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8. 如图，E，F分别是$□ ABCD$的边AB，CD上的点，连结CE，AF，$B'$是点B关于CE的对称点，$D'$是点D关于AF的对称点，已知点$B'$，$D'$都在对角线AC上，且$EF⊥ AC$。记$∠ ADC$的度数是$α$，$∠ DAF$的度数是$β$，则$α$与$β$满足的关系式是 （
A.$α=5β$
B.$α-β=90°$
C.$α+β=135°$
D.$α+3β=180°$
D
）A.$α=5β$
B.$α-β=90°$
C.$α+β=135°$
D.$α+3β=180°$
答案
D
解析
【分析】
要解决本题，需结合平行四边形的性质、轴对称的性质逐步推导角度关系：首先利用对称点的性质，得出AF平分∠DAC、CE平分∠ACB；再根据平行四边形对边平行、对角相等的性质，得到角之间的等量关系；最后结合三角形内角和定理，联立推导α与β的关系式。
【解析】
1. 由轴对称的性质：
点D关于AF的对称点为D'，故AF平分∠DAC，因此∠DAC=2∠DAF=2β；
点B关于CE的对称点为B'，故CE平分∠ACB，因此∠ACB=2∠ACE。
2. 平行四边形ABCD的性质：
∠ADC=∠ABC=α，AB//CD，故∠BAC=∠ACD，且∠DAB + ∠ADC=180°，即∠DAB=180°−α；
又∠DAB=∠DAC + ∠BAC=2β + ∠BAC，因此∠BAC=180°−α−2β。
3. 结合EF⊥AC的条件：
因AB//CD，EF⊥AC，故∠AEF=∠CFE，又∠EAC + ∠AEF=90°，∠FCA + ∠CFE=90°，得∠EAC=∠FCA，即∠BAC=∠ACD；
同时，由AF//CE（内错角相等推导），得∠FAC=∠ACE，而∠FAC=β，故∠ACE=β，因此∠ACB=2∠ACE=2β。
4. 在△ABC中，内角和为180°：
∠ABC + ∠BAC + ∠ACB=180°，代入∠ABC=α，∠BAC=β，∠ACB=2β，得：
α + β + 2β=180°，即α+3β=180°。
【答案】
D
【知识点】
平行四边形性质，轴对称性质，三角形内角和
【点评】
本题综合考查平行四边形、轴对称的性质，需结合角平分线、平行线的角度关系推导，逻辑推导过程较连贯，是几何角度关系的典型题型。
【难度系数】
0.5
要解决本题，需结合平行四边形的性质、轴对称的性质逐步推导角度关系：首先利用对称点的性质，得出AF平分∠DAC、CE平分∠ACB；再根据平行四边形对边平行、对角相等的性质，得到角之间的等量关系；最后结合三角形内角和定理，联立推导α与β的关系式。
【解析】
1. 由轴对称的性质：
点D关于AF的对称点为D'，故AF平分∠DAC，因此∠DAC=2∠DAF=2β；
点B关于CE的对称点为B'，故CE平分∠ACB，因此∠ACB=2∠ACE。
2. 平行四边形ABCD的性质：
∠ADC=∠ABC=α，AB//CD，故∠BAC=∠ACD，且∠DAB + ∠ADC=180°，即∠DAB=180°−α；
又∠DAB=∠DAC + ∠BAC=2β + ∠BAC，因此∠BAC=180°−α−2β。
3. 结合EF⊥AC的条件：
因AB//CD，EF⊥AC，故∠AEF=∠CFE，又∠EAC + ∠AEF=90°，∠FCA + ∠CFE=90°，得∠EAC=∠FCA，即∠BAC=∠ACD；
同时，由AF//CE（内错角相等推导），得∠FAC=∠ACE，而∠FAC=β，故∠ACE=β，因此∠ACB=2∠ACE=2β。
4. 在△ABC中，内角和为180°：
∠ABC + ∠BAC + ∠ACB=180°，代入∠ABC=α，∠BAC=β，∠ACB=2β，得：
α + β + 2β=180°，即α+3β=180°。
【答案】
D
【知识点】
平行四边形性质，轴对称性质，三角形内角和
【点评】
本题综合考查平行四边形、轴对称的性质，需结合角平分线、平行线的角度关系推导，逻辑推导过程较连贯，是几何角度关系的典型题型。
【难度系数】
0.5
9.某学校举行了八年级学生演讲比赛，对参赛者的“内容”“表达”“逻辑”“台风”“互动”五个方面进行评分（各方面均为百分制）。已知小明五项得分的算术平均数为87分，若将“内容”“表达”“逻辑”“台风”“互动”五个方面评分的权重分别设为10％，30％，20％，20％，20％，则小明五项得分的加权平均数为86分。那么以下结论中，正确的是（
A.重新设置权重前，小明五项得分的总分是430分
B.重新设置权重前，小明的“内容”得分超过87分
C.重新设置权重前，小明的“内容”得分比“表达”得分高
D.重新设置权重前，小明的“内容”得分比“逻辑”得分高
C
）A.重新设置权重前，小明五项得分的总分是430分
B.重新设置权重前，小明的“内容”得分超过87分
C.重新设置权重前，小明的“内容”得分比“表达”得分高
D.重新设置权重前，小明的“内容”得分比“逻辑”得分高
答案
C
解析
【解析】
设小明“内容”“表达”“逻辑”“台风”“互动”的得分分别为$a,b,c,d,e$。
1. 根据算术平均数的定义：
已知五项算术平均数为87，可得$\frac{a+b+c+d+e}{5}=87$，即$a+b+c+d+e=435$。
2. 根据加权平均数的定义：
已知加权平均数为86，权重分别为10%、30%、20%、20%、20%，可得$0.1a+0.3b+0.2c+0.2d+0.2e=86$，整理得$a+3b+2c+2d+2e=860$。
3. 联立两个等式推导：
由$a+b+c+d+e=435$可得$2a+2b+2c+2d+2e=870$，将其与$a+3b+2c+2d+2e=860$相减，得$a-b=10$，即$a=b+10$。
4. 逐一分析选项：
- 选项A：五项总分为435，不是430，A错误。
- 选项B：仅能推出$a=b+10$，无法确定$a＞87$，B错误。
- 选项C：由$a=b+10$可知$a＞b$，即内容得分比表达得分高，C正确。
- 选项D：无法推导$a$和$c$的大小关系，D错误。
【答案】
C
【知识点】
算术平均数，加权平均数
【点评】
本题通过设未知数列等式推导各维度得分的关系，重点考查对算术平均数和加权平均数概念的理解与灵活变形能力，需要学生跳出直接计算具体得分的思维误区，通过代数推导判断选项正误。
【难度系数】
0.6
设小明“内容”“表达”“逻辑”“台风”“互动”的得分分别为$a,b,c,d,e$。
1. 根据算术平均数的定义：
已知五项算术平均数为87，可得$\frac{a+b+c+d+e}{5}=87$，即$a+b+c+d+e=435$。
2. 根据加权平均数的定义：
已知加权平均数为86，权重分别为10%、30%、20%、20%、20%，可得$0.1a+0.3b+0.2c+0.2d+0.2e=86$，整理得$a+3b+2c+2d+2e=860$。
3. 联立两个等式推导：
由$a+b+c+d+e=435$可得$2a+2b+2c+2d+2e=870$，将其与$a+3b+2c+2d+2e=860$相减，得$a-b=10$，即$a=b+10$。
4. 逐一分析选项：
- 选项A：五项总分为435，不是430，A错误。
- 选项B：仅能推出$a=b+10$，无法确定$a＞87$，B错误。
- 选项C：由$a=b+10$可知$a＞b$，即内容得分比表达得分高，C正确。
- 选项D：无法推导$a$和$c$的大小关系，D错误。
【答案】
C
【知识点】
算术平均数，加权平均数
【点评】
本题通过设未知数列等式推导各维度得分的关系，重点考查对算术平均数和加权平均数概念的理解与灵活变形能力，需要学生跳出直接计算具体得分的思维误区，通过代数推导判断选项正误。
【难度系数】
0.6
10. 如图,已知四边形纸片ABCD,E,F,G,H是四条边上的中点,连结EG,分别过点H,F作HI⊥EG于点I,FJ⊥EG于点J,沿EG,HI,FJ将四边形纸片ABCD剪成四个小四边形纸片,记为①②③④,将这四张纸片恰好可以无重叠、无缝隙地拼成一个新的四边形纸片ILMN(①沿BD方向平移,④和②分别绕点H和点G旋转$180°$)。若$EJ=5\ \mathrm{cm}$,$JG=2\ \mathrm{cm}$,$FJ=3\ \mathrm{cm}$,则四边形ILMN的周长是 （
A.24 cm
B.26 cm
C.$(22+2\sqrt{5})\mathrm{cm}$
D.28 cm
B
）A.24 cm
B.26 cm
C.$(22+2\sqrt{5})\mathrm{cm}$
D.28 cm
答案
B 解析:由题可知$FJ=PM=PL=3\ \mathrm{cm}$,$JG=GL=2\ \mathrm{cm}$,$MQ=EJ=5\ \mathrm{cm}$,设$JI=x\ \mathrm{cm}$,则$EI=EJ-JI=(5-x)\mathrm{cm}$,所以$NQ=EI=(5-x)\mathrm{cm}$,所以矩形周长为$MN+ML+LI+NI=5-x+5+6+4+x+6=26(\mathrm{cm})$。
解析
【分析】
要解决本题，需结合图形平移、旋转的性质分析拼接后新四边形的边长关系：①平移后对应边长度不变，④、②旋转180°后对应边长度也相等，因此新四边形ILMN为矩形。通过设未知线段JI的长度为x，将各边用含x的式子表示，计算周长时未知量x会抵消，从而求出周长。
【解析】
根据题意，四张纸片拼接成的新四边形ILMN是矩形（由HI⊥EG、FJ⊥EG，拼接后各内角为直角）。
由平移和旋转的性质可知，对应边长度相等：FJ=PM=PL=3 cm，JG=GL=2 cm，MQ=EJ=5 cm。
设JI=x cm，则EI=EJ - JI=(5 - x) cm，结合拼接后对应边相等，得NQ=EI=(5 - x) cm。
矩形ILMN的周长为各边之和：
周长 = (5 - x) + 5 + 6 + 4 + x + 6 = 26（cm），
因此四边形ILMN的周长是26 cm。
【答案】
26 cm
【知识点】
图形的平移与旋转、矩形的性质
【点评】
本题考查图形变换的性质及矩形周长计算，核心是利用平移、旋转前后对应边相等的特点，将未知线段在周长计算中抵消，无需额外求解，体现了几何问题中整体分析的思路，难度适中。
【难度系数】
0.5
要解决本题，需结合图形平移、旋转的性质分析拼接后新四边形的边长关系：①平移后对应边长度不变，④、②旋转180°后对应边长度也相等，因此新四边形ILMN为矩形。通过设未知线段JI的长度为x，将各边用含x的式子表示，计算周长时未知量x会抵消，从而求出周长。
【解析】
根据题意，四张纸片拼接成的新四边形ILMN是矩形（由HI⊥EG、FJ⊥EG，拼接后各内角为直角）。
由平移和旋转的性质可知，对应边长度相等：FJ=PM=PL=3 cm，JG=GL=2 cm，MQ=EJ=5 cm。
设JI=x cm，则EI=EJ - JI=(5 - x) cm，结合拼接后对应边相等，得NQ=EI=(5 - x) cm。
矩形ILMN的周长为各边之和：
周长 = (5 - x) + 5 + 6 + 4 + x + 6 = 26（cm），
因此四边形ILMN的周长是26 cm。
【答案】
26 cm
【知识点】
图形的平移与旋转、矩形的性质
【点评】
本题考查图形变换的性质及矩形周长计算，核心是利用平移、旋转前后对应边相等的特点，将未知线段在周长计算中抵消，无需额外求解，体现了几何问题中整体分析的思路，难度适中。
【难度系数】
0.5
11.当$x=1$时，二次根式$\sqrt{4-2x}$的值是________。
答案
$\sqrt{2}$
解析
【分析】本题考查二次根式的代入求值，解题思路是将给定的x值代入二次根式的被开方数，先计算被开方数的结果，再根据二次根式的性质得出最终值。
【解析】把$x=1$代入二次根式$\sqrt{4-2x}$中，计算被开方数：$4 - 2×1 = 2$，因此该二次根式的值为$\sqrt{2}$。
【答案】$\sqrt{2}$
【知识点】代数式求值；二次根式的定义
【点评】本题为基础题型，直接考查二次根式的代入计算，只要掌握代入求值的方法和二次根式的基本性质即可解答，适合巩固基础知识点。
【难度系数】0.9
【解析】把$x=1$代入二次根式$\sqrt{4-2x}$中，计算被开方数：$4 - 2×1 = 2$，因此该二次根式的值为$\sqrt{2}$。
【答案】$\sqrt{2}$
【知识点】代数式求值；二次根式的定义
【点评】本题为基础题型，直接考查二次根式的代入计算，只要掌握代入求值的方法和二次根式的基本性质即可解答，适合巩固基础知识点。
【难度系数】0.9
12.一个n边形从一个顶点出发可以画4条对角线,则它的内角和为
$900°$
。答案
$900°$
解析
【分析】首先需明确n边形从一个顶点出发的对角线条数公式：从n边形的一个顶点出发可作$(n-3)$条对角线，据此先求出多边形的边数$n$，再利用多边形内角和公式计算内角和。
【解析】解：根据n边形从一个顶点出发的对角线条数为$(n-3)$条，结合题目条件得：
$n-3=4$，解得$n=7$。
再根据多边形内角和公式：$(n-2)×180°$，代入$n=7$得：
内角和为$(7-2)×180°=5×180°=900°$。
【答案】$900°$
【知识点】多边形对角线、多边形内角和
【点评】本题考查多边形对角线与内角和的基础应用，核心是牢记相关公式，属于基础题型，难度较低。
【难度系数】0.7
【解析】解：根据n边形从一个顶点出发的对角线条数为$(n-3)$条，结合题目条件得：
$n-3=4$，解得$n=7$。
再根据多边形内角和公式：$(n-2)×180°$，代入$n=7$得：
内角和为$(7-2)×180°=5×180°=900°$。
【答案】$900°$
【知识点】多边形对角线、多边形内角和
【点评】本题考查多边形对角线与内角和的基础应用，核心是牢记相关公式，属于基础题型，难度较低。
【难度系数】0.7
