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21. (8分)如图,在$□ ABCD$中,$BD$是它的一条对角线,过$A,C$两点分别作$AE ⊥ BD,CF ⊥ BD,E,F$是垂足,求证:$DE = BF$.
答案
21. 【点拨】本题考查平行四边形的性质,三角形全等的判定与性质.
【解析】证明:
∵ 四边形ABCD是平行四边形,
∴ AD//BC,AD = BC,
∴ ∠ADE = ∠CBF.
∵ AE ⊥ BD,CF ⊥ BD,
∴ ∠AED = ∠CFB = 90°,
∴ △AED ≅ △CFB(AAS),
∴ DE = BF.
【解析】证明:
∵ 四边形ABCD是平行四边形,
∴ AD//BC,AD = BC,
∴ ∠ADE = ∠CBF.
∵ AE ⊥ BD,CF ⊥ BD,
∴ ∠AED = ∠CFB = 90°,
∴ △AED ≅ △CFB(AAS),
∴ DE = BF.
解析
【分析】要证明$DE = BF$，需结合平行四边形的性质，通过证明三角形全等实现。首先利用平行四边形对边平行且相等的性质，得到$AD = BC$和内错角$∠ ADE = ∠ CBF$；再由$AE ⊥ BD$、$CF ⊥ BD$得到两个直角相等；最后用AAS判定$△ AED$与$△ CFB$全等，根据全等三角形对应边相等即可得证。
【解析】证明：
∵ 四边形$ABCD$是平行四边形，
∴ $AD = BC$，$AD // BC$，
∴ $∠ ADE = ∠ CBF$（两直线平行，内错角相等）。
∵ $AE ⊥ BD$，$CF ⊥ BD$，
∴ $∠ AED = ∠ CFB = 90°$。
在$△ AED$和$△ CFB$中，
$\{\begin{array}{l}∠ AED = ∠ CFB \\∠ ADE = ∠ CBF \\AD = CB\end{array} $
∴ $△ AED ≌ △ CFB$（AAS），
∴ $DE = BF$。
【答案】$DE = BF$
【知识点】平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质
【点评】本题考查平行四边形性质与全等三角形判定的综合应用，属于基础几何证明题，需熟练掌握平行四边形对边的关系及全等三角形的判定定理，是几何证明中常见的题型。
【难度系数】0.5
【解析】证明：
∵ 四边形$ABCD$是平行四边形，
∴ $AD = BC$，$AD // BC$，
∴ $∠ ADE = ∠ CBF$（两直线平行，内错角相等）。
∵ $AE ⊥ BD$，$CF ⊥ BD$，
∴ $∠ AED = ∠ CFB = 90°$。
在$△ AED$和$△ CFB$中，
$\{\begin{array}{l}∠ AED = ∠ CFB \\∠ ADE = ∠ CBF \\AD = CB\end{array} $
∴ $△ AED ≌ △ CFB$（AAS），
∴ $DE = BF$。
【答案】$DE = BF$
【知识点】平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质
【点评】本题考查平行四边形性质与全等三角形判定的综合应用，属于基础几何证明题，需熟练掌握平行四边形对边的关系及全等三角形的判定定理，是几何证明中常见的题型。
【难度系数】0.5
22. (8分)如图,在正方形ABCD中,点E,F分别在AB,CD上,且$BE = DF$.
(1)求证:四边形AECF是平行四边形;
(2)连接EF,若$BC = 12$,$BE = 5$,求EF的长.
(1)求证:四边形AECF是平行四边形;
(2)连接EF,若$BC = 12$,$BE = 5$,求EF的长.
答案
22. 【点拨】本题考查平行四边形的判定,正方形的性质.
【解析】(1)证明:在正方形ABCD中,AB = CD,AB//CD.
∵ BE = DF,
∴ AB - BE = CD - DF,
∴ AE = CF.
又
∵ AB//CD,
∴ 四边形AECF是平行四边形.
(2)过点E作EH ⊥ CD于点H,如图所示,
∴ ∠EHC = ∠EHF = 90°.
∵ 四边形ABCD是正方形,BC = 12,
∴ AB = BC = CD = AD = 12,∠B = ∠BCD = 90°,
∴ ∠EHC = ∠B = ∠BCD = 90°,
∴ 四边形EBCH是矩形,
∴ EH = BC = 12,CH = BE = DF = 5,
∴ DH = AE = 12 - 5 = 7,
∴ FH = DH - DF = 7 - 5 = 2.
在Rt△EFH中,由勾股定理,得EF = √(EH² + HF²) = √(12² + 2²) = 2√37.
解析
【分析】
要解决本题，需结合正方形的性质推导边的关系，再利用平行四边形判定定理和勾股定理解题：(1) 利用正方形对边平行且相等，结合已知BE=DF，可推出AE与CF平行且相等，从而证明四边形AECF是平行四边形；(2) 过E作EH⊥CD构造直角三角形，利用正方形性质得EH=BC，再计算FH的长度，最后用勾股定理求出EF的长。
【解析】
(1) 证明：在正方形ABCD中，AB = CD，AB//CD。
∵ BE = DF，
∴ AB - BE = CD - DF，即AE = CF。
又
∵ AE//CF（AB//CD），
∴ 四边形AECF是平行四边形。
(2) 过点E作EH ⊥ CD于点H，如图所示，
∴ ∠EHF = 90°。
∵ 四边形ABCD是正方形，BC = 12，
∴ AB = BC = CD = 12，∠B = ∠BCD = 90°，
∴ ∠EHC = ∠B = ∠BCD = 90°，
∴ 四边形EBCH是矩形，
∴ EH = BC = 12，CH = BE = 5。
∵ CD = 12，DF = BE =5，
∴ FH = CD - CH - DF =12 -5 -5=2。
在Rt△EFH中，由勾股定理得：
EF = √(EH² + FH²) = √(12² +2²)=√148=2√37。
【答案】
EF的长为2√37，如图所示：
【知识点】
正方形的性质，平行四边形的判定，勾股定理
【点评】
本题结合正方形的性质考查平行四边形的判定及勾股定理的应用，属于基础题型，解题关键是利用正方形的边的关系推导线段相等，通过作辅助线构造直角三角形求未知线段长度，难度适中。
【难度系数】
0.6
要解决本题，需结合正方形的性质推导边的关系，再利用平行四边形判定定理和勾股定理解题：(1) 利用正方形对边平行且相等，结合已知BE=DF，可推出AE与CF平行且相等，从而证明四边形AECF是平行四边形；(2) 过E作EH⊥CD构造直角三角形，利用正方形性质得EH=BC，再计算FH的长度，最后用勾股定理求出EF的长。
【解析】
(1) 证明：在正方形ABCD中，AB = CD，AB//CD。
∵ BE = DF，
∴ AB - BE = CD - DF，即AE = CF。
又
∵ AE//CF（AB//CD），
∴ 四边形AECF是平行四边形。
(2) 过点E作EH ⊥ CD于点H，如图所示，
∴ ∠EHF = 90°。
∵ 四边形ABCD是正方形，BC = 12，
∴ AB = BC = CD = 12，∠B = ∠BCD = 90°，
∴ ∠EHC = ∠B = ∠BCD = 90°，
∴ 四边形EBCH是矩形，
∴ EH = BC = 12，CH = BE = 5。
∵ CD = 12，DF = BE =5，
∴ FH = CD - CH - DF =12 -5 -5=2。
在Rt△EFH中，由勾股定理得：
EF = √(EH² + FH²) = √(12² +2²)=√148=2√37。
【答案】
EF的长为2√37，如图所示：
【知识点】
正方形的性质，平行四边形的判定，勾股定理
【点评】
本题结合正方形的性质考查平行四边形的判定及勾股定理的应用，属于基础题型，解题关键是利用正方形的边的关系推导线段相等，通过作辅助线构造直角三角形求未知线段长度，难度适中。
【难度系数】
0.6
23. (10 分)如图,菱形 ABCD 的对角线 AC 与 BD 交于点 O,∠ABC:∠BAD=2:3,BE//AC,CE//BD.
(1)求∠DBC 的度数;
(2)求证:四边形 OBEC 是矩形.
(1)求∠DBC 的度数;
(2)求证:四边形 OBEC 是矩形.
答案
23. 【点拨】本题考查菱形的性质与判定,平行四边形的判定及矩形的判定.
【解析】(1)
∵ 四边形ABCD是菱形,
∴ AD//BC,∠DBC = 1/2 ∠ABC,
∴ ∠ABC + ∠BAD = 180°.
∵ ∠ABC:∠BAD = 2:3,
∴ ∠ABC = 180° × 2/(2 + 3) = 72°,
∴ ∠DBC = 1/2 ∠ABC = 1/2 ×72° = 36°.
(2)证明:
∵ BE//AC,CE//BD,
∴ BE//OC,CE//OB,
∴ 四边形OBEC是平行四边形.
∵ 四边形ABCD是菱形,
∴ AC ⊥ BD,
∴ ∠BOC = 90°,
∴ 四边形OBEC是矩形.
【解析】(1)
∵ 四边形ABCD是菱形,
∴ AD//BC,∠DBC = 1/2 ∠ABC,
∴ ∠ABC + ∠BAD = 180°.
∵ ∠ABC:∠BAD = 2:3,
∴ ∠ABC = 180° × 2/(2 + 3) = 72°,
∴ ∠DBC = 1/2 ∠ABC = 1/2 ×72° = 36°.
(2)证明:
∵ BE//AC,CE//BD,
∴ BE//OC,CE//OB,
∴ 四边形OBEC是平行四边形.
∵ 四边形ABCD是菱形,
∴ AC ⊥ BD,
∴ ∠BOC = 90°,
∴ 四边形OBEC是矩形.
解析
【分析】
本题分为两小问，第(1)问求∠DBC的度数，需利用菱形邻角互补、对角线平分内角的性质，结合已知角度比例计算；第(2)问证明四边形OBEC是矩形，需先证其为平行四边形，再结合菱形对角线垂直的性质，利用矩形判定定理推导。
【解析】
(1)
∵ 四边形ABCD是菱形，
∴ AD//BC，∠DBC = 1/2 ∠ABC，
∴ ∠ABC + ∠BAD = 180°。
又
∵ ∠ABC:∠BAD = 2:3，
设∠ABC=2x，∠BAD=3x，则2x+3x=180°，解得x=36°，
∴ ∠ABC=72°，
∴ ∠DBC = 1/2 ×72° = 36°。
(2) 证明：
∵ BE//AC，CE//BD，即BE//OC，CE//OB，
∴ 四边形OBEC是平行四边形。
∵ 四边形ABCD是菱形，
∴ AC ⊥ BD，即∠BOC = 90°，
∴ 平行四边形OBEC是矩形。
【答案】
(1) ∠DBC的度数为36°；(2) 四边形OBEC是矩形，证明如上。
【知识点】
菱形的性质、平行四边形的判定、矩形的判定
【点评】
本题综合考查菱形、平行四边形、矩形的性质与判定，解题关键是熟练运用相关图形的性质，通过角度比例和边的平行关系逐步推导，属于基础几何证明题，难度适中。
【难度系数】
0.5
本题分为两小问，第(1)问求∠DBC的度数，需利用菱形邻角互补、对角线平分内角的性质，结合已知角度比例计算；第(2)问证明四边形OBEC是矩形，需先证其为平行四边形，再结合菱形对角线垂直的性质，利用矩形判定定理推导。
【解析】
(1)
∵ 四边形ABCD是菱形，
∴ AD//BC，∠DBC = 1/2 ∠ABC，
∴ ∠ABC + ∠BAD = 180°。
又
∵ ∠ABC:∠BAD = 2:3，
设∠ABC=2x，∠BAD=3x，则2x+3x=180°，解得x=36°，
∴ ∠ABC=72°，
∴ ∠DBC = 1/2 ×72° = 36°。
(2) 证明：
∵ BE//AC，CE//BD，即BE//OC，CE//OB，
∴ 四边形OBEC是平行四边形。
∵ 四边形ABCD是菱形，
∴ AC ⊥ BD，即∠BOC = 90°，
∴ 平行四边形OBEC是矩形。
【答案】
(1) ∠DBC的度数为36°；(2) 四边形OBEC是矩形，证明如上。
【知识点】
菱形的性质、平行四边形的判定、矩形的判定
【点评】
本题综合考查菱形、平行四边形、矩形的性质与判定，解题关键是熟练运用相关图形的性质，通过角度比例和边的平行关系逐步推导，属于基础几何证明题，难度适中。
【难度系数】
0.5
