2，b=-3代入得：
2☆(-3) = 2² - |-3| = 4 - 3 = 1
【答案】1
【知识点】新定义运算、有理数的乘方、绝对值
【点评】本题考查对新定义运算的理解与基础运算能力，核心是准确代入对应数值，正确计算绝对值和乘方，属于基础题型，难度较低。
【难度系数】0.7
【解析】根据新运算定义a☆b = a² - |b|，将a=2，b=-3代入得：
2☆(-3) = 2² - |-3| = 4 - 3 = 1
【答案】1
【知识点】新定义运算、有理数的乘方、绝对值
【点评】本题考查对新定义运算的理解与基础运算能力，核心是准确代入对应数值，正确计算绝对值和乘方，属于基础题型，难度较低。
【难度系数】0.7
4. 教材 P60 例4·变式 计算：
(1) $-2^{4}+(3-7)^{2}-2$；
(2) $(\dfrac{1}{2}+\dfrac{5}{6}-\dfrac{7}{12})÷(-\dfrac{1}{6})^{2}.$
(1) $-2^{4}+(3-7)^{2}-2$；
(2) $(\dfrac{1}{2}+\dfrac{5}{6}-\dfrac{7}{12})÷(-\dfrac{1}{6})^{2}.$
答案
4.(1)原式$=-16+(-4)^2-2=-16+16-2=0-2=-2.$
(2)原式$=(\dfrac{1}{2}+\dfrac{5}{6}-\dfrac{7}{12})÷ \dfrac{1}{36}=(\dfrac{1}{2}+\dfrac{5}{6}-\dfrac{7}{12})× 36=\dfrac{1}{2}× 36+\dfrac{5}{6}× 36-\dfrac{7}{12}× 36=18+30-21=27.$
(2)原式$=(\dfrac{1}{2}+\dfrac{5}{6}-\dfrac{7}{12})÷ \dfrac{1}{36}=(\dfrac{1}{2}+\dfrac{5}{6}-\dfrac{7}{12})× 36=\dfrac{1}{2}× 36+\dfrac{5}{6}× 36-\dfrac{7}{12}× 36=18+30-21=27.$
解析
【分析】本题是有理数的混合运算，需遵循“先乘方，再乘除，最后加减，有括号先算括号内”的运算顺序。第(1)题先计算乘方，再按顺序进行加减运算；第(2)题先算乘方，将除法转化为乘法后，利用乘法分配律简化计算，需注意运算符号和运算律的正确应用。
【解析】
(1) 先计算乘方：$-2^4 = -16$，$(3-7)^2 = (-4)^2 = 16$，再计算加减：
原式$=-16 + 16 - 2 = 0 - 2 = -2$；
(2) 先计算乘方：$(-\frac{1}{6})^2 = \frac{1}{36}$，将除法转化为乘法：
原式$=(\frac{1}{2} + \frac{5}{6} - \frac{7}{12}) ÷ \frac{1}{36} = (\frac{1}{2} + \frac{5}{6} - \frac{7}{12}) × 36$，
利用乘法分配律计算：
$=\frac{1}{2} × 36 + \frac{5}{6} × 36 - \frac{7}{12} × 36 = 18 + 30 - 21 = 27$；
【答案】(1) $-2$；(2) $27$
【知识点】有理数的混合运算、乘方运算、乘法分配律
【点评】本题是教材例题的基础变式题，重点考查有理数混合运算的运算顺序和运算律的应用，需注意区分$-2^4$与$(-2)^4$的符号差异，合理运用运算律可简化计算，是有理数运算的核心基础题型。
【难度系数】0.7
【解析】
(1) 先计算乘方：$-2^4 = -16$，$(3-7)^2 = (-4)^2 = 16$，再计算加减：
原式$=-16 + 16 - 2 = 0 - 2 = -2$；
(2) 先计算乘方：$(-\frac{1}{6})^2 = \frac{1}{36}$，将除法转化为乘法：
原式$=(\frac{1}{2} + \frac{5}{6} - \frac{7}{12}) ÷ \frac{1}{36} = (\frac{1}{2} + \frac{5}{6} - \frac{7}{12}) × 36$，
利用乘法分配律计算：
$=\frac{1}{2} × 36 + \frac{5}{6} × 36 - \frac{7}{12} × 36 = 18 + 30 - 21 = 27$；
【答案】(1) $-2$；(2) $27$
【知识点】有理数的混合运算、乘方运算、乘法分配律
【点评】本题是教材例题的基础变式题，重点考查有理数混合运算的运算顺序和运算律的应用，需注意区分$-2^4$与$(-2)^4$的符号差异，合理运用运算律可简化计算，是有理数运算的核心基础题型。
【难度系数】0.7
5. 中考新考法 新定义问题 定义：一种对于三位数$\overline{abc}$(其中$a$在百位，$b$在十位，$c$在个位，$a$，$b$，$c$不完全相同)的“$F$运算”：重排$\overline{abc}$的三个数位上的数字，计算所得最大三位数和最小三位数的差(允许百位数字为零)，例如$\overline{abc}=463$时，则
$\boxed{463}\xrightarrow{F\mathrm{运算}}\boxed{297}\ (643 - 346 = 297)\xrightarrow{F\mathrm{运算}}\boxed{693}\ (972 - 279 = 693)$
经过大量运算，我们发现任意一个三位数经过若干次“$F$运算”都会得到一个固定不变的值；类比联想到：任意一个四位数经过若干次这样的“$F$运算”也会得到一个定值，这个定值为(
A.$4\ 159$
B.$6\ 419$
C.$5\ 179$
D.$6\ 174$
$\boxed{463}\xrightarrow{F\mathrm{运算}}\boxed{297}\ (643 - 346 = 297)\xrightarrow{F\mathrm{运算}}\boxed{693}\ (972 - 279 = 693)$
经过大量运算，我们发现任意一个三位数经过若干次“$F$运算”都会得到一个固定不变的值；类比联想到：任意一个四位数经过若干次这样的“$F$运算”也会得到一个定值，这个定值为(
D
).A.$4\ 159$
B.$6\ 419$
C.$5\ 179$
D.$6\ 174$
答案
5.D 解析 因为任意一个四位数经过若干次这样的“F运算”也会得到一个定值，且只要四个数字不完全相同就符合题意，
所以设这个四位数字为1 000，依次进行“F运算”，得
①1 000−0 001=0 999；②9 990−0 999=8 991；
③9 981−1 899=8 082；④8 820−0 288=8 532；
⑤8 532−2 358=6 174；⑥7 641−1 467=6 174；…
所以这个定值为6 174. 故选D.
关键提醒 本题考查了新定义在有理数的混合运算中的应用，读懂题中的规则并选取相对简单的任意四位数是解题的关键.
所以设这个四位数字为1 000，依次进行“F运算”，得
①1 000−0 001=0 999；②9 990−0 999=8 991；
③9 981−1 899=8 082；④8 820−0 288=8 532；
⑤8 532−2 358=6 174；⑥7 641−1 467=6 174；…
所以这个定值为6 174. 故选D.
关键提醒 本题考查了新定义在有理数的混合运算中的应用，读懂题中的规则并选取相对简单的任意四位数是解题的关键.
解析
【分析】
要解决这个问题，需先明确四位数的“F运算”规则：重排四位数的四个数字，得到最大四位数和最小四位数（允许高位为0），计算两者的差。题目指出任意四位数经若干次F运算会得到定值，因此可选取简单的四位数（如1000，含0便于运算），按规则逐步进行F运算，直到结果不再变化，即可找到该定值。
【解析】
选取四位数1000，按“F运算”规则逐步计算：
1. 第一次运算：重排1000的数字，最大四位数为1000，最小四位数为0001（即1），差为 $1000 - 1 = 999$；
2. 第二次运算：重排999的数字，最大四位数为9990，最小四位数为0999（即999），差为 $9990 - 999 = 8991$；
3. 第三次运算：重排8991的数字，最大四位数为9981，最小四位数为1899，差为 $9981 - 1899 = 8082$；
4. 第四次运算：重排8082的数字，最大四位数为8820，最小四位数为0288（即288），差为 $8820 - 288 = 8532$；
5. 第五次运算：重排8532的数字，最大四位数为8532，最小四位数为2358，差为 $8532 - 2358 = 6174$；
6. 第六次运算：重排6174的数字，最大四位数为7641，最小四位数为1467，差为 $7641 - 1467 = 6174$；
此时结果不再变化，故定值为6174。
【答案】
D
【知识点】
新定义运算、有理数减法
【点评】
本题为中考新考法的新定义问题，核心是准确理解“F运算”的规则，选取简单四位数逐步运算推导，考查学生的阅读理解能力与有理数运算能力，按规则逐步计算即可得出结果。
【难度系数】
0.4
要解决这个问题，需先明确四位数的“F运算”规则：重排四位数的四个数字，得到最大四位数和最小四位数（允许高位为0），计算两者的差。题目指出任意四位数经若干次F运算会得到定值，因此可选取简单的四位数（如1000，含0便于运算），按规则逐步进行F运算，直到结果不再变化，即可找到该定值。
【解析】
选取四位数1000，按“F运算”规则逐步计算：
1. 第一次运算：重排1000的数字，最大四位数为1000，最小四位数为0001（即1），差为 $1000 - 1 = 999$；
2. 第二次运算：重排999的数字，最大四位数为9990，最小四位数为0999（即999），差为 $9990 - 999 = 8991$；
3. 第三次运算：重排8991的数字，最大四位数为9981，最小四位数为1899，差为 $9981 - 1899 = 8082$；
4. 第四次运算：重排8082的数字，最大四位数为8820，最小四位数为0288（即288），差为 $8820 - 288 = 8532$；
5. 第五次运算：重排8532的数字，最大四位数为8532，最小四位数为2358，差为 $8532 - 2358 = 6174$；
6. 第六次运算：重排6174的数字，最大四位数为7641，最小四位数为1467，差为 $7641 - 1467 = 6174$；
此时结果不再变化，故定值为6174。
【答案】
D
【知识点】
新定义运算、有理数减法
【点评】
本题为中考新考法的新定义问题，核心是准确理解“F运算”的规则，选取简单四位数逐步运算推导，考查学生的阅读理解能力与有理数运算能力，按规则逐步计算即可得出结果。
【难度系数】
0.4
6. (2025·扬州邗江区期末)已知$a,b$互为相反数，$c,d$互为倒数，且$|m|=5$，则$\dfrac{a+b}{2025}+(-cd)^{2025}+m^{2}$的值为
24
。答案
6. 24 解析 由题意，可知 $a+b=0,cd=1,m=\pm5$，
$\therefore \dfrac{a+b}{2\ 025}+(-cd)^{2\ 025}+m^{2}=\dfrac{0}{2\ 025}+(-1)^{2\ 025}+(\pm5)^{2}=0-1+25=24.$
$\therefore \dfrac{a+b}{2\ 025}+(-cd)^{2\ 025}+m^{2}=\dfrac{0}{2\ 025}+(-1)^{2\ 025}+(\pm5)^{2}=0-1+25=24.$
解析
【分析】
要解决这道题，需先掌握相反数、倒数、绝对值的核心性质：互为相反数的两数和为0，互为倒数的两数积为1，绝对值为正数的数有两个，平方后结果相同。再根据题目条件求出对应的值，代入代数式按有理数运算规则计算即可。
【解析】
解：由题意可知：
因为a、b互为相反数，所以$a + b = 0$；
因为c、d互为倒数，所以$cd = 1$；
又$|m| = 5$，所以$m^2 = (\pm5)^2 = 25$；
将上述值代入代数式：
$\dfrac{a+b}{2025} + (-cd)^{2025} + m^2 = \dfrac{0}{2025} + (-1)^{2025} + 25 = 0 - 1 + 25 = 24$
【答案】
24
【知识点】
相反数的性质、倒数的性质、有理数的混合运算
【点评】
本题为基础题型，考查相反数、倒数的基本性质及有理数运算，解题思路清晰，只要掌握相关概念即可顺利解答，适合作为期末基础检测题。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，需先掌握相反数、倒数、绝对值的核心性质：互为相反数的两数和为0，互为倒数的两数积为1，绝对值为正数的数有两个，平方后结果相同。再根据题目条件求出对应的值，代入代数式按有理数运算规则计算即可。
【解析】
解：由题意可知：
因为a、b互为相反数，所以$a + b = 0$；
因为c、d互为倒数，所以$cd = 1$；
又$|m| = 5$，所以$m^2 = (\pm5)^2 = 25$；
将上述值代入代数式：
$\dfrac{a+b}{2025} + (-cd)^{2025} + m^2 = \dfrac{0}{2025} + (-1)^{2025} + 25 = 0 - 1 + 25 = 24$
【答案】
24
【知识点】
相反数的性质、倒数的性质、有理数的混合运算
【点评】
本题为基础题型，考查相反数、倒数的基本性质及有理数运算，解题思路清晰，只要掌握相关概念即可顺利解答，适合作为期末基础检测题。
【难度系数】
0.8
7. (1)在玩“24 点”游戏时，“3,3,7,7”列式并计算为 $7×(3+\dfrac{3}{7})=7× 3+3=24$ 是依据运算律：
(2)如图，小明抽到以下4张牌：
请你帮他写出运算结果为 24 的一个算式：
(3)如果红桃、方片表示正，黑桃、梅花表示负，请你用(2)中的4张牌表示的数写出运算结果为 24 的一个算式：
乘法分配律
；(2)如图，小明抽到以下4张牌：
请你帮他写出运算结果为 24 的一个算式：
$7×(4-\dfrac{4}{7})$
；(3)如果红桃、方片表示正，黑桃、梅花表示负，请你用(2)中的4张牌表示的数写出运算结果为 24 的一个算式：
$-7×(\dfrac{-4}{-7}-4)$
.答案
7.(1)乘法分配律 (2)$7×(4-\dfrac{4}{7})$
(3)$-7×(\dfrac{-4}{-7}-4)$
素养考向 本题以扑克游戏“24点”为背景，考查了有理数的混合运算，不仅培养了学生的数学核心素养的数据观念，更进一步巩固了学生灵活运算的能力.
(3)$-7×(\dfrac{-4}{-7}-4)$
素养考向 本题以扑克游戏“24点”为背景，考查了有理数的混合运算，不仅培养了学生的数学核心素养的数据观念，更进一步巩固了学生灵活运算的能力.
解析
【分析】
本题围绕“24点”游戏展开，分三个小问题：（1）需判断运算律，回忆乘法分配律的形式即可；（2）四张牌数字为4、4、7、7，需通过四则运算（含分数）构造结果为24的算式，思路是利用“7乘24/7=24”，构造出24/7；（3）根据符号规则（方片、红桃为正，黑桃、梅花为负）确定各牌对应数字，再结合（2）的思路调整符号构造算式。
【解析】
（1）式子$7×(3+\dfrac{3}{7})=7×3 +7×\dfrac{3}{7}=21+3=24$，符合乘法分配律$a(b+c)=ab+ac$，故依据乘法分配律；
（2）四张牌数字为4、4、7、7，构造算式：$7×(4-\dfrac{4}{7})=7×\dfrac{24}{7}=24$；
（3）根据符号规则，方片4为+4，梅花4为-4，黑桃7为-7，梅花7为-7，代入构造算式：$-7×(\dfrac{-4}{-7}-4)= -7×(\dfrac{4}{7}-4)= -7×(-\dfrac{24}{7})=24$。
【答案】
(1) 乘法分配律；(2) $7×(4-\dfrac{4}{7})$；(3) $-7×(\dfrac{-4}{-7}-4)$
【知识点】
有理数混合运算、乘法分配律
【点评】
本题以趣味游戏“24点”为载体，考查有理数混合运算，要求灵活运用运算律和分数运算，培养学生的运算能力与逻辑思维，是常见的数学应用题型。
【难度系数】
0.5
本题围绕“24点”游戏展开，分三个小问题：（1）需判断运算律，回忆乘法分配律的形式即可；（2）四张牌数字为4、4、7、7，需通过四则运算（含分数）构造结果为24的算式，思路是利用“7乘24/7=24”，构造出24/7；（3）根据符号规则（方片、红桃为正，黑桃、梅花为负）确定各牌对应数字，再结合（2）的思路调整符号构造算式。
【解析】
（1）式子$7×(3+\dfrac{3}{7})=7×3 +7×\dfrac{3}{7}=21+3=24$，符合乘法分配律$a(b+c)=ab+ac$，故依据乘法分配律；
（2）四张牌数字为4、4、7、7，构造算式：$7×(4-\dfrac{4}{7})=7×\dfrac{24}{7}=24$；
（3）根据符号规则，方片4为+4，梅花4为-4，黑桃7为-7，梅花7为-7，代入构造算式：$-7×(\dfrac{-4}{-7}-4)= -7×(\dfrac{4}{7}-4)= -7×(-\dfrac{24}{7})=24$。
【答案】
(1) 乘法分配律；(2) $7×(4-\dfrac{4}{7})$；(3) $-7×(\dfrac{-4}{-7}-4)$
【知识点】
有理数混合运算、乘法分配律
【点评】
本题以趣味游戏“24点”为载体，考查有理数混合运算，要求灵活运用运算律和分数运算，培养学生的运算能力与逻辑思维，是常见的数学应用题型。
【难度系数】
0.5
