登录
16. (2024·杭州市钱塘区期末)先化简,再求值:
(1)$(2a - 3)^2 - 2a(2a - 3)$,其中$a=\frac{1}{2}$。
(2)$(1 - \frac{3}{x + 2}) ÷ \frac{x^2 - 2x + 1}{x^2 - 4}$,从1,2,3中选择一个合适的数代入并求值。
(1)$(2a - 3)^2 - 2a(2a - 3)$,其中$a=\frac{1}{2}$。
(2)$(1 - \frac{3}{x + 2}) ÷ \frac{x^2 - 2x + 1}{x^2 - 4}$,从1,2,3中选择一个合适的数代入并求值。
答案
16.(1)解:原式=4a²-12a+9-4a²+6a=-6a+9。当$a=\dfrac{1}{2}$时,原式=$(-6)×\dfrac{1}{2}+9=6$。
(2)解:原式=$(\dfrac{x+2}{x+2}-\dfrac{3}{x+2})×\dfrac{(x+2)(x-2)}{(x-1)^2}=\dfrac{x-1}{x+2}×\dfrac{(x+2)(x-2)}{(x-1)^2}=\dfrac{x-2}{x-1}$。因为$x≠1$且$x≠2$,所以$x=3$。当$x=3$时,原式=$\dfrac{3-2}{3-1}=\dfrac{1}{2}$。
(2)解:原式=$(\dfrac{x+2}{x+2}-\dfrac{3}{x+2})×\dfrac{(x+2)(x-2)}{(x-1)^2}=\dfrac{x-1}{x+2}×\dfrac{(x+2)(x-2)}{(x-1)^2}=\dfrac{x-2}{x-1}$。因为$x≠1$且$x≠2$,所以$x=3$。当$x=3$时,原式=$\dfrac{3-2}{3-1}=\dfrac{1}{2}$。
解析
【分析】
第(1)问：先利用完全平方公式展开$(2a-3)^2$，再根据单项式乘多项式法则计算$2a(2a-3)$，合并同类项化简式子，最后将$a=\frac{1}{2}$代入化简后的式子计算结果；
第(2)问：先对括号内的分式通分计算减法，再将除法转化为乘法，对分子分母因式分解后约分得到最简分式，接着根据分式有意义的条件确定$x$的取值范围，排除使分母为0的数值，最后选择合适的$x$值代入最简式求值。
【解析】
(1) 解：原式$=4a^2 -12a +9 -4a^2 +6a = -6a +9$。
当$a=\frac{1}{2}$时，原式$=-6×\frac{1}{2}+9=6$。
(2) 解：原式$=(\frac{x+2}{x+2}-\frac{3}{x+2})÷\frac{(x-1)^2}{(x+2)(x-2)}$
$=\frac{x-1}{x+2}×\frac{(x+2)(x-2)}{(x-1)^2}$
$=\frac{x-2}{x-1}$。
因为分式有意义，所以$x≠1$且$x≠2$，故选择$x=3$。
当$x=3$时，原式$=\frac{3-2}{3-1}=\frac{1}{2}$。
【答案】
16.(1)化简结果为$-6a+9$，值为$6$；(2)化简结果为$\frac{x-2}{x-1}$，当$x=3$时，值为$\frac{1}{2}$。
【知识点】
整式的化简求值、分式的化简求值
【点评】
本题是期末典型的化简求值题，综合考查整式运算与分式运算，需熟练掌握完全平方公式、因式分解、分式通分约分等知识点，解题时要注意分式有意义的条件，避免代入使分母为0的数值，计算过程需仔细，减少符号错误。
【难度系数】
0.7
第(1)问：先利用完全平方公式展开$(2a-3)^2$，再根据单项式乘多项式法则计算$2a(2a-3)$，合并同类项化简式子，最后将$a=\frac{1}{2}$代入化简后的式子计算结果；
第(2)问：先对括号内的分式通分计算减法，再将除法转化为乘法，对分子分母因式分解后约分得到最简分式，接着根据分式有意义的条件确定$x$的取值范围，排除使分母为0的数值，最后选择合适的$x$值代入最简式求值。
【解析】
(1) 解：原式$=4a^2 -12a +9 -4a^2 +6a = -6a +9$。
当$a=\frac{1}{2}$时，原式$=-6×\frac{1}{2}+9=6$。
(2) 解：原式$=(\frac{x+2}{x+2}-\frac{3}{x+2})÷\frac{(x-1)^2}{(x+2)(x-2)}$
$=\frac{x-1}{x+2}×\frac{(x+2)(x-2)}{(x-1)^2}$
$=\frac{x-2}{x-1}$。
因为分式有意义，所以$x≠1$且$x≠2$，故选择$x=3$。
当$x=3$时，原式$=\frac{3-2}{3-1}=\frac{1}{2}$。
【答案】
16.(1)化简结果为$-6a+9$，值为$6$；(2)化简结果为$\frac{x-2}{x-1}$，当$x=3$时，值为$\frac{1}{2}$。
【知识点】
整式的化简求值、分式的化简求值
【点评】
本题是期末典型的化简求值题，综合考查整式运算与分式运算，需熟练掌握完全平方公式、因式分解、分式通分约分等知识点，解题时要注意分式有意义的条件，避免代入使分母为0的数值，计算过程需仔细，减少符号错误。
【难度系数】
0.7
17.(2025·金华市永康市期末)下列从左到右的变形,因式分解正确的是 (
A.$(x-2)^2=x^2-4x+4$
B.$x^2-4x+4=x(x-4)+4$
C.$x^2-4x+4=x^2-4(x-1)$
D.$x^2-4x+4=(x-2)^2$
D
)A.$(x-2)^2=x^2-4x+4$
B.$x^2-4x+4=x(x-4)+4$
C.$x^2-4x+4=x^2-4(x-1)$
D.$x^2-4x+4=(x-2)^2$
答案
17.D
解析
【分析】
要判断从左到右的变形是否为正确的因式分解，需明确因式分解的定义：把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做因式分解，它与整式乘法是互逆运算。接下来逐一分析选项是否符合该定义。
【解析】
选项A：$(x-2)^2=x^2-4x+4$，是将整式的积展开为多项式，属于整式乘法，不是因式分解，错误。
选项B：$x^2-4x+4=x(x-4)+4$，右边是“整式乘积加常数”的和的形式，不是几个整式的积，不符合因式分解定义，错误。
选项C：$x^2-4x+4=x^2-4(x-1)$，右边仍为多项式形式，不是整式的积，不符合因式分解定义，错误。
选项D：$x^2-4x+4=(x-2)^2$，将多项式化为两个整式$(x-2)$的积的形式，符合因式分解的定义，正确。
【答案】
D
【知识点】
因式分解的定义
【点评】
本题考查因式分解的基本概念，核心是区分整式乘法与因式分解，判断变形结果是否为几个整式的积，属于基础概念题，需准确掌握定义即可解答。
【难度系数】
0.8
要判断从左到右的变形是否为正确的因式分解，需明确因式分解的定义：把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做因式分解，它与整式乘法是互逆运算。接下来逐一分析选项是否符合该定义。
【解析】
选项A：$(x-2)^2=x^2-4x+4$，是将整式的积展开为多项式，属于整式乘法，不是因式分解，错误。
选项B：$x^2-4x+4=x(x-4)+4$，右边是“整式乘积加常数”的和的形式，不是几个整式的积，不符合因式分解定义，错误。
选项C：$x^2-4x+4=x^2-4(x-1)$，右边仍为多项式形式，不是整式的积，不符合因式分解定义，错误。
选项D：$x^2-4x+4=(x-2)^2$，将多项式化为两个整式$(x-2)$的积的形式，符合因式分解的定义，正确。
【答案】
D
【知识点】
因式分解的定义
【点评】
本题考查因式分解的基本概念，核心是区分整式乘法与因式分解，判断变形结果是否为几个整式的积，属于基础概念题，需准确掌握定义即可解答。
【难度系数】
0.8
18. (2025·杭州市八县区期末)下列多项式可以用平方差公式分解因式的是 (
A.$x^2 + 4y^2$
B.$-x^2 + 4y^2$
C.$-x^2 - 4y^2$
D.$x^2 + 4xy + 4y^2$
B
)A.$x^2 + 4y^2$
B.$-x^2 + 4y^2$
C.$-x^2 - 4y^2$
D.$x^2 + 4xy + 4y^2$
答案
18.B
解析
【分析】要判断多项式能否用平方差公式分解因式，需明确平方差公式分解因式的核心条件：多项式为二项式，且两项都能表示为某个数（或式）的平方，同时两项符号相反（即形如$a^2 - b^2$）。接下来逐一分析各选项是否满足该条件。
【解析】根据平方差公式分解因式的要求：
选项A：$x^2 + 4y^2$是二项式，但两项符号均为正，不满足“符号相反”的要求，无法用平方差公式分解；
选项B：$-x^2 + 4y^2 = (2y)^2 - x^2$，是二项式，两项分别为$(2y)^2$和$x^2$，且符号相反，符合平方差公式的结构，可分解；
选项C：$-x^2 - 4y^2$是二项式，但两项符号均为负，不满足“符号相反”的要求，无法用平方差公式分解；
选项D：$x^2 + 4xy + 4y^2$是三项式，属于完全平方式，应使用完全平方公式分解，不符合平方差公式的要求。
综上，只有选项B符合条件。
【答案】B
【知识点】因式分解-平方差公式，因式分解
【点评】本题考查平方差公式分解因式的结构特征，属于基础题型，解题关键是准确记忆平方差公式的形式，区分平方差公式与完全平方公式的适用场景，难度较低，适合巩固基础。
【难度系数】0.8
【解析】根据平方差公式分解因式的要求：
选项A：$x^2 + 4y^2$是二项式，但两项符号均为正，不满足“符号相反”的要求，无法用平方差公式分解；
选项B：$-x^2 + 4y^2 = (2y)^2 - x^2$，是二项式，两项分别为$(2y)^2$和$x^2$，且符号相反，符合平方差公式的结构，可分解；
选项C：$-x^2 - 4y^2$是二项式，但两项符号均为负，不满足“符号相反”的要求，无法用平方差公式分解；
选项D：$x^2 + 4xy + 4y^2$是三项式，属于完全平方式，应使用完全平方公式分解，不符合平方差公式的要求。
综上，只有选项B符合条件。
【答案】B
【知识点】因式分解-平方差公式，因式分解
【点评】本题考查平方差公式分解因式的结构特征，属于基础题型，解题关键是准确记忆平方差公式的形式，区分平方差公式与完全平方公式的适用场景，难度较低，适合巩固基础。
【难度系数】0.8
19.(2024·杭州市上城区期末)因式分解:$2x^{2}-8=$
$2(x+2)(x-2)$
。答案
19.$2(x+2)(x-2)$
解析
【分析】
本题考查因式分解，解题思路为：先观察多项式，优先提取公因式，再利用平方差公式进一步分解。具体步骤：第一步，提取多项式各项的公因式2，得到2与另一个多项式的乘积；第二步，对提取公因式后剩余的多项式，判断是否符合平方差公式的形式，再用公式分解，最终得到结果。
【解析】
解：$2x^2 - 8 = 2(x^2 - 4)$（提取公因式2）
$= 2(x + 2)(x - 2)$（利用平方差公式$a^2 - b^2=(a+b)(a-b)$分解）
【答案】
$2(x+2)(x-2)$
【知识点】
因式分解、提公因式法、公式法
【点评】
本题是基础因式分解题，需掌握“先提公因式，再用公式”的分解顺序，是因式分解的核心基础题型，适合巩固基本方法。
【难度系数】
0.8
本题考查因式分解，解题思路为：先观察多项式，优先提取公因式，再利用平方差公式进一步分解。具体步骤：第一步，提取多项式各项的公因式2，得到2与另一个多项式的乘积；第二步，对提取公因式后剩余的多项式，判断是否符合平方差公式的形式，再用公式分解，最终得到结果。
【解析】
解：$2x^2 - 8 = 2(x^2 - 4)$（提取公因式2）
$= 2(x + 2)(x - 2)$（利用平方差公式$a^2 - b^2=(a+b)(a-b)$分解）
【答案】
$2(x+2)(x-2)$
【知识点】
因式分解、提公因式法、公式法
【点评】
本题是基础因式分解题，需掌握“先提公因式，再用公式”的分解顺序，是因式分解的核心基础题型，适合巩固基本方法。
【难度系数】
0.8
20. (2025·杭州市滨江区期末)因式分解:
(1)$x^4 - x^2$；
(2)$3ax^2 - 6axy + 3ay^2$；
(3)$b - a + 3(a - b)^2$。
(1)$x^4 - x^2$；
(2)$3ax^2 - 6axy + 3ay^2$；
(3)$b - a + 3(a - b)^2$。
答案
20.(1)解:原式=$x^2(x^2-1)=x^2(x+1)(x-1)$。
(2)解:原式=$3a(x^2-2xy+y^2)=3a(x-y)^2$。
(3)解:原式=$(b-a)+3(b-a)^2=(b-a)[1+3(b-a)]=(b-a)(3b-3a+1)$。
(2)解:原式=$3a(x^2-2xy+y^2)=3a(x-y)^2$。
(3)解:原式=$(b-a)+3(b-a)^2=(b-a)[1+3(b-a)]=(b-a)(3b-3a+1)$。
解析
【分析】
因式分解遵循“一提二套三检查”的思路：先提取公因式，再套用公式，最后确认分解彻底。
(1) 式子$x^4 - x^2$，先提取公因式$x^2$，剩余部分符合平方差公式，需继续分解；
(2) 式子$3ax^2 -6axy +3ay^2$，先提取公因式$3a$，剩余部分是完全平方形式，套用公式分解；
(3) 式子$b - a + 3(a - b)^2$，利用$(a-b)^2=(b-a)^2$统一因式，再提取公因式$(b-a)$，整理剩余项即可。
【解析】
(1) 原式$=x^2(x^2 -1)=x^2(x+1)(x-1)$；
(2) 原式$=3a(x^2 -2xy + y^2)=3a(x-y)^2$；
(3) 原式$=(b-a)+3(b-a)^2=(b-a)[1+3(b-a)]=(b-a)(3b-3a+1)$；
【答案】
20.(1)解:原式=$x^2(x^2-1)=x^2(x+1)(x-1)$。(2)解:原式=$3a(x^2-2xy+y^2)=3a(x-y)^2$。(3)解:原式=$(b-a)+3(b-a)^2=(b-a)[1+3(b-a)]=(b-a)(3b-3a+1)$。
【知识点】
因式分解、提公因式法、公式法
【点评】
本题考查因式分解的核心方法，涵盖提公因式法、平方差公式、完全平方公式，还涉及整体思想的应用，属于期末基础题型，需注意分解彻底、符号处理准确，是因式分解模块的典型考题。
【难度系数】
0.8
因式分解遵循“一提二套三检查”的思路：先提取公因式，再套用公式，最后确认分解彻底。
(1) 式子$x^4 - x^2$，先提取公因式$x^2$，剩余部分符合平方差公式，需继续分解；
(2) 式子$3ax^2 -6axy +3ay^2$，先提取公因式$3a$，剩余部分是完全平方形式，套用公式分解；
(3) 式子$b - a + 3(a - b)^2$，利用$(a-b)^2=(b-a)^2$统一因式，再提取公因式$(b-a)$，整理剩余项即可。
【解析】
(1) 原式$=x^2(x^2 -1)=x^2(x+1)(x-1)$；
(2) 原式$=3a(x^2 -2xy + y^2)=3a(x-y)^2$；
(3) 原式$=(b-a)+3(b-a)^2=(b-a)[1+3(b-a)]=(b-a)(3b-3a+1)$；
【答案】
20.(1)解:原式=$x^2(x^2-1)=x^2(x+1)(x-1)$。(2)解:原式=$3a(x^2-2xy+y^2)=3a(x-y)^2$。(3)解:原式=$(b-a)+3(b-a)^2=(b-a)[1+3(b-a)]=(b-a)(3b-3a+1)$。
【知识点】
因式分解、提公因式法、公式法
【点评】
本题考查因式分解的核心方法，涵盖提公因式法、平方差公式、完全平方公式，还涉及整体思想的应用，属于期末基础题型，需注意分解彻底、符号处理准确，是因式分解模块的典型考题。
【难度系数】
0.8
21. (2024·绍兴市柯桥区期末)因式分解:
(1)$am^2 - 4am + 4a$；
(2)$a^2(x - y) + b^2(y - x)$。
(1)$am^2 - 4am + 4a$；
(2)$a^2(x - y) + b^2(y - x)$。
答案
21.(1)解:原式=$a(m^2-4m+4)=a(m-2)^2$。
(2)解:原式=$a^2(x-y)-b^2(x-y)=(a^2-b^2)(x-y)=(a+b)(a-b)(x-y)$。
(2)解:原式=$a^2(x-y)-b^2(x-y)=(a^2-b^2)(x-y)=(a+b)(a-b)(x-y)$。
解析
【分析】
因式分解的核心思路是“一提二套”，即先提取公因式，再根据多项式结构套用公式分解。第(1)题各项均含公因式a，先提取后，剩余二次三项式符合完全平方公式；第(2)题需先将互为相反数的y-x变形为-(x-y)，转化后提取公因式(x-y)，剩余二项式符合平方差公式，最终分解至不能再分解为止。
【解析】
(1) 先提取公因式a，再套用完全平方公式：
原式 = a(m² - 4m + 4) = a(m - 2)²；
(2) 先将b²(y-x)变形为 -b²(x-y)，再提取公因式(x-y)，最后套用平方差公式：
原式 = a²(x - y) - b²(x - y) = (a² - b²)(x - y) = (a + b)(a - b)(x - y)；
【答案】
21.(1)解:原式=$a(m^2-4m+4)=a(m-2)^2$。(2)解:原式=$a^2(x-y)-b^2(x-y)=(a^2-b^2)(x-y)=(a+b)(a-b)(x-y)$。
【知识点】
提公因式法分解因式、公式法分解因式
【点评】
本题为因式分解基础题，综合考查提公因式法与公式法的应用，解题关键是处理符号变形和分解彻底性，是期末常考的基础题型。
【难度系数】
0.6
因式分解的核心思路是“一提二套”，即先提取公因式，再根据多项式结构套用公式分解。第(1)题各项均含公因式a，先提取后，剩余二次三项式符合完全平方公式；第(2)题需先将互为相反数的y-x变形为-(x-y)，转化后提取公因式(x-y)，剩余二项式符合平方差公式，最终分解至不能再分解为止。
【解析】
(1) 先提取公因式a，再套用完全平方公式：
原式 = a(m² - 4m + 4) = a(m - 2)²；
(2) 先将b²(y-x)变形为 -b²(x-y)，再提取公因式(x-y)，最后套用平方差公式：
原式 = a²(x - y) - b²(x - y) = (a² - b²)(x - y) = (a + b)(a - b)(x - y)；
【答案】
21.(1)解:原式=$a(m^2-4m+4)=a(m-2)^2$。(2)解:原式=$a^2(x-y)-b^2(x-y)=(a^2-b^2)(x-y)=(a+b)(a-b)(x-y)$。
【知识点】
提公因式法分解因式、公式法分解因式
【点评】
本题为因式分解基础题，综合考查提公因式法与公式法的应用，解题关键是处理符号变形和分解彻底性，是期末常考的基础题型。
【难度系数】
0.6
