27. (12分)如图1,以矩形OABC的顶点O为原点,OA所在直线为x轴,OC所在直线为y轴,建立平面直角坐标系,点B的坐标为(4,2).
(1)求直线AC的解析式;
(2)如图2,将直线AC沿y轴正方向平移$m(m＞0)$个单位长度,平移后的直线交BC边于点D,交AB边于点E.
①当$△ ODE$的面积为3时,求$m$的值;
②是否存在$m$,使$∠ DOE=45°$? 若存在,求出$m^2+5m$的值;若不存在,说明理由.

27. 【点拨】本题考查坐标与图形,矩形的性质,用待定系数法求一次函数解析式,平行四边形的判定与性质及三角形面积公式,正确作出辅助线是解题的关键.
【解析】(1)
∵ 四边形OABC为矩形,B(4,2),
∴ A(4,0),C(0,2).
设直线AC的解析式为y = kx + b,把A(4,0),C(0,2)代入,得{4k + b = 0,b = 2,} 解得{k = -1/2,b = 2,}
∴ 直线AC的解析式为y = -1/2 x + 2.
(2)①如图1,连接AC,设平移后的直线交x轴于点M,交y轴于点N.
∵ MN//AC,CN//AE,
∴ 四边形ACNE为平行四边形,
∴ AE = CN = m,BE = 2 - m,
∴ 直线MN的解析式为y = -1/2 x + 2 + m.
令y = 2,则-1/2 x + 2 + m = 2,解得x = 2m,
∴ D(2m,2),
∴ CD = 2m,
∴ BD = BC - CD = 4 - 2m,
∴ S_△ODE = S_矩形OABC - S_△COD - S_△BDE - S_△AOE
= 4 × 2 - 1/2 × 2 × 2m - 1/2 × (4 - 2m)(2 - m) - 1/2 ×4m
= 8 - 2m - (4 - 4m + m²) - 2m
= 8 - 2m - 4 + 4m - m² - 2m
= 4 - m².
∵ S_△ODE = 3,
∴ 4 - m² = 3,解得m = 1(负值已舍去).
②存在.
如图2,过点E作EF ⊥ OE交OD的延长线于点F,过点F作FG ⊥ AB交AB的延长线于点G,作FH ⊥ OA于点H,则四边形AHFG是矩形.
∵ ∠DOE = 45°,
∴ △EOF是等腰直角三角形,
∴ OE = EF,由平移知AE = m.
∵ 四边形OABC是矩形,
∴ ∠OAE = 90°,
∴ ∠OAE = ∠G.
∵ ∠OEF = 90°,
∴ ∠AEO + ∠GEF = 90°.
∵ ∠AEO + ∠AOE = 90°,
∴ ∠AOE = ∠GEF.
在△AOE和△GEF中,{∠OAE = ∠G,∠AOE = ∠GEF,OE = EF,}
∴ △AOE ≅ △GEF(AAS),
∴ EG = OA = 4,GF = AH = AE = m,
∴ OH = OA - AH = 4 - m,FH = AG = AE + EG = m + 4,
∴ F(4 - m,m + 4),
∴ 直线OF的解析式为y = (m + 4)/(4 - m) x.
令y = 2,则(m + 4)/(4 - m) x = 2,解得x = (8 - 2m)/(m + 4).
由①知,D(2m,2),
∴ (8 - 2m)/(m + 4) = 2m,
∴ 8 - 2m = 2m(m + 4),
∴ 8 - 2m = 2m² + 8m,
∴ m² + 5m = 4,
∴ 存在m,使∠DOE = 45°,m² + 5m的值为4.

【分析】
本题是坐标与几何的综合题，解题思路如下：
1. 求直线AC解析式：利用矩形性质确定A、C两点坐标，用待定系数法代入求解；
2. 解决(2)①：根据平移性质得到平移后直线的解析式，求出D、E两点坐标，通过矩形面积减去周围三个三角形面积得到△ODE的面积，列方程求m；
3. 解决(2)②：要使∠DOE=45°，构造等腰直角三角形OEF，通过AAS证明△AOE≌△GEF，得到F点坐标，结合D在直线OF上的条件列方程，化简得$m^2+5m$的值。
【解析】
(1)
∵ 四边形OABC为矩形，B(4,2)，
∴ A(4,0)，C(0,2)。
设直线AC的解析式为$y=kx+b$，将A(4,0)、C(0,2)代入得：
$\begin{cases}4k + b = 0 \\ b = 2\end{cases}$，解得$\begin{cases}k = -\frac{1}{2} \\ b = 2\end{cases}$，
∴ 直线AC的解析式为$y = -\frac{1}{2}x + 2$。
(2) ① 直线AC沿y轴正方向平移$m(m＞0)$个单位后，解析式为$y = -\frac{1}{2}x + 2 + m$。
令$y=2$，得$2 = -\frac{1}{2}x + 2 + m$，解得$x=2m$，即$D(2m,2)$；
令$x=4$，得$y = -\frac{1}{2}×4 + 2 + m = m$，即$E(4,m)$。
△ODE的面积用矩形OABC面积减去△COD、△BDE、△AOE的面积：
$S_{矩形OABC}=4×2=8$，
$S_{△COD}=\frac{1}{2}×OC×CD=\frac{1}{2}×2×2m=2m$，
$S_{△BDE}=\frac{1}{2}×BD×BE=\frac{1}{2}×(4-2m)(2 - m)$，
$S_{△AOE}=\frac{1}{2}×OA×AE=\frac{1}{2}×4×m=2m$，
∴ $S_{△ODE}=8 - 2m - \frac{1}{2}(4-2m)(2 - m) - 2m = 4 - m^2$。
由$S_{△ODE}=3$，得$4 - m^2=3$，解得$m=1$（舍去负值）。
② 存在。
过E作$EF⊥OE$，交OD的延长线于点F，过点F作$FG⊥AB$交AB的延长线于点G，作$FH⊥OA$于点H，得四边形AHFG是矩形。
∵ $∠DOE=45°$，
∴ △EOF是等腰直角三角形，$OE=EF$。
由矩形OABC得$∠OAE=∠G=90°$，又$∠OEF=90°$，
∴ $∠AEO + ∠GEF=90°$，结合$∠AEO + ∠AOE=90°$，得$∠AOE=∠GEF$。
在△AOE和△GEF中：
$\begin{cases}∠OAE=∠G \\ ∠AOE=∠GEF \\ OE=EF\end{cases}$，
∴ △AOE≌△GEF(AAS)，
得$EG=OA=4$，$GF=AE=m$，
∴ $OH=OA - AH=4 - m$，$FH=AG=AE+EG=m+4$，即$F(4 - m, m+4)$。
设直线OF的解析式为$y=kx$，代入F得$k=\frac{m+4}{4 - m}$，即$y=\frac{m+4}{4 - m}x$。
∵ D(2m,2)在OF上，
∴ $2=\frac{m+4}{4 - m}×2m$，化简得$4 - m = m^2 + 4m$，即$m^2 +5m=4$。
【答案】
(1) $y = -\frac{1}{2}x + 2$；
(2) ① $m=1$；② 存在，$m^2+5m=4$；


【知识点】
一次函数解析式、矩形性质、全等三角形判定
【点评】
本题是坐标与几何的综合题，结合一次函数、矩形性质、三角形面积、全等三角形等知识点，需掌握平移性质、面积计算方法，以及构造全等三角形解决角度问题的技巧，综合性较强，对学生逻辑思维能力要求较高。
【难度系数】
0.4

28.（12分）如图1，E是正方形ABCD边AD上任意一点，以AE为边作正方形AEFG，连接CF，O是线段CF的中点，连接DO，EO.
（1）请直接写出DO和EO的关系：；
（2）将图1中的正方形AEFG绕点A逆时针旋转45°，如图2，其他条件不变，（1）中的结论是否仍成立？请说明理由；
（3）将图1中的正方形AEFG绕点A旋转一周（图3展示运动中的某一个位置），已知AB=6，AE=2√2，直接写出$S_{△ CEO}$的最大值：.

28. 【点拨】本题考查正方形的性质,全等三角形的判定与性质,等腰直角三角形的判定与性质,勾股定理及三角形面积,正确作出辅助线是解题的关键.
【解析】(1)如题图1,延长EO交CD于点H.
∵ 四边形ABCD和四边形AEFG都是正方形,
∴ AB//EF,AB//CD,
∴ EF//CD,
∴ ∠EFO = ∠HCO.
∵ 点O是CF的中点,
∴ OF = OC.
在△EOF和△HOC中,{∠EFO = ∠HCO,OF = OC,∠EOF = ∠HOC,}
∴ △EOF ≅ △HOC(ASA),
∴ EO = OH,EF = CH.
∵ AD = CD,AE = EF,
∴ DE = DH,
∴ DO ⊥ EO.
∵ ∠EDH = 90°,
∴ DO = 1/2 EH = EO.
故答案为DO = EO,DO ⊥ EO.
(2)成立,理由如下:
如图1,连接AC,DE,延长EO交AC于点H,连接DH.
∵ 四边形ABCD是正方形,
∴ ∠CAD = ∠ACD = 45°,AD = CD.
由旋转知∠EAD = 45°,
∴ ∠EAC = 90°.
∵ 四边形AEFG是正方形,
∴ AE = EF,∠AEF = 90°,
∴ ∠AEF = ∠EAC,
∴ EF//AC,
∴ ∠EFO = ∠HCO.
在△EOF和△HOC中,{∠EFO = ∠HCO,OF = OC,∠EOF = ∠HOC,}
∴ △EOF ≅ △HOC(ASA),
∴ EF = CH,OE = OH,
∴ AE = CH.
在△AED和△CHD中,{AE = CH,∠EAD = ∠HCD = 45°,AD = CD,}
∴ △AED ≅ △CHD(SAS),
∴ DE = DH,∠ADE = ∠CDH,
∴ ∠ADE + ∠ADH = ∠CDH + ∠ADH = 90°,
∴ ∠EDH = 90°.
∵ OE = OH,
∴ DO = EO,DO ⊥ EO.
(3)
∵ O是CF的中点,
∴ S_△CEO = 1/2 S_△CEF,
∴ 当△CEF的面积最大时,△CEO的面积最大,此时C,A,E三点共线,如图2,则CE ⊥ EF.
在Rt△ABC中,AB = BC = 6,
∴ AC = √(AB² + BC²) = √(6² + 6²) = 6√2,
∴ CE = AC + AE = 6√2 + 2√2 = 8√2,
∴ S_△CEF的最大值为1/2 CE · EF = 1/2 ×8√2 ×2√2 = 16,
∴ S_△CEO的最大值为1/2 ×16 = 8. 故答案为8.

【分析】
本题围绕正方形的性质展开，分三小问逐步推导：
（1）对于图1，通过延长EO构造全等三角形，利用正方形对边平行、中点条件证△EOF≌△HOC，得到EO=OH、EF=CH，结合正方形边长相等推出DE=DH，进而判断△EDH为等腰直角三角形，得出DO与EO的关系；
（2）图2中正方形旋转45°，仍通过延长EO交AC于H，先证△EOF≌△HOC，再结合正方形的角和边的关系证△AED≌△CHD，推出△EDH为等腰直角三角形，验证结论成立；
（3）利用“同高三角形面积比等于底的比”，由O是CF中点得S△CEO=1/2 S△CEF，要最大化S△CEO需最大化S△CEF，分析得当C、A、E共线时CE最大，进而计算面积最大值。
【解析】
(1) 如图1，延长EO交CD于点H。
∵ 四边形ABCD和AEFG都是正方形，
∴ AB//EF，AB//CD，故EF//CD，
∴ ∠EFO=∠HCO。
∵ O是CF中点，
∴ OF=OC。
在△EOF和△HOC中：
$\{\begin{array}{l}∠EFO=∠HCO \\ OF=OC \\ ∠EOF=∠HOC\end{array} $
∴ △EOF≌△HOC（ASA），
∴ EO=OH，EF=CH。
又
∵ AD=CD，AE=EF，
∴ AD - AE = CD - CH，即DE=DH。
∵ ∠EDH=90°，
∴ △EDH是等腰直角三角形，
∵ EO=OH，
∴ DO=EO，且DO⊥EO（等腰直角三角形三线合一）。
故DO与EO的关系为：DO=EO，DO⊥EO。
(2) 结论仍成立，理由如下：
如图2，连接AC、DE，延长EO交AC于点H，连接DH。
∵ 四边形ABCD是正方形，
∴ ∠CAD=∠ACD=45°，AD=CD。
由旋转知∠EAD=45°，故∠EAC=∠EAD + ∠DAC=90°。
∵ 四边形AEFG是正方形，
∴ AE=EF，∠AEF=90°，
∴ ∠AEF=∠EAC，故EF//AC，
∴ ∠EFO=∠HCO。
在△EOF和△HOC中：
$\{\begin{array}{l}∠EFO=∠HCO \\ OF=OC \\ ∠EOF=∠HOC\end{array} $
∴ △EOF≌△HOC（ASA），
∴ EF=CH，OE=OH，故AE=CH。
在△AED和△CHD中：
$\{\begin{array}{l}AE=CH \\ ∠EAD=∠HCD=45° \\ AD=CD\end{array} $
∴ △AED≌△CHD（SAS），
∴ DE=DH，∠ADE=∠CDH，
∴ ∠EDH=∠ADE + ∠ADH=∠CDH + ∠ADH=∠ADC=90°，
即△EDH是等腰直角三角形，又OE=OH，
∴ DO=EO，DO⊥EO。
(3)
∵ O是CF的中点，
∴ S△CEO = $\frac{1}{2}$ S△CEF，
要使S△CEO最大，需S△CEF最大。
当C、A、E三点共线时，CE最大，此时CE⊥EF（正方形AEFG中EF⊥AE）。
在正方形ABCD中，AB=6，故AC=√(6²+6²)=6√2，
又AE=2√2，
∴ CE=AC + AE=6√2 + 2√2=8√2，
∴ S△CEF的最大值为$\frac{1}{2}$×CE×EF = $\frac{1}{2}$×8√2×2√2=16，
故S△CEO的最大值为$\frac{1}{2}$×16=8。
【答案】DO=EO，DO⊥EO；8
【知识点】正方形性质、全等三角形判定、等腰直角三角形性质
【点评】本题是正方形旋转的综合题，通过构造全等三角形推导线段关系，利用中点性质转化面积最值，辅助线的构造是解题关键，考查学生的几何综合应用能力。
【难度系数】0.5