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8. 如图,四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”,其中四边形ABCD与四边形EFGH都是正方形,若$BG=2CG$,则小正方形与大正方形的边长之比为 （
A.$\frac{1}{2}$
B.$\frac{\sqrt{5}}{5}$
C.$\frac{\sqrt{3}}{3}$
D.$\frac{1}{5}$
B
）A.$\frac{1}{2}$
B.$\frac{\sqrt{5}}{5}$
C.$\frac{\sqrt{3}}{3}$
D.$\frac{1}{5}$
答案
8.B
解析
【分析】
要解决本题，需利用赵爽弦图中四个直角三角形全等的性质，结合已知条件BG=2CG，设出直角边的长度，分别推导小正方形和大正方形的边长，最终计算两者的边长之比。
【解析】
设 $ CG = a $，由 $ BG = 2CG $，得 $ BG = 2a $。
因为四个直角三角形全等，所以每个直角三角形的两条直角边分别为 $ CG = a $ 和 $ BG = 2a $。
1. 求大正方形ABCD的边长：大正方形的边长是直角三角形的斜边，根据勾股定理，斜边长度为：
$ \sqrt{BG^2 + CG^2} = \sqrt{(2a)^2 + a^2} = \sqrt{5a^2} = \sqrt{5}a $。
2. 求小正方形EFGH的边长：小正方形的边长等于直角三角形长直角边减去短直角边，即：
$ BG - CG = 2a - a = a $。
3. 计算边长之比：小正方形与大正方形的边长之比为 $ a : \sqrt{5}a = \frac{\sqrt{5}}{5} $。
【答案】
B
【知识点】
勾股定理、正方形性质
【点评】
本题结合赵爽弦图考查勾股定理的应用，关键是明确小、大正方形边长与直角三角形边长的关系，属于基础几何题，难度适中。
【难度系数】
0.5
要解决本题，需利用赵爽弦图中四个直角三角形全等的性质，结合已知条件BG=2CG，设出直角边的长度，分别推导小正方形和大正方形的边长，最终计算两者的边长之比。
【解析】
设 $ CG = a $，由 $ BG = 2CG $，得 $ BG = 2a $。
因为四个直角三角形全等，所以每个直角三角形的两条直角边分别为 $ CG = a $ 和 $ BG = 2a $。
1. 求大正方形ABCD的边长：大正方形的边长是直角三角形的斜边，根据勾股定理，斜边长度为：
$ \sqrt{BG^2 + CG^2} = \sqrt{(2a)^2 + a^2} = \sqrt{5a^2} = \sqrt{5}a $。
2. 求小正方形EFGH的边长：小正方形的边长等于直角三角形长直角边减去短直角边，即：
$ BG - CG = 2a - a = a $。
3. 计算边长之比：小正方形与大正方形的边长之比为 $ a : \sqrt{5}a = \frac{\sqrt{5}}{5} $。
【答案】
B
【知识点】
勾股定理、正方形性质
【点评】
本题结合赵爽弦图考查勾股定理的应用，关键是明确小、大正方形边长与直角三角形边长的关系，属于基础几何题，难度适中。
【难度系数】
0.5
9. 关于 $ x $ 的一元二次方程 $ ax^2 - ax + c = 0(a ≠ 0) $ 没有实数根，则系数 $ a,c $ 可能满足 （
A.$ a＜0,a-4c＜0 $
B.$ a＜0,a+4c＜0 $
C.$ a＞0,a+4c＜0 $
D.$ a＞0,a-4c＜0 $
D
）A.$ a＜0,a-4c＜0 $
B.$ a＜0,a+4c＜0 $
C.$ a＞0,a+4c＜0 $
D.$ a＞0,a-4c＜0 $
答案
9.D
解析
【分析】
要解决这道题，需利用一元二次方程根的判别式：一元二次方程$ax^2 + bx + c = 0(a≠0)$没有实数根的条件是判别式$\Delta = b^2 - 4ac ＜ 0$。首先确定本题方程的系数，计算判别式后结合不等式性质分析系数$a,c$的关系，最后对比选项得出答案。
【解析】
对于一元二次方程$ax^2 - ax + c = 0(a≠0)$，其判别式为：
$\Delta = (-a)^2 - 4 · a · c = a^2 - 4ac$
因为方程没有实数根，所以$\Delta ＜ 0$，即：
$a^2 - 4ac ＜ 0$
提取公因式得：$a(a - 4c) ＜ 0$
由于$a≠0$，因此$a$与$(a - 4c)$异号，乘积小于0。
逐一分析选项：
选项A：$a ＜ 0$，需$a - 4c ＞ 0$，但选项给出$a - 4c ＜ 0$，不符合；
选项B：$a ＜ 0$，需$a - 4c ＞ 0$，但选项是$a + 4c ＜ 0$，不符合；
选项C：$a ＞ 0$，需$a - 4c ＜ 0$，但选项是$a + 4c ＜ 0$，不符合；
选项D：$a ＞ 0$，此时$a - 4c ＜ 0$，满足$a(a - 4c) ＜ 0$，符合条件。
【答案】
D
【知识点】
一元二次方程根的判别式；不等式的性质
【点评】
本题考查一元二次方程根的判别式的应用，核心是正确运用判别式公式并结合不等式性质分析系数关系，属于基础题型，需注意判别式中一次项系数的符号处理。
【难度系数】
0.5
要解决这道题，需利用一元二次方程根的判别式：一元二次方程$ax^2 + bx + c = 0(a≠0)$没有实数根的条件是判别式$\Delta = b^2 - 4ac ＜ 0$。首先确定本题方程的系数，计算判别式后结合不等式性质分析系数$a,c$的关系，最后对比选项得出答案。
【解析】
对于一元二次方程$ax^2 - ax + c = 0(a≠0)$，其判别式为：
$\Delta = (-a)^2 - 4 · a · c = a^2 - 4ac$
因为方程没有实数根，所以$\Delta ＜ 0$，即：
$a^2 - 4ac ＜ 0$
提取公因式得：$a(a - 4c) ＜ 0$
由于$a≠0$，因此$a$与$(a - 4c)$异号，乘积小于0。
逐一分析选项：
选项A：$a ＜ 0$，需$a - 4c ＞ 0$，但选项给出$a - 4c ＜ 0$，不符合；
选项B：$a ＜ 0$，需$a - 4c ＞ 0$，但选项是$a + 4c ＜ 0$，不符合；
选项C：$a ＞ 0$，需$a - 4c ＜ 0$，但选项是$a + 4c ＜ 0$，不符合；
选项D：$a ＞ 0$，此时$a - 4c ＜ 0$，满足$a(a - 4c) ＜ 0$，符合条件。
【答案】
D
【知识点】
一元二次方程根的判别式；不等式的性质
【点评】
本题考查一元二次方程根的判别式的应用，核心是正确运用判别式公式并结合不等式性质分析系数关系，属于基础题型，需注意判别式中一次项系数的符号处理。
【难度系数】
0.5
10. 如图,矩形ABCD的周长为8,且$BC＞CD$。连结BD,将$△ BCD$沿BD折叠得$△ BED$,BE交AD于点P,作$PG⊥ BD$,交BC于点G。下列说法正确的是 （
①$2＜BC＜4$;②$△ ABP$的周长为定值4;③$△ BPG$一定是等边三角形;④当BC变大时,AP也变大。
A.①②③
B.①②④
C.①③④
D.②③④
B
）①$2＜BC＜4$;②$△ ABP$的周长为定值4;③$△ BPG$一定是等边三角形;④当BC变大时,AP也变大。
A.①②③
B.①②④
C.①③④
D.②③④
答案
10.B
解析:①因为四边形ABCD是矩形,所以AB=CD,BC=AD,AD//BC,因为矩形ABCD的周长为8,所以CD+BC=4,所以CD=4-BC,BC＜4,因为BC＞CD,所以BC＞4-BC,所以BC＞2,所以2＜BC＜4,①正确;②由折叠得∠CBD=∠EBD,因为AD//BC,所以∠CBD=∠PDB,所以∠EBD=∠PDB,所以BP=DP,所以△ABP的周长为AB+AP+BP=AB+AP+DP=AB+AD=CD+BC=4,故②正确;③由折叠得∠CBD=∠EBD,所以只有∠CBD=30°时,才能使∠PBG=60°,而BC＞CD,不能保证∠CBD=30°,所以不能得出∠PBG=60°,所以△BPG不一定是等边三角形,③不正确;④因为BP=PD=AD-AP=BC-AP,AB=CD=4-BC,所以在Rt△ABP中,AP²=BP²-AB²=(BC-AP)²-(4-BC)²,整理,得AP=4-8/BC,所以当BC变大时,AP也变大,④正确。故选B。
解析:①因为四边形ABCD是矩形,所以AB=CD,BC=AD,AD//BC,因为矩形ABCD的周长为8,所以CD+BC=4,所以CD=4-BC,BC＜4,因为BC＞CD,所以BC＞4-BC,所以BC＞2,所以2＜BC＜4,①正确;②由折叠得∠CBD=∠EBD,因为AD//BC,所以∠CBD=∠PDB,所以∠EBD=∠PDB,所以BP=DP,所以△ABP的周长为AB+AP+BP=AB+AP+DP=AB+AD=CD+BC=4,故②正确;③由折叠得∠CBD=∠EBD,所以只有∠CBD=30°时,才能使∠PBG=60°,而BC＞CD,不能保证∠CBD=30°,所以不能得出∠PBG=60°,所以△BPG不一定是等边三角形,③不正确;④因为BP=PD=AD-AP=BC-AP,AB=CD=4-BC,所以在Rt△ABP中,AP²=BP²-AB²=(BC-AP)²-(4-BC)²,整理,得AP=4-8/BC,所以当BC变大时,AP也变大,④正确。故选B。
解析
【分析】
要判断四个说法的正确性，需结合矩形性质、折叠性质，通过平行线性质、等腰三角形判定、勾股定理逐一推导：先利用矩形周长和边长关系判断①；再通过折叠与平行线的角关系推导等腰三角形，转化△ABP周长判断②；接着分析△BPG为等边三角形的必要条件，判断③；最后设未知数用勾股定理建立AP与BC的关系，判断④。
【解析】
已知矩形ABCD周长为8，故AB=CD，BC=AD，且BC+CD=4，AD//BC。
① 因为BC＞CD，CD=4-BC，所以BC＞4-BC，解得BC＞2；又BC＜BC+CD=4，因此2＜BC＜4，故①正确；
② 由折叠得∠CBD=∠EBD，因AD//BC，故∠CBD=∠PDB，所以∠EBD=∠PDB，得BP=DP。△ABP的周长=AB+AP+BP=AB+AP+DP=AB+AD=BC+CD=4，为定值，故②正确；
③ 由折叠得∠CBD=∠EBD，PG⊥BD，若△BPG为等边三角形，则∠PBG=60°，即∠CBD=30°，但题目仅给出BC＞CD，无法保证∠CBD=30°，故△BPG不一定是等边三角形，③错误；
④ 设AP=x，则BP=DP=AD-AP=BC-x，AB=CD=4-BC，在Rt△ABP中，由勾股定理得：$x^2 + (4-BC)^2 = (BC - x)^2$，展开整理得：$x=4-\frac{8}{BC}$，当BC变大时，$\frac{8}{BC}$变小，故AP变大，④正确。
综上，正确的是①②④，故选B。
【答案】
B
【知识点】
矩形性质、折叠性质、勾股定理
【点评】
本题综合考查矩形与折叠的几何性质，需结合平行线、等腰三角形、勾股定理等知识逐一判断结论，对学生的逻辑推理和代数计算能力有一定要求，是综合性较强的几何题。
【难度系数】
0.5
要判断四个说法的正确性，需结合矩形性质、折叠性质，通过平行线性质、等腰三角形判定、勾股定理逐一推导：先利用矩形周长和边长关系判断①；再通过折叠与平行线的角关系推导等腰三角形，转化△ABP周长判断②；接着分析△BPG为等边三角形的必要条件，判断③；最后设未知数用勾股定理建立AP与BC的关系，判断④。
【解析】
已知矩形ABCD周长为8，故AB=CD，BC=AD，且BC+CD=4，AD//BC。
① 因为BC＞CD，CD=4-BC，所以BC＞4-BC，解得BC＞2；又BC＜BC+CD=4，因此2＜BC＜4，故①正确；
② 由折叠得∠CBD=∠EBD，因AD//BC，故∠CBD=∠PDB，所以∠EBD=∠PDB，得BP=DP。△ABP的周长=AB+AP+BP=AB+AP+DP=AB+AD=BC+CD=4，为定值，故②正确；
③ 由折叠得∠CBD=∠EBD，PG⊥BD，若△BPG为等边三角形，则∠PBG=60°，即∠CBD=30°，但题目仅给出BC＞CD，无法保证∠CBD=30°，故△BPG不一定是等边三角形，③错误；
④ 设AP=x，则BP=DP=AD-AP=BC-x，AB=CD=4-BC，在Rt△ABP中，由勾股定理得：$x^2 + (4-BC)^2 = (BC - x)^2$，展开整理得：$x=4-\frac{8}{BC}$，当BC变大时，$\frac{8}{BC}$变小，故AP变大，④正确。
综上，正确的是①②④，故选B。
【答案】
B
【知识点】
矩形性质、折叠性质、勾股定理
【点评】
本题综合考查矩形与折叠的几何性质，需结合平行线、等腰三角形、勾股定理等知识逐一判断结论，对学生的逻辑推理和代数计算能力有一定要求，是综合性较强的几何题。
【难度系数】
0.5
11.若要使$\sqrt{x-3}$有意义,则$x$的取值范围是________。
答案
11.$x≥3$
解析
【分析】
要确定使二次根式$\sqrt{x-3}$有意义的$x$的取值范围，需依据二次根式的定义：二次根式的被开方数必须是非负数（即大于或等于0），因此只需让被开方数$x-3$满足非负条件，解对应的不等式即可得到$x$的范围。
【解析】
根据二次根式有意义的条件，被开方数需满足$x - 3 ≥ 0$，解该不等式：两边同时加3，得$x ≥ 3$。
【答案】
$x≥3$
【知识点】
二次根式有意义的条件，解一元一次不等式
【点评】
本题考查二次根式有意义的基本条件，属于基础题型，只需牢记被开方数非负的规则即可快速求解，难度较低。
【难度系数】
0.9
要确定使二次根式$\sqrt{x-3}$有意义的$x$的取值范围，需依据二次根式的定义：二次根式的被开方数必须是非负数（即大于或等于0），因此只需让被开方数$x-3$满足非负条件，解对应的不等式即可得到$x$的范围。
【解析】
根据二次根式有意义的条件，被开方数需满足$x - 3 ≥ 0$，解该不等式：两边同时加3，得$x ≥ 3$。
【答案】
$x≥3$
【知识点】
二次根式有意义的条件，解一元一次不等式
【点评】
本题考查二次根式有意义的基本条件，属于基础题型，只需牢记被开方数非负的规则即可快速求解，难度较低。
【难度系数】
0.9
12.已知,在$□ ABCD$中,$∠ A=110°$,则$∠ C=$______。
答案
12.$110°$
解析
【分析】
要解决本题，需利用平行四边形的核心性质：平行四边形的对角相等。题目中给出平行四边形ABCD，∠A和∠C是一组对角，因此只需将∠A的度数直接对应到∠C即可。
【解析】
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠C = ∠A（平行四边形的对角相等），
已知∠A = 110°，
∴∠C = 110°。
【答案】
110°
【知识点】
平行四边形的性质
【点评】
本题考查平行四边形的基础性质，属于简单题型，只要牢记平行四边形对角相等的性质就能快速得出答案，侧重对基础知识的考查。
【难度系数】
0.8
要解决本题，需利用平行四边形的核心性质：平行四边形的对角相等。题目中给出平行四边形ABCD，∠A和∠C是一组对角，因此只需将∠A的度数直接对应到∠C即可。
【解析】
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠C = ∠A（平行四边形的对角相等），
已知∠A = 110°，
∴∠C = 110°。
【答案】
110°
【知识点】
平行四边形的性质
【点评】
本题考查平行四边形的基础性质，属于简单题型，只要牢记平行四边形对角相等的性质就能快速得出答案，侧重对基础知识的考查。
【难度系数】
0.8
13.某高中美术自主招生考试的综合成绩由专业成绩和面试成绩两部分组成，所占比例分别为$60\%$和$40\%$。小王的专业成绩是90分，面试成绩是80分，则小王的综合成绩是
86
分。答案
13.86
解析
【分析】
要计算小王的综合成绩，需利用加权平均数的计算方法，将专业成绩按其占比、面试成绩按其占比分别计算后求和，即可得到综合成绩。
【解析】
根据加权平均数公式，小王的综合成绩为：
$90×60\% + 80×40\% = 90×0.6 + 80×0.4 = 54 + 32 = 86$（分）
【答案】
86
【知识点】
加权平均数计算
【点评】
本题是加权平均数在实际问题中的基础应用，只需明确各成绩的权重，代入公式计算即可，属于简单题型。
【难度系数】
0.9
要计算小王的综合成绩，需利用加权平均数的计算方法，将专业成绩按其占比、面试成绩按其占比分别计算后求和，即可得到综合成绩。
【解析】
根据加权平均数公式，小王的综合成绩为：
$90×60\% + 80×40\% = 90×0.6 + 80×0.4 = 54 + 32 = 86$（分）
【答案】
86
【知识点】
加权平均数计算
【点评】
本题是加权平均数在实际问题中的基础应用，只需明确各成绩的权重，代入公式计算即可，属于简单题型。
【难度系数】
0.9
14.如图，$□ ABCD$的面积是32，点$E,G$在$AD$上，点$F,H$在$BC$上，且$EF// AB,GH// DC$，点$M,N$在$EF$上，点$P$在$GH$上，则
阴影部分的面积是________。
阴影部分的面积是________。
答案
14.16
解析
【分析】首先观察图形，平行四边形ABCD被EF、GH分割为多个小平行四边形，根据平行四边形的性质，每个小平行四边形中阴影部分的面积均为该小平行四边形面积的一半，因此所有阴影部分的总面积等于原平行四边形面积的一半。
【解析】因为$EF//AB$，$GH//DC$，所以四边形$ABFE$、$EFHG$、$GHCD$都是平行四边形。对于任意平行四边形，其内部阴影区域的面积为该平行四边形面积的一半，因此所有阴影部分的面积之和为平行四边形$ABCD$面积的一半，即$32÷2=16$。
【答案】16
【知识点】平行四边形面积、三角形面积
【点评】本题利用平行四边形的面积性质，无需复杂计算，关键是发现分割后小平行四边形的阴影面积与自身面积的关系，进而得到整体阴影面积。
【难度系数】0.5
【解析】因为$EF//AB$，$GH//DC$，所以四边形$ABFE$、$EFHG$、$GHCD$都是平行四边形。对于任意平行四边形，其内部阴影区域的面积为该平行四边形面积的一半，因此所有阴影部分的面积之和为平行四边形$ABCD$面积的一半，即$32÷2=16$。
【答案】16
【知识点】平行四边形面积、三角形面积
【点评】本题利用平行四边形的面积性质，无需复杂计算，关键是发现分割后小平行四边形的阴影面积与自身面积的关系，进而得到整体阴影面积。
【难度系数】0.5
