15. 如图,在数学拓展课上,小聪将直角三角形纸片$ABC(∠A=25°,∠B=65°)$沿$DE$向上折叠,点$A$落在点$A'$处,当$DA'// BC$时,$∠DEC=\underline{\qquad}°$。

15. 57.5 【解析】因为$DA'// BC$,所以$∠ADA'=∠B=65°$。由折叠的性质,可得$∠ADE=∠A'DE$。因为$∠ADA'=∠ADE+∠A'DE$,所以$∠ADE=\frac{1}{2}∠ADA'=\frac{1}{2}×65°=32.5°$。所以$∠DEC=180°-∠AED=∠A+∠ADE=25°+32.5°=57.5°$。

【分析】
本题是折叠与平行线、三角形角度计算结合的几何题。解题时，先利用平行线的同位角相等得到∠ADA'的度数，再根据折叠性质得出∠ADE与∠A'DE相等，算出∠ADE，最后利用三角形外角性质求出∠DEC的度数。
【解析】
1. 由$DA'// BC$，根据“两直线平行，同位角相等”，可得$∠ADA' = ∠B = 65°$；
2. 根据折叠的性质，折叠前后对应角相等，即$∠ADE = ∠A'DE$，因此$∠ADE = \frac{1}{2}∠ADA' = \frac{1}{2}×65° = 32.5°$；
3. 在$△ ADE$中，根据三角形外角的性质，外角等于不相邻两内角之和，所以$∠DEC = ∠A + ∠ADE = 25° + 32.5° = 57.5°$。
【答案】
57.5
【知识点】
平行线性质、折叠性质、三角形外角性质
【点评】
本题综合考查平行线、折叠的性质及三角形外角的应用，属于基础几何角度计算问题，需熟练掌握相关性质即可顺利解题。
【难度系数】
0.5

16. 对任意一个三位数$n$，如果$n$满足各个数位上的数字互不相同，且都不为零，那么称这个数为“相异数”。将一个“相异数”任意两个数位上的数字对调后可以得到三个不同的新三位数，把这三个新三位数的和与111的商记为$F(n)$。例如$n = 123$，对调百位与十位上的数字得到213，对调百位与个位上的数字得到321，对调十位与个位上的数字得到132，这三个新三位数的和为$213 + 321 + 132 = 666$，$666÷111 = 6$，所以$F(123)=6$。
(1)计算：$F(124)=$$$。
(2)若$s,t$都是“相异数”，其中$s = 100x + 32$，$t = 150 + y(1≤ x≤9,1≤ y≤9,x,y$都是正整数$)$，规定：$k = \frac{F(s)}{F(t)}$，当$F(s)+F(t)=16$时，则$k$的值是$\_\_\_\_\_\_$。

16. (1)7 (2)$\dfrac{3}{5}$ 【解析】(1)$F(124)=(214+421+142)÷111=777÷111=7$。
(2)因为$s,t$都是“相异数”,其中$s=100x+32,t=150+y$,所以$F(s)=(302+10x+230+x+100x+23)÷111=x+5,F(t)=(510+y+100y+51+105+10y)÷111=y+6$。因为$F(s)+F(t)=16$,所以$x+5+y+6=x+y+11=16$。所以$x+y=5$。因为$1≤x≤9,1≤y≤9,x,y$都是正整数,所以$\begin{cases}x=1,\\y=4\end{cases}$ 或$\begin{cases}x=2,\\y=3\end{cases}$ 或$\begin{cases}x=3,\\y=2\end{cases}$ 或$\begin{cases}x=4,\\y=1\end{cases}$。因为$s$是“相异数”,所以$x≠2$且$x≠3$。因为$t$是“相异数”,所以$y≠1$。所以$\begin{cases}x=1,\\y=4\end{cases}$。所以$F(s)=5+x=6,F(t)=6+y=10$。所以$k=\frac{F(s)}{F(t)}=\frac{6}{10}=\frac{3}{5}$。

【分析】
首先明确“相异数”的定义：三位数各数位数字互不相同且不为0；F(n)是对调“相异数”任意两个数位得到的三个新三位数的和与111的商。第(1)问直接按定义计算F(124)，需先写出三个新三位数，求和后除以111；第(2)问先将s、t的数位用x、y表示，根据F(n)的定义推导出F(s)、F(t)关于x、y的表达式，再结合F(s)+F(t)=16得到x+y=5，最后根据“相异数”的条件筛选出符合的x、y，进而计算k。
【解析】
(1) 对调124的百位与十位得214，对调百位与个位得421，对调十位与个位得142，三个新数的和为214+421+142=777，777÷111=7，故F(124)=7；
(2) s=100x+32，其数位为百位x、十位3、个位2，三个新三位数的和为(302+10x)+(203+100x)+(320+x)=555+111x，故F(s)=(555+111x)÷111=x+5；
t=150+y，其数位为百位1、十位5、个位y，三个新三位数的和为(510+y)+(100y+51)+(105+10y)=666+111y，故F(t)=(666+111y)÷111=y+6；
由F(s)+F(t)=16得x+5+y+6=16，即x+y=5；
因为1≤x≤9，1≤y≤9，x、y为正整数，所以可能的组合为(x=1,y=4)、(x=2,y=3)、(x=3,y=2)、(x=4,y=1)；
又因为s是相异数，所以x≠2且x≠3，t是相异数，所以y≠1，故仅(x=1,y=4)符合；
此时F(s)=1+5=6，F(t)=4+6=10，所以k=F(s)/F(t)=6/10=3/5。
【答案】
(1)7；(2)$\dfrac{3}{5}$
【知识点】
新定义运算、整式的加减、二元一次方程的整数解
【点评】
本题为新定义类代数题，核心是准确理解“相异数”和F(n)的定义，第(1)问直接应用定义计算，难度较低；第(2)问需结合数位表示、整式运算及整数筛选，考查逻辑推理能力，是常见的代数应用题型。
【难度系数】
0.5

17.(6分)计算:
(1)$(2 - π)^0 + (-\dfrac{1}{4})^{-1}$。
(2)$(x - 3)^2 - (2 - x)(2 + x)$。

17. (1)原式$=-3$。
(2)原式$=2x^2-6x+5$。

【分析】
第(1)小题需运用零指数幂和负整数指数幂的运算法则，先分别计算两项的值再求和：非零数的0次幂为1，负整数次幂等于正整数次幂的倒数；第(2)小题需用完全平方公式和平方差公式展开式子，再合并同类项，注意去括号时的符号变化。
【解析】
(1) 根据零指数幂法则：任何非零数的0次幂为1，故$(2 - π)^0 = 1$；根据负整数指数幂法则：$a^{-p}=\frac{1}{a^p}(a≠0)$，故$(-\frac{1}{4})^{-1}=\frac{1}{-\frac{1}{4}}=-4$；因此原式$=1 + (-4) = -3$。
(2) 根据完全平方公式$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$，得$(x - 3)^2=x^2 - 6x + 9$；根据平方差公式$(a-b)(a+b)=a^2-b^2$，得$(2 - x)(2 + x)=4 - x^2$；去括号合并同类项：原式$=x^2 - 6x + 9 - (4 - x^2)=x^2 - 6x + 9 - 4 + x^2=2x^2 - 6x + 5$。
【答案】
(1) 原式=-3；(2) 原式=2x²-6x+5
【知识点】
零指数幂与负整数指数幂、整式的乘法公式
【点评】
本题考查初中数学基础运算，核心是掌握幂运算规则和整式乘法公式，计算时需注意符号和同类项合并，属于常规基础题型。
【难度系数】
0.7

18.(6分)解方程(组):
(1)$\begin{cases}2x + y = 7,\\5x + 3y = 31。\end{cases}$
(2)$\dfrac{x - 1}{x - 2} = \dfrac{3}{2 - x} - 1$。

18. (1)$\begin{cases}x=-10,\\y=27。\end{cases}$
(2)$x=0$。

【分析】
对于二元一次方程组，可采用代入消元法，将第一个方程变形为用含x的式子表示y，再代入第二个方程求解；对于分式方程，需先确定最简公分母，去分母转化为整式方程求解，最后要检验解是否使原分式方程的分母不为0，避免增根。
【解析】
(1) 解二元一次方程组：
$\begin{cases}2x + y = 7&①\\5x + 3y = 31&②\end{cases}$
由①得：$y = 7 - 2x$ ③
把③代入②，得：$5x + 3(7 - 2x) = 31$
去括号：$5x + 21 - 6x = 31$
合并同类项：$-x + 21 = 31$
移项：$-x = 10$
解得：$x = -10$
把$x = -10$代入③，得：$y = 7 - 2×(-10) = 27$
所以方程组的解为$\begin{cases}x = -10\\y = 27\end{cases}$
(2) 解分式方程：
$\dfrac{x - 1}{x - 2} = \dfrac{3}{2 - x} - 1$
方程两边同乘最简公分母$(x - 2)$，得：
$x - 1 = -3 - (x - 2)$
去括号：$x - 1 = -3 - x + 2$
合并同类项：$x - 1 = -x - 1$
移项：$x + x = -1 + 1$
合并同类项：$2x = 0$
解得：$x = 0$
检验：当$x = 0$时，$x - 2 = -2 ≠ 0$，所以$x = 0$是原分式方程的解。
【答案】
(1)$\begin{cases}x=-10\\y=27\end{cases}$；(2)$x=0$
【知识点】
二元一次方程组的解法，分式方程的解法
【点评】
本题分别考查二元一次方程组和分式方程的基础解法，属于常规题型，需注意分式方程求解后必须检验避免增根，整体难度不大，是学生应掌握的基础内容。
【难度系数】
0.7

19.(6分)因式分解:
(1)$ab - 2a^2b + a^3b$。
(2)$(a - b)^2 + b - a$。

19. (1)原式$=ab(1-a)^2$。
(2)原式$=(b-a)(b-a+1)$。

【分析】
因式分解的核心是将多项式化为几个整式乘积的形式，步骤通常为先提取公因式，再运用公式法分解，且要分解到不能再分解为止。第(1)题先观察各项公因式为ab，提取后剩余部分符合完全平方公式；第(2)题注意到(a-b)与(b-a)互为相反数，先转化为相同形式，再提取公因式即可。
【解析】
(1) 原式$=ab·1 - ab·2a + ab· a^2 = ab(1 - 2a + a^2) = ab(a - 1)^2 = ab(1 - a)^2$；
(2) 原式$=(b - a)^2 + (b - a) = (b - a)(b - a + 1)$。
【答案】
(1)$ab(1-a)^2$；(2)$(b-a)(b-a+1)$
【知识点】
因式分解（提公因式法），因式分解（公式法）
【点评】
本题考查因式分解的基本方法，属于基础题，解题关键是准确提取公因式，注意互为相反数的项的转化，分解需彻底，难度较低。
【难度系数】
0.7