7.在多项式$4x^{2}+1$中,添加一个单项式使其成为一个整式的完全平方,则加上的单项式不可以是下面的 ()

A.$-4x$
B.$2x$
C.$-4x^{2}$
D.$4x^{4}$

7.B

【分析】
要解决本题，需依据完全平方公式$(a\pm b)^2=a^2\pm2ab+b^2$，逐一分析每个选项添加到$4x^2+1$后是否能构成整式的完全平方。先将$4x^2$看作$(2x)^2$，$1$看作$1^2$，完全平方的中间项应为$\pm2×2x×1=\pm4x$，同时需考虑其他可能的完全平方形式，再判断各选项是否符合要求。
【解析】
逐一分析选项：
选项A：添加$-4x$后，式子为$4x^2 -4x +1=(2x -1)^2$，是整式的完全平方，符合要求；
选项B：添加$2x$后，式子为$4x^2 +2x +1$，无法写成$(ax\pm b)^2$的形式（中间项应为$\pm4x$，而非$2x$），不是完全平方，不符合要求；
选项C：添加$-4x^2$后，式子为$4x^2 +1 -4x^2=1=1^2$，是整式的完全平方，符合要求；
选项D：添加$4x^4$后，式子为$4x^4 +4x^2 +1=(2x^2 +1)^2$，是整式的完全平方，符合要求。
因此，加上的单项式不可以是$2x$。
【答案】
B
【知识点】
完全平方公式、整式的加减
【点评】
本题考查完全平方公式的结构特征应用，需熟练掌握公式形式，逐一验证各选项是否能构成完全平方，属于基础题型，难度适中。
【难度系数】
0.5

8. 中国古代的《孙子算经》中记载了一道广为人知的数学问题，大致如下:现有一百匹马，一百片瓦，大马一匹可以驮三片瓦，小马三匹可以驮一片瓦，问有多少匹大马和多少匹小马？设有大马$ x $匹，小马$ y $匹，则下列方程组中，正确的是()

A.$\begin{cases}x + y = 100, \\\dfrac{x}{3} + \dfrac{y}{3} = 100\end{cases}$
B.$\begin{cases}x + y = 100, \\\dfrac{x}{3} + 3y = 100\end{cases}$
C.$\begin{cases}x + y = 100, \\3x + \dfrac{y}{3} = 100\end{cases}$
D.$\begin{cases}x + y = 100, \\3x + 3y = 100\end{cases}$

8.C

【分析】
本题需根据题目中的两个等量关系列二元一次方程组：一是马的总数量，二是瓦的总数量。首先明确大马、小马的数量与总马数的关系，再分别计算大马、小马驮的瓦数，结合总瓦数建立方程，最终选出正确方程组。
【解析】
设大马有$x$匹，小马有$y$匹，根据题意：
1. 马的总数量为100匹，可得方程：$x + y = 100$；
2. 大马每匹驮3片瓦，$x$匹大马共驮$3x$片瓦；小马3匹驮1片瓦，即每匹小马驮$\frac{1}{3}$片瓦，$y$匹小马共驮$\frac{y}{3}$片瓦，总瓦数为100片，可得方程：$3x + \frac{y}{3} = 100$；
综上，所列方程组为$\begin{cases}x + y = 100 \\3x + \dfrac{y}{3} = 100\end{cases}$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
二元一次方程组的应用、列方程解应用题
【点评】
本题结合古代数学问题考查二元一次方程组的应用，核心是准确提取两个等量关系，重点需注意小马驮瓦的计算（避免误算为每匹小马驮1片），属于基础应用题，难度适中。
【难度系数】
0.7

9. 作业本中有这样一道题:阅读材料,并完成下列问题。不难求得方程$x+\frac{1}{x}=3+\frac{1}{3}$的解是$x_1=3,x_2=\frac{1}{3};x+\frac{1}{x}=4+\frac{1}{4}$的解是$x_1=4,x_2=\frac{1}{4};x+\frac{1}{x}=5+\frac{1}{5}$的解是$x_1=5,x_2=\frac{1}{5}$。小涛同学仔细观察上述方程及其解,猜想得到:关于$x$的方程$x+\frac{1}{x}=m+\frac{1}{m}(m≠0)$的解是$x_1=m,x_2=\frac{1}{m}$,并尝试解关于$x$的方程$\frac{x^2 - x + 1}{x - 1}=m+\frac{1}{m - 1}$。小涛同学得到的正确的方程的解为()

A.$x_1=m,x_2=\frac{1}{m - 1}$
B.$x_1=m,x_2=\frac{m}{m - 1}$
C.$x_1=m - 1,x_2=\frac{1}{m - 1}$
D.$x_1=m - 1,x_2=\frac{m}{m - 1}$

9.B 【解析】因为$\frac{x^2 - x + 1}{x - 1}=m+\frac{1}{m - 1}$,所以$\frac{x ( x - 1)+ 1}{x - 1}=m+\frac{1}{m - 1}$。所以$x+\frac{1}{x - 1}=m+\frac{1}{m - 1}$。所以$x-1+\frac{1}{x - 1}=m-1+\frac{1}{m - 1}$。所以$x-1=m-1$或$x-1=\frac{1}{m - 1}$。所以$x_1=m,x_2=\frac{m}{m - 1}$。故选B。

【分析】
首先观察题目给出的方程解的规律：形如$x+\frac{1}{x}=a+\frac{1}{a}$的方程，解为$x_1=a,x_2=\frac{1}{a}$。解题时需将待解方程通过分式变形，转化为上述规律的形式，具体步骤为：拆分分子化简分式，调整方程结构使其符合已知规律，最后利用规律求解。
【解析】
对原方程$\frac{x^2 - x + 1}{x - 1}=m+\frac{1}{m - 1}$变形：
1. 拆分分子：$\frac{x(x - 1) + 1}{x - 1}=x+\frac{1}{x - 1}$，原方程化为$x+\frac{1}{x - 1}=m+\frac{1}{m - 1}$；
2. 调整结构：两边减1得$x -1+\frac{1}{x -1}=m -1+\frac{1}{m -1}$；
3. 利用规律：令$t=x-1,k=m-1$，则方程变为$t+\frac{1}{t}=k+\frac{1}{k}$，其解为$t_1=k,t_2=\frac{1}{k}$，即：
$x -1=m -1$，解得$x_1=m$；
$x -1=\frac{1}{m -1}$，解得$x_2=\frac{m}{m -1}$；
因此方程的解为$x_1=m,x_2=\frac{m}{m -1}$，选B。
【答案】
B
【知识点】
分式的化简、分式方程的解
【点评】
本题是规律探究类分式方程题，核心是通过分式拆分将待解方程转化为已知形式，再利用给定规律求解，重点考查分式变形技巧与规律应用能力。
【难度系数】
0.5

10.若甲同学的语文分数或英语分数至少有一门比乙同学高，则称甲同学不亚于乙同学。在班级的45个学生中，如果某同学不亚于其他44人，就称他(她)为“潜力之星”，那么某班45个学生中的“潜力之星”最多可能有 ()

A.22人
B.23人
C.44人
D.45人

10.D 【解析】取45人一种特殊情况:他们中语文成绩与英语成绩都互不相等,并且语文成绩最高者英语成绩最低,语文成绩次高者英语成绩次低,那么语文成绩最好的学生(语文优于其他44人)自然是“潜力之星”,语文成绩第二的学生(优于其他43人)英语成绩是倒数第二(优于1人),他也是“潜力之星”,同理可说明45人可以都是“潜力之星”。故选D。

【分析】首先明确题目中的核心定义：“不亚于”指甲的语文分数或英语分数至少有一门比乙高；“潜力之星”是对班级内其他44人均满足“不亚于”的学生。要确定最多的潜力之星数量，需通过构造特殊的成绩排列，让每个学生都能满足对其他人的“不亚于”条件，突破常规思维的局限。
【解析】根据题意，“不亚于”的定义为：若甲的语文分数＞乙的语文分数，或甲的英语分数＞乙的英语分数，则甲不亚于乙；“潜力之星”是对班级内其他44人均满足“不亚于”的学生。
构造特殊情况：将45名学生的语文成绩从高到低排序为第1名到第45名，对应英语成绩从低到高排序为第1名到第45名（即语文第i名的英语成绩为第46 - i名）。
验证任意学生是否为潜力之星：对任意第k名学生（语文第k，英语第46 - k），任取另一名学生m：
1. 若m ＜ k：第k名的语文成绩（k）高于m的语文成绩（m），满足“不亚于”；
2. 若m ＞ k：第k名的英语成绩（46 - k）高于m的英语成绩（46 - m），满足“不亚于”。
因此，该构造下所有45名学生均为“潜力之星”，故最多有45人。
【答案】D
【知识点】逻辑推理、构造法应用
【点评】本题关键是准确理解新定义，通过反向构造成绩排列的方法打破“平均分配”的思维定式，避免错选23人，考察逻辑思维与创新构造能力。
【难度系数】0.3

11. 分解因式:$4x^{2}-1=$$\underline{4x^{2}-1}$。

11.$(2x+1)(2x-1)$

【分析】
观察原式$4x^2 -1$，可发现其符合平方差公式的结构（两个数的平方差形式），其中$4x^2=(2x)^2$，$1=1^2$，因此可利用平方差公式进行因式分解。
【解析】
解：原式$=(2x)^2 - 1^2$，根据平方差公式$a^2 - b^2=(a+b)(a-b)$，代入$a=2x$，$b=1$，可得：
原式$=(2x + 1)(2x - 1)$
【答案】
$(2x+1)(2x-1)$
【知识点】
因式分解、平方差公式
【点评】
本题是基础因式分解题，直接考查平方差公式的应用，属于对基础知识的巩固，难度较低。
【难度系数】
0.9

12.已知$2^{x}=3,2^{2y}=5$，则$2^{x-2y}$的值为$\underline{\hspace{5em}}$。

12.$\dfrac{3}{5}$

【分析】要求$2^{x-2y}$的值，需利用幂的运算法则对所求式子变形。根据同底数幂的除法法则：$a^{m-n}=a^m÷ a^n$，可将$2^{x-2y}$转化为$2^x÷2^{2y}$，题目已给出$2^x=3$和$2^{2y}=5$，直接代入计算即可。
【解析】根据同底数幂的除法运算法则：
$2^{x-2y}=2^x÷2^{2y}$
将$2^x=3$，$2^{2y}=5$代入上式：
原式$=3÷5=\frac{3}{5}$
【答案】$\frac{3}{5}$
【知识点】同底数幂的除法、幂的乘方
【点评】本题考查幂的运算法则的基础应用，核心是掌握同底数幂的除法法则，将所求式子转化为已知条件的形式，属于常规基础题，难度较低。
【难度系数】0.6

13. 对于任意实数$a,b$，定义关于“$@$”的一种运算：$a@b = 2a + b$，例如$3@4 = 2×3 + 4 = 10$。若$x@(-y) = 3$，$(2y)@x = 5$，则$x + y$的值为。

13.$\dfrac{8}{3}$

【分析】首先明确新运算“@”的规则：对于任意实数a、b，a@b=2a+b，即运算时将“@”前的数作为a，后的数作为b，代入2a+b计算。接着根据题目给出的两个等式，分别将对应的a、b代入新运算规则，得到关于x、y的二元一次方程组，解方程组求出x、y的值，最后计算x+y。
【解析】根据新运算规则：
1. 由x@(-y)=3，得2x + (-y)=3，即2x - y = 3；
2. 由(2y)@x=5，得2*(2y) + x =5，即x + 4y =5；
联立方程组：
$\begin{cases}2x - y = 3 \\ x + 4y = 5\end{cases}$
用消元法解方程组：
将第一个方程两边乘以4，得：8x - 4y =12；
与第二个方程相加：(8x -4y)+(x +4y)=12+5 →9x=17 →x=$\dfrac{17}{9}$；
把x=$\dfrac{17}{9}$代入2x - y=3，得：2×$\dfrac{17}{9}$ - y=3 →$\dfrac{34}{9}$ - y=$\dfrac{27}{9}$ →y=$\dfrac{7}{9}$；
则x+y=$\dfrac{17}{9}$ + $\dfrac{7}{9}$=$\dfrac{24}{9}$=$\dfrac{8}{3}$。
【答案】$\dfrac{8}{3}$
【知识点】新定义运算、二元一次方程组的应用
【点评】本题结合新定义运算考查二元一次方程组的求解，核心是正确转化新运算为常规方程，属于基础题型，只要掌握新运算规则和解方程组的方法即可解答。
【难度系数】0.6

14.若关于$x$的分式方程$\dfrac{2x}{x-1}-3=\dfrac{2m}{1-x}$有增根，则$m=$。

14.$-1$

【分析】
要解决分式方程增根问题，需先明确增根的定义：增根是分式方程去分母后转化为的整式方程的根，但会使原分式方程的分母为0。解题步骤为：1. 确定原分式方程的增根（使分母为0的x值）；2. 将分式方程去分母转化为整式方程；3. 把增根代入整式方程，即可求出m的值。
【解析】
原分式方程为$\dfrac{2x}{x-1} - 3 = \dfrac{2m}{1-x}$，先将方程变形，两边同乘最简公分母$(x-1)$（注意每一项都要乘，且$1-x=-(x-1)$），得：
$2x - 3(x-1) = -2m$
展开并整理整式方程：
$2x - 3x + 3 = -2m$
$-x + 3 = -2m$
因为分式方程有增根，所以原方程分母为0，即$x-1=0$，解得增根$x=1$。
将$x=1$代入整式方程$-x + 3 = -2m$，得：
$-1 + 3 = -2m$
$2 = -2m$
解得$m=-1$。
【答案】
$-1$
【知识点】
分式方程的增根，解一元一次方程
【点评】
本题考查分式方程增根的应用，核心是理解增根的本质（使原方程分母为0的根），解题步骤固定，属于分式方程的基础题型，难度适中。
【难度系数】
0.3