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1. (2025·杭州市八县区期末)解方程(组)：
(1)$\begin{cases} x - 2y = 3, \\ 2x + 3y = -1; \end{cases}$
(2)$\dfrac{1 - x}{x - 2} + 2 = \dfrac{1}{2x - 4}$。
(1)$\begin{cases} x - 2y = 3, \\ 2x + 3y = -1; \end{cases}$
(2)$\dfrac{1 - x}{x - 2} + 2 = \dfrac{1}{2x - 4}$。
答案
1.(1)解：$\begin{cases} x - 2y = 3, ①\\ 2x + 3y = -1, ② \end{cases}$ 由 ② - ① × 2,得7y = -7,解得y = -1。把y = -1代入①,得x + 2 = 3,解得x = 1。所以原方程组的解为$\begin{cases} x = 1,\\ y = -1 \end{cases}$。
(2)解:方程的两边同乘2(x - 2),得2(1 - x) + 2 × 2(x - 2) = 1。去括号,得2 - 2x + 4x - 8 = 1。移项,合并同类项,得2x = 7,解得x = 3.5。检验:当x = 3.5时,2(x - 2) = 2 × (3.5 - 2) = 3 ≠ 0,所以x = 3.5是原方程的根。
(2)解:方程的两边同乘2(x - 2),得2(1 - x) + 2 × 2(x - 2) = 1。去括号,得2 - 2x + 4x - 8 = 1。移项,合并同类项,得2x = 7,解得x = 3.5。检验:当x = 3.5时,2(x - 2) = 2 × (3.5 - 2) = 3 ≠ 0,所以x = 3.5是原方程的根。
解析
【分析】
第(1)问是二元一次方程组，采用加减消元法，通过消去未知数x先求出y的值，再代入原方程求x的值；第(2)问是分式方程，需先转化为整式方程求解，最后必须检验解是否使原分母不为0，避免增根。
【解析】
(1) 解二元一次方程组：
$\begin{cases} x - 2y = 3, ①\\ 2x + 3y = -1, ② \end{cases}$
② - ①×2，得：$2x + 3y - 2(x - 2y) = -1 - 6$，化简得$7y = -7$，解得$y = -1$。
把$y = -1$代入①，得$x - 2×(-1) = 3$，解得$x = 1$。
所以方程组的解为$\begin{cases} x = 1\\ y = -1 \end{cases}$。
(2) 解分式方程：
$\dfrac{1 - x}{x - 2} + 2 = \dfrac{1}{2x - 4}$，先将分母因式分解，$2x - 4 = 2(x - 2)$，最简公分母为$2(x - 2)$。
方程两边同乘$2(x - 2)$，得：$2(1 - x) + 4(x - 2) = 1$，去括号得$2 - 2x + 4x - 8 = 1$，移项合并同类项得$2x = 7$，解得$x = 3.5$。
检验：当$x = 3.5$时，$2(x - 2) = 3 ≠ 0$，所以$x = 3.5$是原方程的根。
【答案】
(1) $\begin{cases} x = 1\\ y = -1 \end{cases}$；(2) $x = 3.5$
【知识点】
二元一次方程组的解法、分式方程的解法
【点评】
本题为期末基础题型，分别考察二元一次方程组的加减消元法和分式方程的解法，需注意分式方程求解后必须检验增根，整体侧重基础运算能力的考察。
【难度系数】
0.8
第(1)问是二元一次方程组，采用加减消元法，通过消去未知数x先求出y的值，再代入原方程求x的值；第(2)问是分式方程，需先转化为整式方程求解，最后必须检验解是否使原分母不为0，避免增根。
【解析】
(1) 解二元一次方程组：
$\begin{cases} x - 2y = 3, ①\\ 2x + 3y = -1, ② \end{cases}$
② - ①×2，得：$2x + 3y - 2(x - 2y) = -1 - 6$，化简得$7y = -7$，解得$y = -1$。
把$y = -1$代入①，得$x - 2×(-1) = 3$，解得$x = 1$。
所以方程组的解为$\begin{cases} x = 1\\ y = -1 \end{cases}$。
(2) 解分式方程：
$\dfrac{1 - x}{x - 2} + 2 = \dfrac{1}{2x - 4}$，先将分母因式分解，$2x - 4 = 2(x - 2)$，最简公分母为$2(x - 2)$。
方程两边同乘$2(x - 2)$，得：$2(1 - x) + 4(x - 2) = 1$，去括号得$2 - 2x + 4x - 8 = 1$，移项合并同类项得$2x = 7$，解得$x = 3.5$。
检验：当$x = 3.5$时，$2(x - 2) = 3 ≠ 0$，所以$x = 3.5$是原方程的根。
【答案】
(1) $\begin{cases} x = 1\\ y = -1 \end{cases}$；(2) $x = 3.5$
【知识点】
二元一次方程组的解法、分式方程的解法
【点评】
本题为期末基础题型，分别考察二元一次方程组的加减消元法和分式方程的解法，需注意分式方程求解后必须检验增根，整体侧重基础运算能力的考察。
【难度系数】
0.8
2. (2025·杭州市上城区期末)解方程(组)：
(1)$\begin{cases} y=3x - 1, \\ 2x + 4y = 24; \end{cases}$
(2)$\dfrac{1}{x - 2} + 2 = \dfrac{1 - x}{2 - x}$。
(1)$\begin{cases} y=3x - 1, \\ 2x + 4y = 24; \end{cases}$
(2)$\dfrac{1}{x - 2} + 2 = \dfrac{1 - x}{2 - x}$。
答案
2.(1)解：$\begin{cases} y=3x - 1, ①\\ 2x + 4y = 24, ② \end{cases}$ 把①代入②,得2x + 4(3x - 1) = 24,解得x = 2。把x = 2代入①,得y = 5。所以原方程组的解为$\begin{cases} x = 2,\\ y = 5 \end{cases}$。
(2)解:方程的两边同乘(x - 2),得1 + 2(x - 2) = -(1 - x)。去括号,得1 + 2x - 4 = -1 + x。移项,合并同类项,得x = 2。检验:当x = 2时,x - 2 = 0,所以x = 2是原方程的增根,所以原方程无解。
(2)解:方程的两边同乘(x - 2),得1 + 2(x - 2) = -(1 - x)。去括号,得1 + 2x - 4 = -1 + x。移项,合并同类项,得x = 2。检验:当x = 2时,x - 2 = 0,所以x = 2是原方程的增根,所以原方程无解。
解析
【分析】
本题分为两小问，第一问是二元一次方程组，因其中一个方程已用含x的式子表示y，故采用代入消元法求解；第二问是分式方程，需先转化为整式方程求解，再检验是否为增根。
【解析】
(1) 解方程组：
$\begin{cases} y=3x - 1, ①\\ 2x + 4y = 24, ② \end{cases}$
把①代入②，得$2x + 4(3x - 1) = 24$，
去括号：$2x + 12x - 4 = 24$，
合并同类项：$14x = 28$，
解得$x = 2$。
把$x = 2$代入①，得$y = 3×2 - 1 = 5$。
所以原方程组的解为$\begin{cases} x = 2,\\ y = 5 \end{cases}$。
(2) 解分式方程：
$\dfrac{1}{x - 2} + 2 = \dfrac{1 - x}{2 - x}$，
方程两边同乘$(x - 2)$，得$1 + 2(x - 2) = -(1 - x)$，
去括号：$1 + 2x - 4 = -1 + x$，
移项、合并同类项：$x = 2$。
检验：当$x = 2$时，$x - 2 = 0$，分母为0，所以$x = 2$是原方程的增根，因此原方程无解。
【答案】
(1) $\begin{cases} x = 2,\\ y = 5 \end{cases}$；(2) 无解
【知识点】
二元一次方程组的解法、分式方程的解法
【点评】
本题考查基础的方程（组）求解，代入消元法是解二元一次方程组的常用方法，分式方程求解后必须检验增根，这是易错点，整体难度不大，属于常规题型。
【难度系数】
0.7
本题分为两小问，第一问是二元一次方程组，因其中一个方程已用含x的式子表示y，故采用代入消元法求解；第二问是分式方程，需先转化为整式方程求解，再检验是否为增根。
【解析】
(1) 解方程组：
$\begin{cases} y=3x - 1, ①\\ 2x + 4y = 24, ② \end{cases}$
把①代入②，得$2x + 4(3x - 1) = 24$，
去括号：$2x + 12x - 4 = 24$，
合并同类项：$14x = 28$，
解得$x = 2$。
把$x = 2$代入①，得$y = 3×2 - 1 = 5$。
所以原方程组的解为$\begin{cases} x = 2,\\ y = 5 \end{cases}$。
(2) 解分式方程：
$\dfrac{1}{x - 2} + 2 = \dfrac{1 - x}{2 - x}$，
方程两边同乘$(x - 2)$，得$1 + 2(x - 2) = -(1 - x)$，
去括号：$1 + 2x - 4 = -1 + x$，
移项、合并同类项：$x = 2$。
检验：当$x = 2$时，$x - 2 = 0$，分母为0，所以$x = 2$是原方程的增根，因此原方程无解。
【答案】
(1) $\begin{cases} x = 2,\\ y = 5 \end{cases}$；(2) 无解
【知识点】
二元一次方程组的解法、分式方程的解法
【点评】
本题考查基础的方程（组）求解，代入消元法是解二元一次方程组的常用方法，分式方程求解后必须检验增根，这是易错点，整体难度不大，属于常规题型。
【难度系数】
0.7
3. (2025·杭州市滨江区期末)解方程(组):
(1)$\begin{cases}2x - 7y = -1, \\3x - 8y = 1;\end{cases}$
(2)$\begin{cases}100x + y = 2.002, \\500x + y = 2.01;\end{cases}$
(3)$\dfrac{1}{x} - 5 = -\dfrac{5x}{x + 3}$。
(1)$\begin{cases}2x - 7y = -1, \\3x - 8y = 1;\end{cases}$
(2)$\begin{cases}100x + y = 2.002, \\500x + y = 2.01;\end{cases}$
(3)$\dfrac{1}{x} - 5 = -\dfrac{5x}{x + 3}$。
答案
3.(1)解：$\begin{cases}2x - 7y = -1, ①\\3x - 8y = 1, ②\end{cases}$ 由①×3,得6x - 21y = -3③。由②×2,得6x - 16y = 2④。由④ - ③,得5y = 5,解得y = 1。把y = 1代入①,得2x - 7 = -1,解得x = 3。所以原方程组的解为$\begin{cases} x = 3,\\ y = 1 \end{cases}$。
(2)解：$\begin{cases}100x + y = 2.002, ①\\500x + y = 2.01, ②\end{cases}$ 由② - ①,得400x = 0.008,解得x = 0.00002。把x = 0.00002代入①,得100 × 0.00002 + y = 2.002,解得y = 2。所以原方程组的解为$\begin{cases} x = 0.00002,\\ y = 2 \end{cases}$。
(3)解:方程的两边同乘x(x + 3),得x + 3 - 5x(x + 3) = -5x²。去括号,得x + 3 - 5x² - 15x = -5x²。移项,合并同类项,得-14x = -3,解得$x = \dfrac{3}{14}$。检验:把$x = \dfrac{3}{14}$代入x(x + 3),得$x(x + 3) = \dfrac{3}{14}×(\dfrac{3}{14} + 3) = \dfrac{135}{196}≠0$,所以$x = \dfrac{3}{14}$是原方程的根。
(2)解：$\begin{cases}100x + y = 2.002, ①\\500x + y = 2.01, ②\end{cases}$ 由② - ①,得400x = 0.008,解得x = 0.00002。把x = 0.00002代入①,得100 × 0.00002 + y = 2.002,解得y = 2。所以原方程组的解为$\begin{cases} x = 0.00002,\\ y = 2 \end{cases}$。
(3)解:方程的两边同乘x(x + 3),得x + 3 - 5x(x + 3) = -5x²。去括号,得x + 3 - 5x² - 15x = -5x²。移项,合并同类项,得-14x = -3,解得$x = \dfrac{3}{14}$。检验:把$x = \dfrac{3}{14}$代入x(x + 3),得$x(x + 3) = \dfrac{3}{14}×(\dfrac{3}{14} + 3) = \dfrac{135}{196}≠0$,所以$x = \dfrac{3}{14}$是原方程的根。
解析
【分析】
本题包含二元一次方程组和分式方程的求解，需根据不同方程类型选择对应方法：
1. 第(1)题是二元一次方程组，利用加减消元法，通过将两个方程变形消去一个未知数，先求一个未知数的值，再代入求另一个；
2. 第(2)题也是二元一次方程组，两个方程中y的系数相同，直接用两式相减消去y，简化计算；
3. 第(3)题是分式方程，先去分母转化为整式方程求解，最后必须检验，避免增根。
【解析】
(1) 解：$\begin{cases}2x - 7y = -1, ①\\3x - 8y = 1, ②\end{cases}$
由①×3，得$6x - 21y = -3$③；
由②×2，得$6x - 16y = 2$④；
由④ - ③，得$5y = 5$，解得$y = 1$；
把$y = 1$代入①，得$2x - 7 = -1$，解得$x = 3$；
所以原方程组的解为$\begin{cases} x = 3,\\ y = 1 \end{cases}$。
(2) 解：$\begin{cases}100x + y = 2.002, ①\\500x + y = 2.01, ②\end{cases}$
由② - ①，得$400x = 0.008$，解得$x = 0.00002$；
把$x = 0.00002$代入①，得$100 × 0.00002 + y = 2.002$，解得$y = 2$；
所以原方程组的解为$\begin{cases} x = 0.00002,\\ y = 2 \end{cases}$。
(3) 解: 方程两边同乘$x(x + 3)$，得$x + 3 - 5x(x + 3) = -5x²$；
去括号，得$x + 3 - 5x² - 15x = -5x²$；
移项、合并同类项，得$-14x = -3$，解得$x = \dfrac{3}{14}$；
检验: 把$x = \dfrac{3}{14}$代入$x(x + 3)$，得$x(x + 3) = \dfrac{3}{14}×(\dfrac{3}{14} + 3) = \dfrac{135}{196}≠0$，所以$x = \dfrac{3}{14}$是原方程的根。
【答案】
(1)$\begin{cases} x = 3,\\ y = 1 \end{cases}$；(2)$\begin{cases} x = 0.00002,\\ y = 2 \end{cases}$；(3)$x = \dfrac{3}{14}$
【知识点】
二元一次方程组的解法、分式方程的解法
【点评】
本题考查解方程（组）的基础题型，涵盖二元一次方程组的加减消元法、分式方程的求解步骤，需注意分式方程必须检验增根，计算时要仔细准确。
【难度系数】
0.7
本题包含二元一次方程组和分式方程的求解，需根据不同方程类型选择对应方法：
1. 第(1)题是二元一次方程组，利用加减消元法，通过将两个方程变形消去一个未知数，先求一个未知数的值，再代入求另一个；
2. 第(2)题也是二元一次方程组，两个方程中y的系数相同，直接用两式相减消去y，简化计算；
3. 第(3)题是分式方程，先去分母转化为整式方程求解，最后必须检验，避免增根。
【解析】
(1) 解：$\begin{cases}2x - 7y = -1, ①\\3x - 8y = 1, ②\end{cases}$
由①×3，得$6x - 21y = -3$③；
由②×2，得$6x - 16y = 2$④；
由④ - ③，得$5y = 5$，解得$y = 1$；
把$y = 1$代入①，得$2x - 7 = -1$，解得$x = 3$；
所以原方程组的解为$\begin{cases} x = 3,\\ y = 1 \end{cases}$。
(2) 解：$\begin{cases}100x + y = 2.002, ①\\500x + y = 2.01, ②\end{cases}$
由② - ①，得$400x = 0.008$，解得$x = 0.00002$；
把$x = 0.00002$代入①，得$100 × 0.00002 + y = 2.002$，解得$y = 2$；
所以原方程组的解为$\begin{cases} x = 0.00002,\\ y = 2 \end{cases}$。
(3) 解: 方程两边同乘$x(x + 3)$，得$x + 3 - 5x(x + 3) = -5x²$；
去括号，得$x + 3 - 5x² - 15x = -5x²$；
移项、合并同类项，得$-14x = -3$，解得$x = \dfrac{3}{14}$；
检验: 把$x = \dfrac{3}{14}$代入$x(x + 3)$，得$x(x + 3) = \dfrac{3}{14}×(\dfrac{3}{14} + 3) = \dfrac{135}{196}≠0$，所以$x = \dfrac{3}{14}$是原方程的根。
【答案】
(1)$\begin{cases} x = 3,\\ y = 1 \end{cases}$；(2)$\begin{cases} x = 0.00002,\\ y = 2 \end{cases}$；(3)$x = \dfrac{3}{14}$
【知识点】
二元一次方程组的解法、分式方程的解法
【点评】
本题考查解方程（组）的基础题型，涵盖二元一次方程组的加减消元法、分式方程的求解步骤，需注意分式方程必须检验增根，计算时要仔细准确。
【难度系数】
0.7
