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19.(8分)近年来,某市全面开展素质教育,坚持“五育并举”,强化体育锻炼,促进学生身心健康全面发展,各校纷纷响应号召,积极开展阳光体育运动。某校将举行阳光跳绳比赛,每班推荐一位学生参赛,八(1)班将在甲、乙两位学生中推荐一位参赛。该班级对甲、乙两位同学连续7天一分钟跳绳成绩进行了收集、整理,并绘制了折线统计图:
(1)老师从“平均数”“中位数”“众数”三个角度对两位学生的跳绳成绩进行了分析,并制作了以下统计表,请分别求出表中a,b,c的值。
(2)若从甲、乙两位同学中推荐一位参加阳光跳绳比赛,你会推荐谁参加比赛?请给出一条推荐理由。
(1)老师从“平均数”“中位数”“众数”三个角度对两位学生的跳绳成绩进行了分析,并制作了以下统计表,请分别求出表中a,b,c的值。
(2)若从甲、乙两位同学中推荐一位参加阳光跳绳比赛,你会推荐谁参加比赛?请给出一条推荐理由。
答案
(1)平均数$a=\dfrac{150+160+155+155+170+180+185}{7}=165$;对乙数据按大小排列:$140,158,160,160,170,180,180$,中位数$b=160$;众数$c=155$。
(2)我会推荐学生甲参加比赛。推荐理由:甲、乙两位学生的中位数相等,但甲的平均数略高,从统计图中可以直观看出甲的稳定性和趋势更好。
(2)我会推荐学生甲参加比赛。推荐理由:甲、乙两位学生的中位数相等,但甲的平均数略高,从统计图中可以直观看出甲的稳定性和趋势更好。
解析
【分析】
本题围绕统计量的计算与实际应用展开。第(1)问需明确平均数、中位数、众数的定义：平均数是所有数据之和除以数据个数；中位数是将数据按大小排序后，奇数个数据时取中间位置的数；众数是一组数据中出现次数最多的数。据此分别计算甲的平均数a、乙的中位数b、甲的众数c。第(2)问推荐参赛选手需结合统计量的实际意义，如平均数反映整体水平、中位数反映中间水平，同时可结合折线图的趋势和稳定性，选择更适合参赛的选手。
【解析】
(1) 计算a：甲的7天成绩为150、160、155、155、170、180、185，平均数a=(150+160+155+155+170+180+185)÷7=1155÷7=165；
计算b：将乙的7天成绩从小到大排列为140、158、160、160、170、180、180，共7个数据，中位数为第4个数，即b=160；
计算c：甲的成绩中155出现2次，次数最多，故众数c=155；
(2) 推荐学生甲参加比赛。理由：甲、乙两位学生的中位数相等，但甲的平均数略高，且从折线统计图可看出甲的成绩整体呈上升趋势，稳定性更好，更适合参赛。
【答案】
(1)a=165，b=160，c=155；(2)推荐学生甲参加比赛，理由：甲、乙两位学生的中位数相等，但甲的平均数略高，从统计图中可以直观看出甲的稳定性和趋势更好。
【知识点】
平均数、中位数、众数
【点评】
本题考查统计量的计算与实际应用，要求学生准确掌握各统计量的定义，并能结合实际问题合理选择统计量进行分析，属于基础统计应用题，难度适中。
【难度系数】
0.5
本题围绕统计量的计算与实际应用展开。第(1)问需明确平均数、中位数、众数的定义：平均数是所有数据之和除以数据个数；中位数是将数据按大小排序后，奇数个数据时取中间位置的数；众数是一组数据中出现次数最多的数。据此分别计算甲的平均数a、乙的中位数b、甲的众数c。第(2)问推荐参赛选手需结合统计量的实际意义，如平均数反映整体水平、中位数反映中间水平，同时可结合折线图的趋势和稳定性，选择更适合参赛的选手。
【解析】
(1) 计算a：甲的7天成绩为150、160、155、155、170、180、185，平均数a=(150+160+155+155+170+180+185)÷7=1155÷7=165；
计算b：将乙的7天成绩从小到大排列为140、158、160、160、170、180、180，共7个数据，中位数为第4个数，即b=160；
计算c：甲的成绩中155出现2次，次数最多，故众数c=155；
(2) 推荐学生甲参加比赛。理由：甲、乙两位学生的中位数相等，但甲的平均数略高，且从折线统计图可看出甲的成绩整体呈上升趋势，稳定性更好，更适合参赛。
【答案】
(1)a=165，b=160，c=155；(2)推荐学生甲参加比赛，理由：甲、乙两位学生的中位数相等，但甲的平均数略高，从统计图中可以直观看出甲的稳定性和趋势更好。
【知识点】
平均数、中位数、众数
【点评】
本题考查统计量的计算与实际应用，要求学生准确掌握各统计量的定义，并能结合实际问题合理选择统计量进行分析，属于基础统计应用题，难度适中。
【难度系数】
0.5
20.(8分)如图,在$△ ABC$中,D,E,F分别是边AB,BC,CA的中点,连结FD,FE。
(1)求证:四边形BEFD是平行四边形。
(2)连结BF,若四边形BEFD是菱形,$BF=12,AC=8$,求EF的长。
(1)求证:四边形BEFD是平行四边形。
(2)连结BF,若四边形BEFD是菱形,$BF=12,AC=8$,求EF的长。
答案
(1)证明:因为$ D,E,F $分别是边$ AB,BC,CA $的中点,所以$ DF,EF $都是$ △ ABC $的中位线。所以$ DF // BC $,$ EF // BA $,所以四边形$ BEFD $是平行四边形。
(2)解:因为四边形$ BEFD $是菱形,所以$ BE=BD $,因为$ D,E $分别是边$ AB,BC $的中点,所以$ BC=BA $,因为$ F $是边$ CA $的中点,所以$ BF ⊥ AC $,在$ \mathrm{Rt}△ BFC $中,$ BC=\sqrt{BF^2+FC^2} $,因为$ BF=12 $,$ AC=8 $,所以$ BC=\sqrt{12^2+4^2}=4\sqrt{10} $,所以$ EF=\dfrac{1}{2}BC=2\sqrt{10} $。
(2)解:因为四边形$ BEFD $是菱形,所以$ BE=BD $,因为$ D,E $分别是边$ AB,BC $的中点,所以$ BC=BA $,因为$ F $是边$ CA $的中点,所以$ BF ⊥ AC $,在$ \mathrm{Rt}△ BFC $中,$ BC=\sqrt{BF^2+FC^2} $,因为$ BF=12 $,$ AC=8 $,所以$ BC=\sqrt{12^2+4^2}=4\sqrt{10} $,所以$ EF=\dfrac{1}{2}BC=2\sqrt{10} $。
解析
【分析】
第(1)问要证明四边形BEFD是平行四边形，需利用三角形中位线定理得到两组对边分别平行，从而依据平行四边形判定定理完成证明；第(2)问结合菱形的邻边相等性质，推导得到△ABC为等腰三角形，再利用等腰三角形三线合一得到直角三角形，结合勾股定理求出BC，最后通过三角形中位线定理计算EF的长度。
【解析】
(1) 证明：
∵ D、E、F分别是AB、BC、CA的中点，
∴ DF、EF是△ABC的中位线，
根据三角形中位线定理，中位线平行于第三边，
∴ DF//BC，EF//AB，
即 DF//BE，EF//BD，
∴ 四边形BEFD是平行四边形（两组对边分别平行的四边形是平行四边形）。
(2) 解：
∵ 四边形BEFD是菱形，
∴ 菱形邻边相等，即 BE = BD，
又
∵ D、E分别是AB、BC的中点，
∴ BD = 1/2 AB，BE = 1/2 BC，
∴ 1/2 AB = 1/2 BC，即 AB = BC，
∵ F是CA的中点，
∴ 在△ABC中，AB=BC，F为AC中点，根据等腰三角形三线合一，BF⊥AC，
∴ △BFC是直角三角形，∠BFC=90°，
已知 BF=12，AC=8，F是AC中点，故 FC = 1/2 AC = 4，
在Rt△BFC中，由勾股定理得：
BC = √(BF² + FC²) = √(12² + 4²) = √(144 + 16) = √160 = 4√10，
又
∵ EF是△ABC的中位线，
∴ EF = 1/2 BC = 1/2 × 4√10 = 2√10。
【答案】
(1) 四边形BEFD是平行四边形，证明如上；(2) EF的长为2√10。
【知识点】
三角形中位线定理、平行四边形的判定、菱形的性质
【点评】
本题综合考查三角形中位线定理、特殊四边形的性质，解题需熟练运用中位线性质、菱形邻边相等的特点，结合等腰三角形三线合一、勾股定理完成推导，是几何部分的中等难度综合题。
【难度系数】
0.5
第(1)问要证明四边形BEFD是平行四边形，需利用三角形中位线定理得到两组对边分别平行，从而依据平行四边形判定定理完成证明；第(2)问结合菱形的邻边相等性质，推导得到△ABC为等腰三角形，再利用等腰三角形三线合一得到直角三角形，结合勾股定理求出BC，最后通过三角形中位线定理计算EF的长度。
【解析】
(1) 证明：
∵ D、E、F分别是AB、BC、CA的中点，
∴ DF、EF是△ABC的中位线，
根据三角形中位线定理，中位线平行于第三边，
∴ DF//BC，EF//AB，
即 DF//BE，EF//BD，
∴ 四边形BEFD是平行四边形（两组对边分别平行的四边形是平行四边形）。
(2) 解：
∵ 四边形BEFD是菱形，
∴ 菱形邻边相等，即 BE = BD，
又
∵ D、E分别是AB、BC的中点，
∴ BD = 1/2 AB，BE = 1/2 BC，
∴ 1/2 AB = 1/2 BC，即 AB = BC，
∵ F是CA的中点，
∴ 在△ABC中，AB=BC，F为AC中点，根据等腰三角形三线合一，BF⊥AC，
∴ △BFC是直角三角形，∠BFC=90°，
已知 BF=12，AC=8，F是AC中点，故 FC = 1/2 AC = 4，
在Rt△BFC中，由勾股定理得：
BC = √(BF² + FC²) = √(12² + 4²) = √(144 + 16) = √160 = 4√10，
又
∵ EF是△ABC的中位线，
∴ EF = 1/2 BC = 1/2 × 4√10 = 2√10。
【答案】
(1) 四边形BEFD是平行四边形，证明如上；(2) EF的长为2√10。
【知识点】
三角形中位线定理、平行四边形的判定、菱形的性质
【点评】
本题综合考查三角形中位线定理、特殊四边形的性质，解题需熟练运用中位线性质、菱形邻边相等的特点，结合等腰三角形三线合一、勾股定理完成推导，是几何部分的中等难度综合题。
【难度系数】
0.5
