登录
4.(2024·杭州市上城区期末)数学文化《九章算术》是我国东汉初年编订的一部数学经典著作。在它的“方程”一章里，一次方程组是由算筹布置而成的。《九章算术》中的算筹图是竖排的，为看图方便，我们把它改为横排，如图1、图2。图1中各行从左到右列出的算筹数分别表示未知数$x,y$的系数与相应的常数项，把图1所示的算筹图用我们现在所熟悉的方程组形式表述出来，就是$\begin{cases}3x + 2y = 19, \\ x + 4y = 23。\end{cases}$类似地，若图2所示算筹图列出的方程组解得$x=3$，则图2中的“?”所表示的算筹为（ ）
A.$\boldsymbol{|}$
B.$\boldsymbol{||}$
C.$\boldsymbol{|||}$
D.$\boldsymbol{||||}$
A.$\boldsymbol{|}$
B.$\boldsymbol{||}$
C.$\boldsymbol{|||}$
D.$\boldsymbol{||||}$
答案
4.B
解析
【分析】
首先明确算筹图的对应规则：图中每行从左到右的算筹数依次表示未知数$x$的系数、$y$的系数、对应方程的常数项。已知图1的算筹对应方程组$\begin{cases}3x + 2y =19 \\x +4y=23\end{cases}$，解为$x=3$，$y=5$。对于图2，已知方程组的解$x=3$，需先通过图2中已知的方程求出$y$的值，再代入含“？”的方程，计算出“？”对应的算筹数。
【解析】
根据题意，图2的方程组为$\begin{cases}x + ?y =7 \\2x + y =8\end{cases}$（符合算筹表示的整数系数规则）。
1. 代入$x=3$到方程$2x + y =8$中，得：$2×3 + y =8$，解得$y=2$；
2. 将$x=3$、$y=2$代入方程$x + ?y =7$中，得：$3 + ?×2 =7$，解得$?=2$；
3. 算筹中数字2对应“||”，因此“？”表示的算筹为“||”。
【答案】
B
【知识点】
二元一次方程组的应用、算筹与方程的对应
【点评】
本题结合《九章算术》的算筹文化考查二元一次方程组的应用，核心是理解算筹与方程组系数、常数项的对应关系，通过已知解代入方程计算未知量，属于中等应用题型。
【难度系数】
0.5
首先明确算筹图的对应规则：图中每行从左到右的算筹数依次表示未知数$x$的系数、$y$的系数、对应方程的常数项。已知图1的算筹对应方程组$\begin{cases}3x + 2y =19 \\x +4y=23\end{cases}$，解为$x=3$，$y=5$。对于图2，已知方程组的解$x=3$，需先通过图2中已知的方程求出$y$的值，再代入含“？”的方程，计算出“？”对应的算筹数。
【解析】
根据题意，图2的方程组为$\begin{cases}x + ?y =7 \\2x + y =8\end{cases}$（符合算筹表示的整数系数规则）。
1. 代入$x=3$到方程$2x + y =8$中，得：$2×3 + y =8$，解得$y=2$；
2. 将$x=3$、$y=2$代入方程$x + ?y =7$中，得：$3 + ?×2 =7$，解得$?=2$；
3. 算筹中数字2对应“||”，因此“？”表示的算筹为“||”。
【答案】
B
【知识点】
二元一次方程组的应用、算筹与方程的对应
【点评】
本题结合《九章算术》的算筹文化考查二元一次方程组的应用，核心是理解算筹与方程组系数、常数项的对应关系，通过已知解代入方程计算未知量，属于中等应用题型。
【难度系数】
0.5
5.(2025·衢州市柯城区期末)数学文化 我国古代数学名著《九章算术》记载:"今有牛五、羊二,直金十九两;牛二、羊三,直金十二两。问牛、羊各直金几何?"题目大意是:5头牛、2只羊共19两银子;2头牛、3只羊共12两银子,每头牛、每只羊各多少两银子? 设1头牛$x$两银子,1只羊$y$两银子,则可列方程组为 (
A.$\begin{cases}5x + 2y = 19, \\2x + 3y = 12\end{cases}$
B.$\begin{cases}5x + 2y = 12, \\2x + 3y = 19\end{cases}$
C.$\begin{cases}2x + 5y = 19, \\3x + 2y = 12\end{cases}$
D.$\begin{cases}2x + 5y = 12, \\3x + 2y = 19\end{cases}$
A
)A.$\begin{cases}5x + 2y = 19, \\2x + 3y = 12\end{cases}$
B.$\begin{cases}5x + 2y = 12, \\2x + 3y = 19\end{cases}$
C.$\begin{cases}2x + 5y = 19, \\3x + 2y = 12\end{cases}$
D.$\begin{cases}2x + 5y = 12, \\3x + 2y = 19\end{cases}$
答案
5.A
解析
【分析】
要解决这个问题，需根据题目给出的两个等量关系分别列方程，再组合成方程组。首先明确1头牛的价格为$x$两，1只羊的价格为$y$两，第一个等量关系是“5头牛和2只羊共19两银子”，第二个等量关系是“2头牛和3只羊共12两银子”，据此列出方程组即可匹配选项。
【解析】
设1头牛$x$两银子，1只羊$y$两银子。
根据“5头牛、2只羊共19两银子”，可得方程：$5x + 2y = 19$；
根据“2头牛、3只羊共12两银子”，可得方程：$2x + 3y = 12$；
将两个方程组合成方程组，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
二元一次方程组的应用
【点评】
本题结合古代数学文化考查二元一次方程组的应用，核心是找准题目中的等量关系，属于基础题型，难度较低。
【难度系数】
0.8
要解决这个问题，需根据题目给出的两个等量关系分别列方程，再组合成方程组。首先明确1头牛的价格为$x$两，1只羊的价格为$y$两，第一个等量关系是“5头牛和2只羊共19两银子”，第二个等量关系是“2头牛和3只羊共12两银子”，据此列出方程组即可匹配选项。
【解析】
设1头牛$x$两银子，1只羊$y$两银子。
根据“5头牛、2只羊共19两银子”，可得方程：$5x + 2y = 19$；
根据“2头牛、3只羊共12两银子”，可得方程：$2x + 3y = 12$；
将两个方程组合成方程组，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
二元一次方程组的应用
【点评】
本题结合古代数学文化考查二元一次方程组的应用，核心是找准题目中的等量关系，属于基础题型，难度较低。
【难度系数】
0.8
6. 数学文化 我国古代数学名著《四元玉鉴》记载“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，倩人去买几株椽。每株脚钱三文足，无钱准与一株椽”。大意是：“现请人代买一批椽，这批椽的总售价为6210文。如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问6210文能买多少株椽？”设6210文能买x株椽，则由题意可列方程为 （
A.$\frac{6210}{x}=3x - 1$
B.$\frac{6210}{x}=3(x - 1)$
C.$\frac{6210}{x - 1}=3x$
D.$\frac{6210}{x - 1}=3(x - 1)$
B
）A.$\frac{6210}{x}=3x - 1$
B.$\frac{6210}{x}=3(x - 1)$
C.$\frac{6210}{x - 1}=3x$
D.$\frac{6210}{x - 1}=3(x - 1)$
答案
6.B
解析
【分析】
首先设6210文能买$x$株椽，需明确两个核心量：①每株椽的售价，等于总售价除以椽的数量，即$\frac{6210}{x}$文；②少拿1株椽后，剩余椽的数量为$(x-1)$株，剩余椽的总运费为每株运费乘以剩余数量，即$3(x-1)$文。根据题意，剩余椽的总运费恰好等于1株椽的售价，由此建立等量关系。
【解析】
设6210文能买$x$株椽，
每株椽的售价：总售价6210文，共$x$株，故每株售价为$\frac{6210}{x}$文；
少拿1株椽后，剩余椽数量为$(x-1)$株，剩余椽的总运费为$3×(x-1)$文；
根据“剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱”，可列方程：$\frac{6210}{x}=3(x-1)$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
分式方程的应用
【点评】
本题结合古代数学文化背景，考查分式方程的实际应用，关键是找准等量关系，理清各量间的联系，属于中等难度的应用题。
【难度系数】
0.5
首先设6210文能买$x$株椽，需明确两个核心量：①每株椽的售价，等于总售价除以椽的数量，即$\frac{6210}{x}$文；②少拿1株椽后，剩余椽的数量为$(x-1)$株，剩余椽的总运费为每株运费乘以剩余数量，即$3(x-1)$文。根据题意，剩余椽的总运费恰好等于1株椽的售价，由此建立等量关系。
【解析】
设6210文能买$x$株椽，
每株椽的售价：总售价6210文，共$x$株，故每株售价为$\frac{6210}{x}$文；
少拿1株椽后，剩余椽数量为$(x-1)$株，剩余椽的总运费为$3×(x-1)$文；
根据“剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱”，可列方程：$\frac{6210}{x}=3(x-1)$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
分式方程的应用
【点评】
本题结合古代数学文化背景，考查分式方程的实际应用，关键是找准等量关系，理清各量间的联系，属于中等难度的应用题。
【难度系数】
0.5
