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24. (10分)请仅用无刻度的直尺在下列图1和图2中按要求作图.(补上所作图形顶点的字母,不要求写作法,但要保留作图痕迹)
(1)图1是矩形ABCD,E,F分别是AB和AD的中点,以EF为边作一个菱形;
(2)图2是矩形ABCD,E是对角线BD上任意一点(BE ＞ DE),以AE为边作一个平行四边形.
(1)图1是矩形ABCD,E,F分别是AB和AD的中点,以EF为边作一个菱形;
(2)图2是矩形ABCD,E是对角线BD上任意一点(BE ＞ DE),以AE为边作一个平行四边形.
答案
24. 【点拨】本题考查作图——复杂作图,关键是掌握矩形的性质,菱形的判定及平行四边形的判定.
【解析】(1)如图1,菱形EFGH即为所求.
(2)如图2,平行四边形AECF即为所求.(画法不唯一)
解析
【分析】
要完成这两个无刻度直尺作图，需利用矩形的中心对称性（对角线互相平分）及特殊四边形的判定定理。(1)中，矩形对角线交点是其对称中心，将EF向矩形对边延长，利用中心对称得到另外两个顶点，使四边形四边相等即可构成菱形；(2)中，利用平行四边形“对角线互相平分”的判定，结合矩形对角线互相平分的性质，在BD上取与E关于矩形中心对称的点，构造出平行四边形。
【解析】
(1) 设矩形ABCD的对角线AC、BD交于点O，连接EO并延长交BC于点H，连接FO并延长交CD于点G，连接GH，则四边形EFGH即为所求的菱形；
(2) 连接AC，交BD于点O，在BD上取点F，使OF=OE，连接AF、CF，则四边形AECF即为所求的平行四边形。
【答案】
(1) 菱形EFGH；(2) 平行四边形AECF。（作图痕迹保留，画法不唯一）
【知识点】
矩形性质，菱形判定，平行四边形判定
【点评】
本题考查无刻度直尺的复杂作图，核心是运用矩形的中心对称性和特殊四边形的判定定理，要求学生熟练掌握矩形的性质，能结合判定定理构造图形，属于中等难度的作图题。
【难度系数】
0.5
要完成这两个无刻度直尺作图，需利用矩形的中心对称性（对角线互相平分）及特殊四边形的判定定理。(1)中，矩形对角线交点是其对称中心，将EF向矩形对边延长，利用中心对称得到另外两个顶点，使四边形四边相等即可构成菱形；(2)中，利用平行四边形“对角线互相平分”的判定，结合矩形对角线互相平分的性质，在BD上取与E关于矩形中心对称的点，构造出平行四边形。
【解析】
(1) 设矩形ABCD的对角线AC、BD交于点O，连接EO并延长交BC于点H，连接FO并延长交CD于点G，连接GH，则四边形EFGH即为所求的菱形；
(2) 连接AC，交BD于点O，在BD上取点F，使OF=OE，连接AF、CF，则四边形AECF即为所求的平行四边形。
【答案】
(1) 菱形EFGH；(2) 平行四边形AECF。（作图痕迹保留，画法不唯一）
【知识点】
矩形性质，菱形判定，平行四边形判定
【点评】
本题考查无刻度直尺的复杂作图，核心是运用矩形的中心对称性和特殊四边形的判定定理，要求学生熟练掌握矩形的性质，能结合判定定理构造图形，属于中等难度的作图题。
【难度系数】
0.5
25. (10 分)如图,在$△ ABC$中,$AB=3$,$AC=4$,$BC=5$,$△ ABD$,$△ ACE$,$△ BCF$都是等边三角形.
(1)证明:四边形$AEFD$是平行四边形;
(2)求$∠ DFE$的度数.
(1)证明:四边形$AEFD$是平行四边形;
(2)求$∠ DFE$的度数.
答案
25. 【点拨】本题考查等边三角形的性质,全等三角形的判定与性质,平行四边形的判定与性质以及勾股定理的逆定理.
【解析】(1)证明:
∵ △ABD,△ACE,△BCF都是等边三角形,
∴ DB = AB = AD,BF = BC = FC,EC = AC = AE,∠ABD = ∠CBF = ∠ACE = ∠BCF = 60°,
∴ ∠DBF = ∠ABC,∠ECF = ∠ACB.
在△DBF和△ABC中,{DB = AB,∠DBF = ∠ABC,BF = BC,}
∴ △DBF ≅ △ABC(SAS),
∴ DF = AC,
∴ DF = AE.
在△EFC和△ABC中,{EC = AC,∠ECF = ∠ACB,FC = BC,}
∴ △EFC ≅ △ABC(SAS),
∴ EF = AB,
∴ EF = AD,
∴ 四边形AEFD是平行四边形.
(2)
∵ AB = 3,AC = 4,BC = 5,
∴ AB² + AC² = 3² + 4² = 25,BC² = 5² = 25,
∴ AB² + AC² = BC²,
∴ △ABC是直角三角形,∠BAC = 90°.
∵ ∠BAD = ∠CAE = 60°,
∴ ∠DAE = 360° - ∠BAD - ∠CAE - ∠BAC = 360° - 60° - 60° - 90° = 150°.
∵ 四边形AEFD是平行四边形,
∴ ∠DFE = ∠DAE = 150°.
【解析】(1)证明:
∵ △ABD,△ACE,△BCF都是等边三角形,
∴ DB = AB = AD,BF = BC = FC,EC = AC = AE,∠ABD = ∠CBF = ∠ACE = ∠BCF = 60°,
∴ ∠DBF = ∠ABC,∠ECF = ∠ACB.
在△DBF和△ABC中,{DB = AB,∠DBF = ∠ABC,BF = BC,}
∴ △DBF ≅ △ABC(SAS),
∴ DF = AC,
∴ DF = AE.
在△EFC和△ABC中,{EC = AC,∠ECF = ∠ACB,FC = BC,}
∴ △EFC ≅ △ABC(SAS),
∴ EF = AB,
∴ EF = AD,
∴ 四边形AEFD是平行四边形.
(2)
∵ AB = 3,AC = 4,BC = 5,
∴ AB² + AC² = 3² + 4² = 25,BC² = 5² = 25,
∴ AB² + AC² = BC²,
∴ △ABC是直角三角形,∠BAC = 90°.
∵ ∠BAD = ∠CAE = 60°,
∴ ∠DAE = 360° - ∠BAD - ∠CAE - ∠BAC = 360° - 60° - 60° - 90° = 150°.
∵ 四边形AEFD是平行四边形,
∴ ∠DFE = ∠DAE = 150°.
解析
【分析】要证明四边形AEFD是平行四边形，需依据“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”这一判定定理，结合等边三角形的性质，通过证明三角形全等得到对应边相等；求∠DFE的度数时，先利用勾股定理的逆定理判断△ABC为直角三角形，再结合等边三角形的角度特征算出∠DAE，最后利用平行四边形对角相等的性质求解。
【解析】(1) 证明：
∵ △ABD、△ACE、△BCF都是等边三角形，
∴ DB = AB = AD，BF = BC = FC，EC = AC = AE，∠ABD = ∠CBF = ∠ACE = ∠BCF = 60°，
∴ ∠DBF = ∠ABD - ∠ABF = ∠CBF - ∠ABF = ∠ABC，同理∠ECF = ∠ACB。
在△DBF和△ABC中，
$\{\begin{array}{l} DB = AB \\ ∠DBF = ∠ABC \\ BF = BC \end{array} $
∴ △DBF ≌ △ABC（SAS），
∴ DF = AC，又
∵ AC = AE，故DF = AE。
在△EFC和△ABC中，
$\{\begin{array}{l} EC = AC \\ ∠ECF = ∠ACB \\ FC = BC \end{array} $
∴ △EFC ≌ △ABC（SAS），
∴ EF = AB，又
∵ AB = AD，故EF = AD。
∴ 四边形AEFD的两组对边分别相等，因此四边形AEFD是平行四边形。
(2) 解：
∵ AB = 3，AC = 4，BC = 5，
∴ AB² + AC² = 3² + 4² = 25，BC² = 5² = 25，
∴ AB² + AC² = BC²，根据勾股定理的逆定理，△ABC是直角三角形，且∠BAC = 90°。
∵ △ABD、△ACE是等边三角形，
∴ ∠BAD = ∠CAE = 60°，
∴ ∠DAE = 360° - ∠BAD - ∠CAE - ∠BAC = 360° - 60° - 60° - 90° = 150°。
又
∵ 四边形AEFD是平行四边形，平行四边形的对角相等，
∴ ∠DFE = ∠DAE = 150°。
【答案】(1) 四边形AEFD是平行四边形；(2) ∠DFE = 150°
【知识点】等边三角形性质、全等三角形判定、平行四边形判定、勾股定理逆定理
【点评】本题综合考查了等边三角形、全等三角形、平行四边形及勾股定理逆定理的相关知识，需要学生熟练运用几何定理进行边和角的转化，是一道综合性较强的几何题，解题关键在于通过全等三角形得到平行四边形的对边相等，再结合直角三角形的角度特征求解。
【难度系数】0.5
【解析】(1) 证明：
∵ △ABD、△ACE、△BCF都是等边三角形，
∴ DB = AB = AD，BF = BC = FC，EC = AC = AE，∠ABD = ∠CBF = ∠ACE = ∠BCF = 60°，
∴ ∠DBF = ∠ABD - ∠ABF = ∠CBF - ∠ABF = ∠ABC，同理∠ECF = ∠ACB。
在△DBF和△ABC中，
$\{\begin{array}{l} DB = AB \\ ∠DBF = ∠ABC \\ BF = BC \end{array} $
∴ △DBF ≌ △ABC（SAS），
∴ DF = AC，又
∵ AC = AE，故DF = AE。
在△EFC和△ABC中，
$\{\begin{array}{l} EC = AC \\ ∠ECF = ∠ACB \\ FC = BC \end{array} $
∴ △EFC ≌ △ABC（SAS），
∴ EF = AB，又
∵ AB = AD，故EF = AD。
∴ 四边形AEFD的两组对边分别相等，因此四边形AEFD是平行四边形。
(2) 解：
∵ AB = 3，AC = 4，BC = 5，
∴ AB² + AC² = 3² + 4² = 25，BC² = 5² = 25，
∴ AB² + AC² = BC²，根据勾股定理的逆定理，△ABC是直角三角形，且∠BAC = 90°。
∵ △ABD、△ACE是等边三角形，
∴ ∠BAD = ∠CAE = 60°，
∴ ∠DAE = 360° - ∠BAD - ∠CAE - ∠BAC = 360° - 60° - 60° - 90° = 150°。
又
∵ 四边形AEFD是平行四边形，平行四边形的对角相等，
∴ ∠DFE = ∠DAE = 150°。
【答案】(1) 四边形AEFD是平行四边形；(2) ∠DFE = 150°
【知识点】等边三角形性质、全等三角形判定、平行四边形判定、勾股定理逆定理
【点评】本题综合考查了等边三角形、全等三角形、平行四边形及勾股定理逆定理的相关知识，需要学生熟练运用几何定理进行边和角的转化，是一道综合性较强的几何题，解题关键在于通过全等三角形得到平行四边形的对边相等，再结合直角三角形的角度特征求解。
【难度系数】0.5
26. (10 分)2004 年,中国正式开展月球探测“嫦娥工程”. 嫦娥工程分为“无人月球探测”“载人登月”和“建立月球基地”三个阶段. 从 2007 年 10 月“嫦娥一号”成功发射升空至 2024 年 6 月“嫦娥六号”完成世界首次月球背面采样和返回,中国人的探月工程为人类和平使用月球作出了新的贡献. 为了激发学生的航天兴趣,某校举行了太空科普知识竞赛,竞赛结束后随机抽取了部分学生成绩进行统计,按成绩分为如下5组(满分100分),A组:75≤x＜80;B组:80≤x＜85;C组:85≤x＜90;D组:90≤x＜95;E组:95≤x＜100,并绘制了如下不完整的统计图1,图2. 请结合统计图,解答下列问题:
(1)本次调查一共随机抽取了
(2)补全学生成绩频数分布直方图;
(3)若成绩在90分及以上为优秀,学校共有3 000名学生,估计该校成绩为优秀的学生有多少人.
(1)本次调查一共随机抽取了
400
名学生的成绩,频数分布直方图中$m=$60
,D组所对应的扇形圆心角为129.6
°;(2)补全学生成绩频数分布直方图;
(3)若成绩在90分及以上为优秀,学校共有3 000名学生,估计该校成绩为优秀的学生有多少人.
答案
26. 【点拨】本题考查扇形统计图、频数分布直方图、用样本估计总体.
【解析】(1)本次调查的样本容量为96 ÷ 24% = 400,
∴ B组的人数为m = 400 × 15% = 60(人),D组所对应的扇形圆心角为144/400 × 360° = 129.6°.
故答案为400,60,129.6.
(2)E组的人数为400 - 20 - 60 - 96 - 144 = 80,补全学生成绩频数分布直方图如图:
(3)3 000 × (144 + 80)/400 = 1 680(人).
答:估计该校成绩为优秀的学生有1 680人.
解析
【分析】
要解决本题，需结合频数分布直方图和扇形统计图的关联信息：首先利用已知组（C组）的频数和对应百分比求出总抽取学生数，这是后续计算的基础；再依次计算B组人数、D组扇形圆心角；接着通过总人数求出E组人数以补全直方图；最后根据样本中优秀人数的占比，估计总体的优秀人数。
【解析】
(1) 由扇形图可知C组占比24%，频数分布直方图中C组频数为96，因此本次抽取的总学生数为：$96 ÷ 24\% = 400$（名）；
B组占比15%，故$m = 400 × 15\% = 60$；
D组频数为144，对应扇形圆心角为：$\frac{144}{400} × 360° = 129.6°$。
(2) E组人数为：$400 - 20 - 60 - 96 - 144 = 80$，据此补全频数分布直方图（如图：）。
(3) 成绩90分及以上为优秀，对应D、E组，样本中优秀人数占比为$\frac{144 + 80}{400}$，因此该校优秀学生约有：$3000 × \frac{144 + 80}{400} = 1680$（人）。
【答案】
(1) 400，60，129.6；(2) 补全后的频数分布直方图如图：；(3) 估计该校成绩为优秀的学生有1680人。
【知识点】
扇形统计图，频数分布直方图，用样本估计总体
【点评】
本题结合两种统计图表考查统计基础应用，核心是利用图表对应关系求样本容量，进而解决计算、补全、估计问题，属于常规统计题，难度适中。
【难度系数】
0.7
要解决本题，需结合频数分布直方图和扇形统计图的关联信息：首先利用已知组（C组）的频数和对应百分比求出总抽取学生数，这是后续计算的基础；再依次计算B组人数、D组扇形圆心角；接着通过总人数求出E组人数以补全直方图；最后根据样本中优秀人数的占比，估计总体的优秀人数。
【解析】
(1) 由扇形图可知C组占比24%，频数分布直方图中C组频数为96，因此本次抽取的总学生数为：$96 ÷ 24\% = 400$（名）；
B组占比15%，故$m = 400 × 15\% = 60$；
D组频数为144，对应扇形圆心角为：$\frac{144}{400} × 360° = 129.6°$。
(2) E组人数为：$400 - 20 - 60 - 96 - 144 = 80$，据此补全频数分布直方图（如图：
）。(3) 成绩90分及以上为优秀，对应D、E组，样本中优秀人数占比为$\frac{144 + 80}{400}$，因此该校优秀学生约有：$3000 × \frac{144 + 80}{400} = 1680$（人）。
【答案】
(1) 400，60，129.6；(2) 补全后的频数分布直方图如图：
；(3) 估计该校成绩为优秀的学生有1680人。【知识点】
扇形统计图，频数分布直方图，用样本估计总体
【点评】
本题结合两种统计图表考查统计基础应用，核心是利用图表对应关系求样本容量，进而解决计算、补全、估计问题，属于常规统计题，难度适中。
【难度系数】
0.7
