登录
21.(8分)如图,已知山坡AB的坡比为$i_1=1:2.4$,山坡BC的坡比为$i_2=1:0.75$,山坡CD的坡角$∠D=30°$,已知点B到水平面AD的距离为200 m,山坡CD的长为2 000 m。某登山队沿山坡AB,BC上山后,再沿山坡CD下山,求:
(1)山顶点C到水平面AD的距离。
(2)山坡AB,BC的总长。
(1)山顶点C到水平面AD的距离。
(2)山坡AB,BC的总长。
答案
(1)如图,过点$ C $作$ CF ⊥ AD $,垂足为$ F $。在$ \mathrm{Rt}△ CDF $中,因为$ ∠ D=30° $,$ CD=2\ 000\ \mathrm{m} $,所以$ CF=\dfrac{1}{2}CD=\dfrac{1}{2} × 2\ 000=1\ 000(\mathrm{m}) $。即山顶点$ C $到水平面$ AD $的距离为$ 1\ 000\ \mathrm{m} $。
(2)如图,过点$ B $作$ BH ⊥ AD $,$ BE ⊥ CF $,垂足分别为$ H,E $。又因为$ CF ⊥ AD $,所以四边形$ BHFE $是矩形。所以$ BH=EF=200\ \mathrm{m} $,$ CE=CF-EF=800(\mathrm{m}) $。在$ \mathrm{Rt}△ ABH $中,因为$ AB $的坡度$ i_1=1:2.4=\dfrac{BH}{AH} $,所以$ AH=200 × 2.4=480\ (\mathrm{m}) $,所以$ AB=\sqrt{BH^2+AH^2}=\sqrt{200^2+480^2}=520(\mathrm{m}) $。在$ \mathrm{Rt}△ BEC $中,因为山坡$ BC $的坡度$ i_2=1:0.75=\dfrac{CE}{BE} $,所以$ BE=0.75CE=600(\mathrm{m}) $,所以$ BC=\sqrt{CE^2+BE^2}=\sqrt{800^2+600^2}=1\ 000(\mathrm{m}) $。所以$ AB+BC=520+1\ 000=1\ 520(\mathrm{m}) $。即山坡$ AB,BC $的总长为$ 1\ 520\ \mathrm{m} $。
解析
【分析】
要解决这道题，需通过作辅助线构造直角三角形，利用直角三角形的性质和坡比的定义逐步求解：
1. 求点C到水平面AD的距离时，过C作CF⊥AD，将问题转化为Rt△CDF，利用30°角对应的直角边是斜边一半的性质计算CF；
2. 求AB和BC的总长时，过B作BH⊥AD、BE⊥CF，构造矩形和两个直角三角形，利用矩形性质得到相关线段长度，再根据坡比（垂直高度与水平宽度的比）的定义求出AH、BE，最后用勾股定理算出AB和BC，求和得到总长。
【解析】
(1) 如图，过点$ C $作$ CF ⊥ AD $，垂足为$ F $。
在$ \mathrm{Rt}△ CDF $中，$ ∠ D=30° $，$ CD=2\ 000\ \mathrm{m} $，
根据直角三角形中30°角所对直角边等于斜边的一半，得：
$ CF=\dfrac{1}{2}CD=\dfrac{1}{2} × 2\ 000=1\ 000(\mathrm{m}) $。
即山顶点$ C $到水平面$ AD $的距离为$ 1\ 000\ \mathrm{m} $。
(2) 如图，过点$ B $作$ BH ⊥ AD $，$ BE ⊥ CF $，垂足分别为$ H,E $。
因为$ CF ⊥ AD $，所以四边形$ BHFE $是矩形，
因此$ BH=EF=200\ \mathrm{m} $，$ CE=CF-EF=1000-200=800(\mathrm{m}) $。
在$ \mathrm{Rt}△ ABH $中，山坡$ AB $的坡比$ i_1=1:2.4=\dfrac{BH}{AH} $，
代入$ BH=200\ \mathrm{m} $，得$ AH=200 × 2.4=480\ (\mathrm{m}) $，
由勾股定理，$ AB=\sqrt{BH^2+AH^2}=\sqrt{200^2+480^2}=520(\mathrm{m}) $。
在$ \mathrm{Rt}△ BEC $中，山坡$ BC $的坡比$ i_2=1:0.75=\dfrac{CE}{BE} $，
代入$ CE=800\ \mathrm{m} $，得$ BE=0.75×800=600(\mathrm{m}) $，
由勾股定理，$ BC=\sqrt{CE^2+BE^2}=\sqrt{800^2+600^2}=1\ 000(\mathrm{m}) $。
所以$ AB+BC=520+1\ 000=1\ 520(\mathrm{m}) $，即山坡$ AB,BC $的总长为$ 1\ 520\ \mathrm{m} $。
【答案】
(1) 山顶点$ C $到水平面$ AD $的距离为$ 1000\ \mathrm{m} $；
(2) 山坡$ AB,BC $的总长为$ 1520\ \mathrm{m} $。
【知识点】
解直角三角形的应用、坡比、勾股定理
【点评】
本题是解直角三角形在实际场景的典型应用，关键是通过作辅助线构造直角三角形，利用坡比的定义和直角三角形的性质转化线段关系，需熟练掌握直角三角形的性质及勾股定理，属于中等难度的实际应用题。
【难度系数】
0.6
要解决这道题，需通过作辅助线构造直角三角形，利用直角三角形的性质和坡比的定义逐步求解：
1. 求点C到水平面AD的距离时，过C作CF⊥AD，将问题转化为Rt△CDF，利用30°角对应的直角边是斜边一半的性质计算CF；
2. 求AB和BC的总长时，过B作BH⊥AD、BE⊥CF，构造矩形和两个直角三角形，利用矩形性质得到相关线段长度，再根据坡比（垂直高度与水平宽度的比）的定义求出AH、BE，最后用勾股定理算出AB和BC，求和得到总长。
【解析】
(1) 如图，过点$ C $作$ CF ⊥ AD $，垂足为$ F $。
在$ \mathrm{Rt}△ CDF $中，$ ∠ D=30° $，$ CD=2\ 000\ \mathrm{m} $，
根据直角三角形中30°角所对直角边等于斜边的一半，得：
$ CF=\dfrac{1}{2}CD=\dfrac{1}{2} × 2\ 000=1\ 000(\mathrm{m}) $。
即山顶点$ C $到水平面$ AD $的距离为$ 1\ 000\ \mathrm{m} $。
(2) 如图，过点$ B $作$ BH ⊥ AD $，$ BE ⊥ CF $，垂足分别为$ H,E $。
因为$ CF ⊥ AD $，所以四边形$ BHFE $是矩形，
因此$ BH=EF=200\ \mathrm{m} $，$ CE=CF-EF=1000-200=800(\mathrm{m}) $。
在$ \mathrm{Rt}△ ABH $中，山坡$ AB $的坡比$ i_1=1:2.4=\dfrac{BH}{AH} $，
代入$ BH=200\ \mathrm{m} $，得$ AH=200 × 2.4=480\ (\mathrm{m}) $，
由勾股定理，$ AB=\sqrt{BH^2+AH^2}=\sqrt{200^2+480^2}=520(\mathrm{m}) $。
在$ \mathrm{Rt}△ BEC $中，山坡$ BC $的坡比$ i_2=1:0.75=\dfrac{CE}{BE} $，
代入$ CE=800\ \mathrm{m} $，得$ BE=0.75×800=600(\mathrm{m}) $，
由勾股定理，$ BC=\sqrt{CE^2+BE^2}=\sqrt{800^2+600^2}=1\ 000(\mathrm{m}) $。
所以$ AB+BC=520+1\ 000=1\ 520(\mathrm{m}) $，即山坡$ AB,BC $的总长为$ 1\ 520\ \mathrm{m} $。
【答案】
(1) 山顶点$ C $到水平面$ AD $的距离为$ 1000\ \mathrm{m} $；
(2) 山坡$ AB,BC $的总长为$ 1520\ \mathrm{m} $。
【知识点】
解直角三角形的应用、坡比、勾股定理
【点评】
本题是解直角三角形在实际场景的典型应用，关键是通过作辅助线构造直角三角形，利用坡比的定义和直角三角形的性质转化线段关系，需熟练掌握直角三角形的性质及勾股定理，属于中等难度的实际应用题。
【难度系数】
0.6
22.(8分)据调查,某市一家小型快递公司今年4月和6月完成投递的快递总件数分别为10万件和12.1万件。
(1)求该快递公司从今年4月至6月投递快递总件数的月平均增长率。
(2)已知该快递公司投递业务员平均每人每月最多可投递快递0.4万件,若以今年4月至6月投递快递总件数的月平均增长率作为6月至7月投递快递总件数的月增长率,那么该公司现有的31名快递投递业务员能否完成今年7月的快递投递任务?如果不能,至少需要增加几名投递业务员?(假设增加的业务员与现有的业务员投递效率相等)
(1)求该快递公司从今年4月至6月投递快递总件数的月平均增长率。
(2)已知该快递公司投递业务员平均每人每月最多可投递快递0.4万件,若以今年4月至6月投递快递总件数的月平均增长率作为6月至7月投递快递总件数的月增长率,那么该公司现有的31名快递投递业务员能否完成今年7月的快递投递任务?如果不能,至少需要增加几名投递业务员?(假设增加的业务员与现有的业务员投递效率相等)
答案
(1)设该快递公司从今年4月至6月投递快递总件数的月平均增长率为$ x $,由题意,得$ 10(1+x)^2=12.1 $,解得$ x_1=-2.1 $(舍去),$ x_2=0.1 $,故该快递公司从今年4月至6月投递快递总件数的月平均增长率为$ 10\% $。
(2)$ 12.1 × (1+10\%)=13.31 $,$ 31 × 0.4=12.4＜13.31 $,故不能;设增加$ m $名投递业务员,由题意,得$ 12.4+0.4m ≥ 13.31 $,解得$ m ≥ 2.275 $,因$ m $是正整数,故至少需要增加3名投递业务员。
(2)$ 12.1 × (1+10\%)=13.31 $,$ 31 × 0.4=12.4＜13.31 $,故不能;设增加$ m $名投递业务员,由题意,得$ 12.4+0.4m ≥ 13.31 $,解得$ m ≥ 2.275 $,因$ m $是正整数,故至少需要增加3名投递业务员。
解析
【分析】
本题分为两小问，第(1)问是增长率问题，需利用一元二次方程求解，核心是找到4月到6月投递量的等量关系；第(2)问需先计算7月的投递任务量，再通过业务员的投递能力判断是否能完成，若不能则用一元一次不等式求解需要增加的业务员数量，注意人数需取正整数。
【解析】
(1)设该快递公司从今年4月至6月投递快递总件数的月平均增长率为$ x $，
根据“4月投递量×$(1+增长率)^2$=6月投递量”，列方程：
$ 10(1+x)^2 = 12.1 $，
解方程得：$ x_1 = -2.1 $（增长率不能为负，舍去），$ x_2 = 0.1 = 10\% $，
故该快递公司从今年4月至6月投递快递总件数的月平均增长率为$ 10\% $。
(2)首先计算7月的投递任务量：6月投递量×$(1+增长率)$，即$ 12.1×(1+10\%) = 13.31 $（万件）；
再计算现有31名业务员每月最多可投递量：$ 31×0.4 = 12.4 $（万件），
因为$ 12.4 ＜ 13.31 $，所以不能完成7月投递任务。
设至少需要增加$ m $名投递业务员，根据“总投递量≥7月任务量”，列不等式：
$ 12.4 + 0.4m ≥ 13.31 $，
解得：$ m ≥ 2.275 $，
由于$ m $为正整数，故$ m $最小取3，即至少需要增加3名投递业务员。
【答案】
(1) 该快递公司从今年4月至6月投递快递总件数的月平均增长率为$ 10\% $；
(2) 该公司现有的31名快递投递业务员不能完成今年7月的快递投递任务，至少需要增加3名投递业务员。
【知识点】
一元二次方程的应用（增长率问题）、一元一次不等式的应用
【点评】
本题是结合实际生活的应用题，考查增长率问题的一元二次方程解法及不等式的实际应用，关键在于找准等量关系和不等关系，注意舍去不符合实际意义的解，以及人数需取正整数的隐含条件，难度适中，是常见的中考题型。
【难度系数】
0.6
本题分为两小问，第(1)问是增长率问题，需利用一元二次方程求解，核心是找到4月到6月投递量的等量关系；第(2)问需先计算7月的投递任务量，再通过业务员的投递能力判断是否能完成，若不能则用一元一次不等式求解需要增加的业务员数量，注意人数需取正整数。
【解析】
(1)设该快递公司从今年4月至6月投递快递总件数的月平均增长率为$ x $，
根据“4月投递量×$(1+增长率)^2$=6月投递量”，列方程：
$ 10(1+x)^2 = 12.1 $，
解方程得：$ x_1 = -2.1 $（增长率不能为负，舍去），$ x_2 = 0.1 = 10\% $，
故该快递公司从今年4月至6月投递快递总件数的月平均增长率为$ 10\% $。
(2)首先计算7月的投递任务量：6月投递量×$(1+增长率)$，即$ 12.1×(1+10\%) = 13.31 $（万件）；
再计算现有31名业务员每月最多可投递量：$ 31×0.4 = 12.4 $（万件），
因为$ 12.4 ＜ 13.31 $，所以不能完成7月投递任务。
设至少需要增加$ m $名投递业务员，根据“总投递量≥7月任务量”，列不等式：
$ 12.4 + 0.4m ≥ 13.31 $，
解得：$ m ≥ 2.275 $，
由于$ m $为正整数，故$ m $最小取3，即至少需要增加3名投递业务员。
【答案】
(1) 该快递公司从今年4月至6月投递快递总件数的月平均增长率为$ 10\% $；
(2) 该公司现有的31名快递投递业务员不能完成今年7月的快递投递任务，至少需要增加3名投递业务员。
【知识点】
一元二次方程的应用（增长率问题）、一元一次不等式的应用
【点评】
本题是结合实际生活的应用题，考查增长率问题的一元二次方程解法及不等式的实际应用，关键在于找准等量关系和不等关系，注意舍去不符合实际意义的解，以及人数需取正整数的隐含条件，难度适中，是常见的中考题型。
【难度系数】
0.6
23.(12分)定义:如果一个四边形有两条邻边相等,且这两条边所夹角的对角是直角,那么我们把这样的四边形称为“等对直四边形”,把夹角所对的直角称为“对直角”。
(1)如图1,在四边形ABCD中,若$∠ ADB=40°,∠ CDB=20°$,$∠ C=140°,∠ ABC=70°$,请判断四边形ABCD是否为“等对直四边形”?并说明理由。
(2)如图2,若四边形ABCD是“等对直四边形”,$∠ A$是“对直角”,$AD=4,AB=6$,对角线BD恰好平分四边形ABCD中的一个内角,求此时BC的长。
(3)如图3,若四边形ABCD是“等对直四边形”,$∠ DAB$是“对直角”,$DA=2,DB=2\sqrt{10},DC=2\sqrt{5}$,求此时对角线AC的长。
(1)如图1,在四边形ABCD中,若$∠ ADB=40°,∠ CDB=20°$,$∠ C=140°,∠ ABC=70°$,请判断四边形ABCD是否为“等对直四边形”?并说明理由。
(2)如图2,若四边形ABCD是“等对直四边形”,$∠ A$是“对直角”,$AD=4,AB=6$,对角线BD恰好平分四边形ABCD中的一个内角,求此时BC的长。
(3)如图3,若四边形ABCD是“等对直四边形”,$∠ DAB$是“对直角”,$DA=2,DB=2\sqrt{10},DC=2\sqrt{5}$,求此时对角线AC的长。
答案
(1)四边形$ ABCD $是“等对直四边形”。理由如下:因为$ ∠ CDB=20° $,$ ∠ C=140° $,所以$ ∠ CBD=20° $,所以$ CD=CB $,因为$ ∠ ADB=40° $,$ ∠ ABC=70° $,所以$ ∠ A=90° $,所以四边形$ ABCD $是“等对直四边形”。
(2)情况1:$ BD $平分$ ∠ ABC $,因为四边形$ ABCD $是“等对直四边形”,$ ∠ A $是“对直角”,所以$ CD=CB $,$ ∠ A=90° $,可构造以下三种基本图形(前两种须进一步证明$ DC // AB $,第三种须进一步证明全等):
因为$ AD=4 $,$ AB=6 $。所以设$ BC $的长为$ x $,均可列出方程$ 4^2+(6-x)^2=x^2 $,解得$ x=\dfrac{13}{3} $,即$ BC $的长为$ \dfrac{13}{3} $;情况2:$ BD $平分$ ∠ ADC $,也可构造以下三种基本图形(前两种须进一步证明平行,第三种须进一步证明全等):
因为$ AD=4 $,$ AB=6 $,所以设$ BC $的长为$ x $,均可列出方程$ 6^2+(x-4)^2=x^2 $,解得$ x=\dfrac{13}{2} $,即$ BC $的长为$ \dfrac{13}{2} $。综上所述,$ BC $的长为$ \dfrac{13}{3} $或$ \dfrac{13}{2} $。
(3)因为四边形$ ABCD $是“等对直四边形”,$ ∠ DAB $是“对直角”,所以$ CD=CB $,$ ∠ DAB=90° $,因为$ DA=2 $,$ DB=2\sqrt{10} $,所以$ AB=\sqrt{DB^2-DA^2}=6 $,因为$ DB=2\sqrt{10} $,$ DC=2\sqrt{5} $,所以$ DB^2=DC^2+BC^2 $,即$ ∠ DCB=90° $。根据对角互补等性质,可构造以下两种基本图形:
均可得到$ AC^2=32 $,即$ AC=4\sqrt{2} $。
解析
【分析】
本题为新定义几何综合题，需先明确“等对直四边形”的定义：有两条邻边相等，且这两条边所夹角的对角是直角。
(1) 要判断四边形ABCD是否为“等对直四边形”，需验证：①是否存在两条邻边相等；②这两条邻边夹角的对角是否为直角，通过三角形内角和、等腰三角形判定即可完成。
(2) 已知四边形是“等对直四边形”，∠A为对直角，故CD=CB，∠A=90°；BD平分四边形的一个内角，分两种情况（平分∠ABC或平分∠ADC），构造直角三角形，利用勾股定理列方程求解BC的长度。
(3) 由定义得CD=CB，∠DAB=90°，先通过勾股定理求AB，再判断△DCB为直角三角形，结合辅助线构造（如正方形），利用勾股定理求AC的长。
【解析】
(1) 四边形ABCD是“等对直四边形”，理由如下：
在△BCD中，∠CDB=20°，∠C=140°，根据三角形内角和为180°，得∠CBD=180°-20°-140°=20°，故∠CDB=∠CBD，因此CD=CB。
四边形内角和为360°，∠ADC=∠ADB+∠CDB=40°+20°=60°，则∠A=360°-∠ADC-∠C-∠ABC=360°-60°-140°-70°=90°，即邻边CD、CB的夹角∠C的对角为∠A，且∠A=90°，符合“等对直四边形”定义。
(2) 分两种情况：
情况1：BD平分∠ABC。
因四边形ABCD是“等对直四边形”，∠A为对直角，故CD=CB，∠A=90°。设BC=x，过D作DE⊥AB于E，由∠A=90°得DE=AD=4，AE=AD？不，结合勾股定理构造方程：$4^2+(6-x)^2=x^2$，解得$x=\dfrac{13}{3}$，即BC=$\dfrac{13}{3}$。
情况2：BD平分∠ADC。
同理，设BC=x，构造方程$6^2+(x-4)^2=x^2$，解得$x=\dfrac{13}{2}$，即BC=$\dfrac{13}{2}$。
综上，BC的长为$\dfrac{13}{3}$或$\dfrac{13}{2}$。
(3) 因四边形ABCD是“等对直四边形”，∠DAB为对直角，故CD=CB，∠DAB=90°。
在Rt△DAB中，DA=2，DB=2√10，由勾股定理得AB=$\sqrt{DB^2-DA^2}=\sqrt{(2\sqrt{10})^2-2^2}=6$。
又DC=2√5，DB=2√10，故$DC^2+CB^2=(2\sqrt{5})^2+(2\sqrt{5})^2=40=DB^2$，即∠DCB=90°。
构造辅助线得四边形AECF为正方形，设边长为a，由线段关系得a=4，故AC为正方形对角线，$AC=\sqrt{4^2+4^2}=4\sqrt{2}$。
【答案】
(1) 四边形ABCD是“等对直四边形”；
(2) BC的长为$\dfrac{13}{3}$或$\dfrac{13}{2}$；
(3) AC的长为$4\sqrt{2}$。
【知识点】
四边形定义、勾股定理、等腰三角形判定
【点评】
本题是新定义几何综合题，需先准确理解“等对直四边形”的核心内涵，结合三角形内角和、勾股定理等知识解题；第(2)(3)问需分情况讨论并构造辅助线，考查学生的几何逻辑推理与综合应用能力，对分析能力要求较高。
【难度系数】
0.5
本题为新定义几何综合题，需先明确“等对直四边形”的定义：有两条邻边相等，且这两条边所夹角的对角是直角。
(1) 要判断四边形ABCD是否为“等对直四边形”，需验证：①是否存在两条邻边相等；②这两条邻边夹角的对角是否为直角，通过三角形内角和、等腰三角形判定即可完成。
(2) 已知四边形是“等对直四边形”，∠A为对直角，故CD=CB，∠A=90°；BD平分四边形的一个内角，分两种情况（平分∠ABC或平分∠ADC），构造直角三角形，利用勾股定理列方程求解BC的长度。
(3) 由定义得CD=CB，∠DAB=90°，先通过勾股定理求AB，再判断△DCB为直角三角形，结合辅助线构造（如正方形），利用勾股定理求AC的长。
【解析】
(1) 四边形ABCD是“等对直四边形”，理由如下：
在△BCD中，∠CDB=20°，∠C=140°，根据三角形内角和为180°，得∠CBD=180°-20°-140°=20°，故∠CDB=∠CBD，因此CD=CB。
四边形内角和为360°，∠ADC=∠ADB+∠CDB=40°+20°=60°，则∠A=360°-∠ADC-∠C-∠ABC=360°-60°-140°-70°=90°，即邻边CD、CB的夹角∠C的对角为∠A，且∠A=90°，符合“等对直四边形”定义。
(2) 分两种情况：
情况1：BD平分∠ABC。
因四边形ABCD是“等对直四边形”，∠A为对直角，故CD=CB，∠A=90°。设BC=x，过D作DE⊥AB于E，由∠A=90°得DE=AD=4，AE=AD？不，结合勾股定理构造方程：$4^2+(6-x)^2=x^2$，解得$x=\dfrac{13}{3}$，即BC=$\dfrac{13}{3}$。
情况2：BD平分∠ADC。
同理，设BC=x，构造方程$6^2+(x-4)^2=x^2$，解得$x=\dfrac{13}{2}$，即BC=$\dfrac{13}{2}$。
综上，BC的长为$\dfrac{13}{3}$或$\dfrac{13}{2}$。
(3) 因四边形ABCD是“等对直四边形”，∠DAB为对直角，故CD=CB，∠DAB=90°。
在Rt△DAB中，DA=2，DB=2√10，由勾股定理得AB=$\sqrt{DB^2-DA^2}=\sqrt{(2\sqrt{10})^2-2^2}=6$。
又DC=2√5，DB=2√10，故$DC^2+CB^2=(2\sqrt{5})^2+(2\sqrt{5})^2=40=DB^2$，即∠DCB=90°。
构造辅助线得四边形AECF为正方形，设边长为a，由线段关系得a=4，故AC为正方形对角线，$AC=\sqrt{4^2+4^2}=4\sqrt{2}$。
【答案】
(1) 四边形ABCD是“等对直四边形”；
(2) BC的长为$\dfrac{13}{3}$或$\dfrac{13}{2}$；
(3) AC的长为$4\sqrt{2}$。
【知识点】
四边形定义、勾股定理、等腰三角形判定
【点评】
本题是新定义几何综合题，需先准确理解“等对直四边形”的核心内涵，结合三角形内角和、勾股定理等知识解题；第(2)(3)问需分情况讨论并构造辅助线，考查学生的几何逻辑推理与综合应用能力，对分析能力要求较高。
【难度系数】
0.5
