登录
8.我国古代数学名著《九章算术》中记载：“今有户高多余广六尺八寸(一尺等于十寸)，两隅相去适一丈(一丈等于十尺)。问户高、广各几何？”意思为“现有一扇门，高比宽多了六尺八寸，门的对角线长刚好为一丈。门的高和宽各为多少？”如图，设户广为$ x $尺，可列出方程 （
A.$(x - 6.8)^2 + x^2 = 10^2$
B.$(x + 6.8)^2 + x^2 = 10^2$
C.$(x + 6.8)^2 + 10^2 = x^2$
D.$x^2 + 10^2 = (x + 6.8)^2$
B
）A.$(x - 6.8)^2 + x^2 = 10^2$
B.$(x + 6.8)^2 + x^2 = 10^2$
C.$(x + 6.8)^2 + 10^2 = x^2$
D.$x^2 + 10^2 = (x + 6.8)^2$
答案
8.B
解析
【分析】
要解决这道题，首先需统一题目中的单位：1丈=10尺，6尺8寸=6.8尺。设户广为x尺，根据“高比宽多6.8尺”，可知户高为(x+6.8)尺。门的宽、高和对角线构成直角三角形，根据勾股定理，直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方，据此可列出方程。
【解析】
解：单位换算：1丈=10尺，6尺8寸=6.8尺。
设户广为x尺，则户高为(x + 6.8)尺。
由于门的宽、高与对角线构成直角三角形，根据勾股定理：直角边1的平方 + 直角边2的平方 = 斜边的平方，代入各量可得：$(x + 6.8)^2 + x^2 = 10^2$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
勾股定理、一元二次方程应用
【点评】
本题以古代数学问题为背景，考查勾股定理的实际应用，核心是明确直角三角形的三边关系，需注意单位的统一，属于基础题型，难度适中。
【难度系数】
0.6
要解决这道题，首先需统一题目中的单位：1丈=10尺，6尺8寸=6.8尺。设户广为x尺，根据“高比宽多6.8尺”，可知户高为(x+6.8)尺。门的宽、高和对角线构成直角三角形，根据勾股定理，直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方，据此可列出方程。
【解析】
解：单位换算：1丈=10尺，6尺8寸=6.8尺。
设户广为x尺，则户高为(x + 6.8)尺。
由于门的宽、高与对角线构成直角三角形，根据勾股定理：直角边1的平方 + 直角边2的平方 = 斜边的平方，代入各量可得：$(x + 6.8)^2 + x^2 = 10^2$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
勾股定理、一元二次方程应用
【点评】
本题以古代数学问题为背景，考查勾股定理的实际应用，核心是明确直角三角形的三边关系，需注意单位的统一，属于基础题型，难度适中。
【难度系数】
0.6
9. 如图,在矩形ABCD中,AD=3,AB=4,M为线段BD上一动点,过点M作MP⊥CD于点P,MQ⊥BC于点Q,连结PQ,则PQ的最小值为（
A.$\frac{12}{5}$
B.3
C.$\frac{24}{5}$
D.$\frac{5}{2}$
A
）A.$\frac{12}{5}$
B.3
C.$\frac{24}{5}$
D.$\frac{5}{2}$
答案
9.A
解析
【分析】
要解决PQ的最小值问题，先观察图形：矩形ABCD中，MP⊥CD、MQ⊥BC，结合∠C为直角，可推出四边形MPCQ是矩形，根据矩形对角线相等，得PQ=MC，因此求PQ的最小值等价于求线段MC的最小值。由于M在BD上，根据“点到直线的距离，垂线段最短”，当CM⊥BD时，MC最短，只需计算此时CM的长度即可。
【解析】
在矩形ABCD中，∠BCD=90°，AD=BC=3，AB=CD=4，由勾股定理得BD=√(AB²+AD²)=√(4²+3²)=5。
因为MP⊥CD，MQ⊥BC，所以∠MPC=∠MQ C=90°，故四边形MPCQ是矩形，因此PQ=MC。
当CM⊥BD时，MC取得最小值（点到直线的垂线段最短）。此时，△BCD的面积可表示为：
S△BCD = 1/2 × BC × CD = 1/2 × 3 × 4 = 6，
同时S△BCD = 1/2 × BD × CM，代入BD=5，得：
1/2 ×5×CM=6 → CM= (6×2)/5=12/5，
即PQ的最小值为12/5。
【答案】
A
【知识点】
矩形的性质、垂线段最短、勾股定理
【点评】
本题通过矩形的性质将PQ转化为MC，再利用垂线段最短求最值，体现了几何中的转化思想，是矩形相关的常见最值问题。
【难度系数】
0.5
要解决PQ的最小值问题，先观察图形：矩形ABCD中，MP⊥CD、MQ⊥BC，结合∠C为直角，可推出四边形MPCQ是矩形，根据矩形对角线相等，得PQ=MC，因此求PQ的最小值等价于求线段MC的最小值。由于M在BD上，根据“点到直线的距离，垂线段最短”，当CM⊥BD时，MC最短，只需计算此时CM的长度即可。
【解析】
在矩形ABCD中，∠BCD=90°，AD=BC=3，AB=CD=4，由勾股定理得BD=√(AB²+AD²)=√(4²+3²)=5。
因为MP⊥CD，MQ⊥BC，所以∠MPC=∠MQ C=90°，故四边形MPCQ是矩形，因此PQ=MC。
当CM⊥BD时，MC取得最小值（点到直线的垂线段最短）。此时，△BCD的面积可表示为：
S△BCD = 1/2 × BC × CD = 1/2 × 3 × 4 = 6，
同时S△BCD = 1/2 × BD × CM，代入BD=5，得：
1/2 ×5×CM=6 → CM= (6×2)/5=12/5，
即PQ的最小值为12/5。
【答案】
A
【知识点】
矩形的性质、垂线段最短、勾股定理
【点评】
本题通过矩形的性质将PQ转化为MC，再利用垂线段最短求最值，体现了几何中的转化思想，是矩形相关的常见最值问题。
【难度系数】
0.5
10.如图,在$□ ABCD$中,O是对角线AC,BD的交点,M是BC上的一点,连结OM。连结AM,DM,分别交BD,AC于点E,F。若$△ ABE$的面积为$5$,$BE: DE=1: 5$,则$△ OEM$的面积为 （
A.1
B.2
C.3
D.5
B
）A.1
B.2
C.3
D.5
答案
10.B 解析:因为四边形ABCD为平行四边形,所以OB=OD,AD//BC。又因为BE:DE=1:5,所以BE:DE:BD=1:5:6,所以BE:BO=1:3,BE:OE=1:2,所以OE:OD=2:3。又因为AD//BC,所以$S_{△ABD}=S_{△AMD}$,所以$S_{△ABE}+S_{△AED}=S_{△MED}+S_{△AED}$,即$S_{△ABE}=S_{△MED}=5$,所以$S_{△OEM}=\frac{2}{2+3}·S_{△MED}=2$。故选B。
解析
【分析】
要解决本题，需结合平行四边形的性质，通过三角形面积的转换和线段比例关系推导结果。首先利用平行四边形对边平行、对角线互相平分的性质得到线段比例；再根据“平行线间同底的三角形面积相等”，将已知△ABE的面积转换为△MED的面积；最后利用同高三角形的面积比等于底的比，计算△OEM的面积。
【解析】
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ AD//BC，OB=OD（平行四边形对角线互相平分）。
已知BE:DE=1:5，设BE=k，则DE=5k，BD=BE+DE=6k，
∴ BO=OD=½BD=3k，
∴ OE=BO - BE=3k - k=2k，即OE:OD=2:3，且ED=OE+OD=5k。
∵ AD//BC，
∴ △ABD与△AMD同底（AD）等高（AD与BC平行，两三角形顶点B、M到AD的距离相等），
∴ S△ABD = S△AMD。
又
∵ S△ABD = S△ABE + S△AED，S△AMD = S△MED + S△AED，
∴ S△ABE = S△MED = 5（等式两边减去公共部分S△AED）。
△OEM与△MED同高（顶点为M，底边在直线BD上，高均为M到BD的距离），
∴ S△OEM / S△MED = OE / ED = 2k /5k = 2/5，
∴ S△OEM = (2/5)×S△MED = (2/5)×5 = 2。
【答案】
2
【知识点】
平行四边形性质、三角形面积、平行线间距离
【点评】
本题综合考查平行四边形的性质与三角形面积的比例关系，核心是利用平行线转换三角形面积，再结合线段比例求解，需要学生具备图形分析和面积转换的能力。
【难度系数】
0.4
要解决本题，需结合平行四边形的性质，通过三角形面积的转换和线段比例关系推导结果。首先利用平行四边形对边平行、对角线互相平分的性质得到线段比例；再根据“平行线间同底的三角形面积相等”，将已知△ABE的面积转换为△MED的面积；最后利用同高三角形的面积比等于底的比，计算△OEM的面积。
【解析】
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ AD//BC，OB=OD（平行四边形对角线互相平分）。
已知BE:DE=1:5，设BE=k，则DE=5k，BD=BE+DE=6k，
∴ BO=OD=½BD=3k，
∴ OE=BO - BE=3k - k=2k，即OE:OD=2:3，且ED=OE+OD=5k。
∵ AD//BC，
∴ △ABD与△AMD同底（AD）等高（AD与BC平行，两三角形顶点B、M到AD的距离相等），
∴ S△ABD = S△AMD。
又
∵ S△ABD = S△ABE + S△AED，S△AMD = S△MED + S△AED，
∴ S△ABE = S△MED = 5（等式两边减去公共部分S△AED）。
△OEM与△MED同高（顶点为M，底边在直线BD上，高均为M到BD的距离），
∴ S△OEM / S△MED = OE / ED = 2k /5k = 2/5，
∴ S△OEM = (2/5)×S△MED = (2/5)×5 = 2。
【答案】
2
【知识点】
平行四边形性质、三角形面积、平行线间距离
【点评】
本题综合考查平行四边形的性质与三角形面积的比例关系，核心是利用平行线转换三角形面积，再结合线段比例求解，需要学生具备图形分析和面积转换的能力。
【难度系数】
0.4
11. 计算：$\sqrt{(-2)^2}=$______。
答案
11.2
解析
【分析】
本题考查二次根式的计算，解题思路是：先通过乘方运算求出被开方数，再利用二次根式的性质（算术平方根的非负性）计算结果，需牢记√a²=|a|，最终结果为非负数。
【解析】
步骤1：计算被开方数：$(-2)^2=(-2)×(-2)=4$；
步骤2：计算算术平方根：$\sqrt{4}=2$，因此$\sqrt{(-2)^2}=2$。
【答案】
2
【知识点】
二次根式的性质、算术平方根
【点评】
本题是基础计算题，核心考查二次根式的基本性质，需注意算术平方根的非负性，避免误算为-2，适合巩固基础概念。
【难度系数】
0.8
本题考查二次根式的计算，解题思路是：先通过乘方运算求出被开方数，再利用二次根式的性质（算术平方根的非负性）计算结果，需牢记√a²=|a|，最终结果为非负数。
【解析】
步骤1：计算被开方数：$(-2)^2=(-2)×(-2)=4$；
步骤2：计算算术平方根：$\sqrt{4}=2$，因此$\sqrt{(-2)^2}=2$。
【答案】
2
【知识点】
二次根式的性质、算术平方根
【点评】
本题是基础计算题，核心考查二次根式的基本性质，需注意算术平方根的非负性，避免误算为-2，适合巩固基础概念。
【难度系数】
0.8
12.一个五边形的对角线条数是
5
。答案
12.5
解析
【分析】要计算五边形的对角线条数，需先明确多边形对角线条数的计算逻辑：对于n边形，从每个顶点出发可连接(n-3)条对角线（排除自身及相邻两个顶点），n个顶点共计算n(n-3)条，但每条对角线被重复计算1次，因此总对角线条数为$\frac{n(n-3)}{2}$。将五边形的边数n=5代入该公式计算即可。
【解析】多边形对角线条数公式为：$l=\frac{n(n-3)}{2}$（其中n为多边形边数，l为对角线条数）。当n=5时，代入公式得：$l=\frac{5×(5-3)}{2}=\frac{5×2}{2}=5$。
【答案】5
【知识点】多边形对角线计算
【点评】本题考查多边形对角线条数的基础计算，核心是掌握多边形对角线条数公式，代入数值即可快速求解，属于初中数学基础题，难度较低。
【难度系数】0.5
【解析】多边形对角线条数公式为：$l=\frac{n(n-3)}{2}$（其中n为多边形边数，l为对角线条数）。当n=5时，代入公式得：$l=\frac{5×(5-3)}{2}=\frac{5×2}{2}=5$。
【答案】5
【知识点】多边形对角线计算
【点评】本题考查多边形对角线条数的基础计算，核心是掌握多边形对角线条数公式，代入数值即可快速求解，属于初中数学基础题，难度较低。
【难度系数】0.5
13.用反证法证明命题“已知$△ ABC,AB=AC$,求证:$∠ B＜90°$”时,应先假设________。
答案
13.$∠ B≥90°$(或$∠ B$不小于$90°$)
解析
【分析】
使用反证法证明命题时，首先需要假设命题的结论不成立，即结论的反面成立。本题要证明的结论是“∠B＜90°”，其反面为“∠B≥90°”，因此应先假设该反面结论成立。
【解析】
反证法的核心步骤是先否定待证结论，再通过推导导出矛盾。本题待证结论为∠B＜90°，其否定形式为∠B≥90°，因此应用反证法时，应先假设∠B≥90°。
【答案】
∠B≥90°（或∠B不小于90°）
【知识点】
反证法、命题的否定
【点评】
本题考查反证法的基本操作，属于初中数学基础题型，只需掌握反证法中“先假设结论不成立”的规则即可解答，难度较低。
【难度系数】
0.7
使用反证法证明命题时，首先需要假设命题的结论不成立，即结论的反面成立。本题要证明的结论是“∠B＜90°”，其反面为“∠B≥90°”，因此应先假设该反面结论成立。
【解析】
反证法的核心步骤是先否定待证结论，再通过推导导出矛盾。本题待证结论为∠B＜90°，其否定形式为∠B≥90°，因此应用反证法时，应先假设∠B≥90°。
【答案】
∠B≥90°（或∠B不小于90°）
【知识点】
反证法、命题的否定
【点评】
本题考查反证法的基本操作，属于初中数学基础题型，只需掌握反证法中“先假设结论不成立”的规则即可解答，难度较低。
【难度系数】
0.7
14.如图,由四个全等的直角三角形和中间一个小正方形 EFGH 拼成一个大正方形 ABCD,连结 GE 并两端延长,交 AD 于点 P,交 BC 于点 Q。若$BE=1$,$AE=2$,则$BQ=$
$\frac{\sqrt{5}}{3}$
。答案
14.$\frac{\sqrt{5}}{3}$
解析
【分析】
本题可通过建立平面直角坐标系，利用正方形和全等直角三角形的性质确定各点坐标，再求出直线GE的方程，进而找到直线GE与BC的交点Q，计算BQ的长度。
【解析】
1. 确定大正方形边长与各点坐标：
大正方形ABCD的边长由直角三角形ABE的直角边AE=2、BE=1可得，AB=√(AE²+BE²)=√5。设A(0,0)，B(√5,0)，C(√5,√5)，D(0,√5)，根据全等三角形性质解得E点坐标为(4/√5, 2/√5)，G点坐标为(1/√5, 3/√5)。
2. 求直线GE的方程：
直线GE的斜率k=(2/√5 - 3/√5)/(4/√5 -1/√5)= -1/3，直线GE的方程为：y - 3/√5 = -1/3 (x - 1/√5)。
3. 计算BQ的长度：
BC边的x坐标恒为√5，将x=√5代入直线GE方程，得y=√5/3，即Q点坐标为(√5, √5/3)。B点坐标为(√5,0)，故BQ=√5/3。
【答案】
$\frac{\sqrt{5}}{3}$
【知识点】
正方形性质、坐标法求直线方程、直线交点
【点评】
本题通过坐标法将几何问题转化为代数计算，利用图形性质确定点坐标，思路清晰，计算过程简洁，是典型的数形结合题型。
【难度系数】
0.4
本题可通过建立平面直角坐标系，利用正方形和全等直角三角形的性质确定各点坐标，再求出直线GE的方程，进而找到直线GE与BC的交点Q，计算BQ的长度。
【解析】
1. 确定大正方形边长与各点坐标：
大正方形ABCD的边长由直角三角形ABE的直角边AE=2、BE=1可得，AB=√(AE²+BE²)=√5。设A(0,0)，B(√5,0)，C(√5,√5)，D(0,√5)，根据全等三角形性质解得E点坐标为(4/√5, 2/√5)，G点坐标为(1/√5, 3/√5)。
2. 求直线GE的方程：
直线GE的斜率k=(2/√5 - 3/√5)/(4/√5 -1/√5)= -1/3，直线GE的方程为：y - 3/√5 = -1/3 (x - 1/√5)。
3. 计算BQ的长度：
BC边的x坐标恒为√5，将x=√5代入直线GE方程，得y=√5/3，即Q点坐标为(√5, √5/3)。B点坐标为(√5,0)，故BQ=√5/3。
【答案】
$\frac{\sqrt{5}}{3}$
【知识点】
正方形性质、坐标法求直线方程、直线交点
【点评】
本题通过坐标法将几何问题转化为代数计算，利用图形性质确定点坐标，思路清晰，计算过程简洁，是典型的数形结合题型。
【难度系数】
0.4
