13.已知5个数据的离差平方和是5,则这组数据的方差等于。

$1$

【分析】
要解决这道题，需明确方差与离差平方和的关系：离差平方和是各数据与平均数差的平方和，而方差的计算公式为“方差=离差平方和÷数据的个数”。题目中已知数据个数为5，离差平方和为5，直接代入公式计算即可。
【解析】
根据方差的定义，对于$ n $个数据，方差$ s^2 = \frac{\mathrm{离差平方和}}{n} $。本题中，数据个数$ n=5 $，离差平方和为5，代入得：
$ s^2 = \frac{5}{5} = 1 $
【答案】
1
【知识点】
方差计算、离差平方和
【点评】
本题考查方差与离差平方和的基本关系，属于基础概念题，只要牢记公式即可快速解答。
【难度系数】
0.8

14. 如图,在$□ ABCD$中,对角线$AC,BD$交于点$O$,$BD⊥ AD$,若$AD=8$,$BD=12$,则$AC$的长是________。

$20$

【分析】首先，根据平行四边形的性质，对角线互相平分，可求出OD的长度；再由BD⊥AD可知△ADO是直角三角形，利用勾股定理求出AO的长度；最后根据平行四边形对角线互相平分，AC=2AO，即可算出AC的长。
【解析】
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC，OD=OB=½BD（平行四边形的对角线互相平分）。
已知BD=12，
∴OD=½×12=6。
又
∵BD⊥AD，
∴∠ADB=90°，即△ADO是直角三角形。
在Rt△ADO中，AD=8，OD=6，根据勾股定理：
AO=√(AD² + OD²)=√(8² + 6²)=√(64+36)=√100=10。
∴AC=2AO=2×10=20。
【答案】20
【知识点】平行四边形性质、勾股定理
【点评】本题结合平行四边形对角线互相平分的性质与勾股定理求解线段长度，属于基础题型，考查学生对平行四边形性质和勾股定理的基本应用能力。
【难度系数】0.6

15.已知两个关于$ x $的一元二次方程$ x^2 + bx + c = 0 $（$ b,c $均为常数），$ x^2 + bx + c = x - 3 $。其中，方程$ x^2 + bx + c = 0 $的一个根是$ x = 3 $，方程$ x^2 + bx + c = x - 3 $有两个相等的实数根，则$ b $的值是________。

$-5$

【分析】
要解决本题，需分两步利用已知条件：①利用方程的根满足方程，将$x=3$代入第一个方程，得到$b$与$c$的关系式；②根据第二个方程有两个相等实数根，利用根的判别式$\Delta=0$建立另一个关于$b$、$c$的关系式，联立两个式子即可求出$b$的值。
【解析】
1. 因为方程$x^2 + bx + c = 0$的一个根是$x=3$，将$x=3$代入该方程：
$3^2 + 3b + c = 0$，整理得：$c = -3b -9$；
2. 整理方程$x^2 + bx + c = x -3$为一元二次方程的标准形式：
移项得$x^2 + (b-1)x + (c+3) = 0$；
3. 由于该方程有两个相等的实数根，所以判别式$\Delta = 0$，即：
$\Delta = (b-1)^2 - 4 × 1 × (c+3) = 0$；
4. 将$c = -3b -9$代入判别式：
$(b-1)^2 - 4[(-3b -9) + 3] = 0$，
展开计算：$b^2 -2b +1 -4(-3b -6) = 0$，
化简得：$b^2 -2b +1 +12b +24 = 0$，
合并同类项：$b^2 +10b +25 =0$，
因式分解：$(b+5)^2 =0$，
解得：$b = -5$。
【答案】
$-5$
【知识点】
一元二次方程的根、根的判别式
【点评】
本题综合考查一元二次方程根的定义与根的判别式的应用，解题核心是通过两个条件建立关于$b$的方程，需注意方程整理时的符号变化，计算过程要仔细避免出错。
【难度系数】
0.5

16.如图,已知矩形ABCD和正方形DEBF共用对角线BD,DE与AB交于点G,BF与CD交于点H,若正方形DEBF的面积比矩形ABCD的面积大18,$△ DAG$的周长与$△ DHF$的周长之和是18,则BD的长是$\underline{\hspace{5em}}$。

$5\sqrt{2}$ 解析:如图,过点$ E $作$ MN // AB$,交$ DA $延长线于点$ M $,交$ CB $延长线于点$ N $,设$ AM=a $,$ AD=b $,因为四边形$ ABCD $是矩形,所以$ ∠ DAB=∠ ABC=90° $,所以$ ∠ BAM=∠ ABN=90° $,因为$ AB // MN $,所以$ ∠ M=∠ DAB=90° $,$ ∠ N=∠ ABC=90° $,所以四边形$ AMNB $是矩形,所以$ BN=AM=a $,$ AB=MN $,因为四边形$ DEBF $是正方形,所以$ DE=BE=DF $,$ ∠ F=∠ DEB=90° $,所以$ ∠ BEN+∠ EBN=∠ BEN+∠ DEM=90° $,所以$ ∠ EBN=∠ DEM $,因为$ ∠ M=∠ N=90° $,所以$ △ DME ≌ △ ENB $(AAS),所以$ BN=ME=a $,$ EN=DM=a+b $,所以$ AB=MN=a+a+b=2a+b $,因为正方形$ DEBF $的面积比矩形$ ABCD $的面积大18,所以$ DE^2-AD· AB=18 $,所以$ a^2+(a+b)^2-b(2a+b)=18 $,所以$ a=3 $(负值已舍去),因为$ DH // BG $,$ DG // BH $,所以四边形$ DGBH $是平行四边形,所以$ DH=BG $,因为$ DF=BE $,所以$ \mathrm{Rt}△ DFH ≌ \mathrm{Rt}△ BEG $(HL),所以$ FH=EG $,因为$ △ DAG $的周长与$ △ DHF $的周长之和为18。所以$ AD+DG+AG+DF+FH+DH=18 $,所以$ AD+DG+AG+DE+EG+BG=18 $,所以$ b+2DE+AB=18 $,所以$ b+2DE+2a+b=18 $,所以$ DE=6-b $,所以$ DE^2=a^2+(a+b)^2=(6-b)^2 $,所以$ b=1 $,所以$ BD=\sqrt{AD^2+AB^2}=\sqrt{b^2+(2a+b)^2}=\sqrt{1+49}=5\sqrt{2} $。

【分析】
要解决本题，需先利用矩形和正方形的性质，通过作辅助线构造全等三角形推导边长关系；再结合面积差条件求出参数a的值；接着利用平行四边形、全等三角形的性质，结合两个三角形周长之和的条件建立边长方程；最后用勾股定理计算BD的长度。
【解析】
如图，过点E作MN//AB，交DA延长线于点M，交CB延长线于点N，设AM=a，AD=b。
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠DAB=∠ABC=90°，
∴∠BAM=∠ABN=90°，又AB//MN，
∴∠M=∠DAB=90°，∠N=∠ABC=90°，
∴四边形AMNB是矩形，故BN=AM=a，AB=MN。
∵四边形DEBF是正方形，
∴DE=BE=DF，∠F=∠DEB=90°，
∴∠BEN+∠EBN=∠BEN+∠DEM=90°，得∠EBN=∠DEM，又∠M=∠N=90°，
∴△DME≌△ENB（AAS），
∴DM=EN=a+b，ME=BN=a，故AB=MN=ME+EN=2a+b。
由正方形DEBF的面积比矩形ABCD的面积大18，得DE² - AD·AB=18，代入DE²=(a+b)²+a²，AD·AB=b(2a+b)，得：
(a+b)²+a² - b(2a+b)=18，化简得2a²=18，解得a=3（a＞0）。
∵DH//BG，DG//BH，
∴四边形DGBH是平行四边形，故DH=BG；又DF=BE，∠F=∠BEG=90°，
∴Rt△DFH≌Rt△BEG（HL），得FH=EG。
△DAG的周长与△DHF的周长之和为18，即AD+DG+AG+DF+FH+DH=18，替换得：AD+DG+AG+DE+EG+BG=18，整理为AD+AB+2DE=18，代入AD=b，AB=2a+b=6+b，得b + (6+b) + 2DE=18，化简得DE=6 - b。
结合DE²=(a+b)²+a²=(3+b)²+9，代入DE=6 - b，得：
(6 - b)²=(3 + b)² +9，解得b=1。
∴AD=1，AB=2×3 +1=7，由勾股定理得BD=√(AD²+AB²)=√(1²+7²)=5√2。
【答案】
$5\sqrt{2}$
【知识点】
矩形性质、正方形性质、全等三角形判定
【点评】
本题是几何综合题，综合考查矩形、正方形的性质，全等三角形的判定与性质，以及勾股定理的应用，解题关键是通过作辅助线构造全等三角形建立边长关系，再结合面积、周长条件推导，综合性较强，对学生逻辑推理能力要求较高。
【难度系数】
0.4

三、解答题(本题有8小题,共72分)
17.(6分)计算:$\sqrt{(-3)^2}-\sqrt{2}×\sqrt{8}$。

解:原式$=3-\sqrt{16}=3-4=-1$。

【分析】本题是二次根式的混合运算，解题思路是：先分别化简算式中的两项，第一项利用二次根式的性质$\sqrt{a^2}=|a|$化简，第二项利用二次根式的乘法法则$\sqrt{a}·\sqrt{b}=\sqrt{ab}(a≥0,b≥0)$计算，最后再进行减法运算得出结果。
【解析】解：原式$=\sqrt{(-3)^2}-\sqrt{2×8}=\sqrt{9}-\sqrt{16}=3 - 4=-1$。
【答案】-1
【知识点】二次根式的性质、二次根式的乘法运算
【点评】本题属于基础的二次根式计算题目，主要考查学生对二次根式基本性质和乘法法则的掌握，运算步骤清晰，难度较低，适合巩固基础运算能力。
【难度系数】0.8

18.(8分)对于解方程$(x+3)^2=2x+6$,小刚的做法如下：
解:等号右边提取公因式2,得$(x+3)^2=2(x+3)$, ……步骤1
等号两边同时除以$(x+3)$,得 $x+3=2$, ……步骤2
移项,得 $x=2-3$, ……步骤3
合并同类项,得 $x=-1$。 ……步骤4
已知小刚在解方程的过程中出现了错误,请指出他开始出错的步骤,并给出正确且完整的解答过程。

解:小刚开始出错的步骤是“步骤2”,完整解答过程:$(x+3)^2=2(x+3)$,$(x+3)^2-2(x+3)=0$,$(x+3)(x+1)=0$,$x+3=0$或$x+1=0$,$x_1=-3$,$x_2=-1$。

【分析】
要判断小刚的错误，需依据等式的性质：等式两边同时除以的数不能为0，而$(x+3)$可能等于0，因此步骤2直接两边除以$(x+3)$是错误的。正确思路是先将方程变形为右边为0的形式，再通过因式分解法求解，避免漏根。
【解析】
小刚开始出错的步骤是步骤2。
正确解答过程：
原方程$(x+3)^2=2x+6$，
等号右边提取公因式，得$(x+3)^2=2(x+3)$，
移项得$(x+3)^2 - 2(x+3)=0$，
提取公因式$(x+3)$，得$(x+3)(x+3 - 2)=0$，即$(x+3)(x+1)=0$，
则$x+3=0$或$x+1=0$，
解得$x_1=-3$，$x_2=-1$。
【答案】
$x_1=-3$，$x_2=-1$
【知识点】
一元二次方程的解法、因式分解法
【点评】
本题考查一元二次方程的解法，易错点是解方程时不能随意除以可能为0的代数式，应优先采用移项后因式分解的方法，防止漏解，属于基础易错题型。
【难度系数】
0.6