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20.(8分)如图,在三角形ABC中,点D,E在边AB上,点F,G分别在边BC,CA上,且$DG// BC$,$∠ 1$与$∠ 2$互补。
(1)试判断DC与EF的位置关系,并说明理由。
(2)若$EF⊥ AB$,$∠ 1=50°$,求$∠ ADG$的度数。
(1)试判断DC与EF的位置关系,并说明理由。
(2)若$EF⊥ AB$,$∠ 1=50°$,求$∠ ADG$的度数。
答案
20. (1)$DC//EF$。理由如下:因为$DG//BC$,所以$∠1=∠DCB$。因为$∠1$与$∠2$互补,所以$∠1+∠2=180°$。所以$∠DCB+∠2=180°$。所以$DC//EF$。
(2)因为$EF⊥AB$,所以$∠FEA=90°$。因为$DC//EF$,所以$∠ADC=90°$。因为$∠1=50°$,所以$∠ADG=∠ADC-∠1=90°-50°=40°$。
(2)因为$EF⊥AB$,所以$∠FEA=90°$。因为$DC//EF$,所以$∠ADC=90°$。因为$∠1=50°$,所以$∠ADG=∠ADC-∠1=90°-50°=40°$。
解析
【分析】
第(1)问要判断DC与EF的位置关系，先利用DG//BC的平行线性质得到∠1与∠DCB相等，再结合∠1和∠2互补的条件，通过等量代换得到同旁内角互补，进而推出两直线平行；第(2)问先由EF⊥AB得到直角，再利用DC//EF的平行线性质得到∠ADC为直角，最后结合∠1的度数计算∠ADG。
【解析】
(1) DC与EF平行，理由如下：
∵ DG//BC（已知），
∴ ∠1 = ∠DCB（两直线平行，内错角相等）。
又
∵ ∠1与∠2互补（已知），
∴ ∠1 + ∠2 = 180°（互补的定义），
∴ ∠DCB + ∠2 = 180°（等量代换），
∴ DC//EF（同旁内角互补，两直线平行）。
(2)
∵ EF⊥AB（已知），
∴ ∠FEA = 90°（垂直的定义）。
由(1)知DC//EF，
∴ ∠ADC = ∠FEA = 90°（两直线平行，同位角相等）。
又
∵ ∠1 = 50°（已知），
∴ ∠ADG = ∠ADC - ∠1 = 90° - 50° = 40°。
【答案】
(1) DC//EF；(2) ∠ADG=40°
【知识点】
平行线的判定、平行线的性质、垂直的定义
【点评】
本题综合考查平行线的判定与性质，解题核心是利用角的关系推导直线平行，再结合垂直定义计算角度，属于基础几何综合题，需熟练掌握平行线相关定理。
【难度系数】
0.5
第(1)问要判断DC与EF的位置关系，先利用DG//BC的平行线性质得到∠1与∠DCB相等，再结合∠1和∠2互补的条件，通过等量代换得到同旁内角互补，进而推出两直线平行；第(2)问先由EF⊥AB得到直角，再利用DC//EF的平行线性质得到∠ADC为直角，最后结合∠1的度数计算∠ADG。
【解析】
(1) DC与EF平行，理由如下：
∵ DG//BC（已知），
∴ ∠1 = ∠DCB（两直线平行，内错角相等）。
又
∵ ∠1与∠2互补（已知），
∴ ∠1 + ∠2 = 180°（互补的定义），
∴ ∠DCB + ∠2 = 180°（等量代换），
∴ DC//EF（同旁内角互补，两直线平行）。
(2)
∵ EF⊥AB（已知），
∴ ∠FEA = 90°（垂直的定义）。
由(1)知DC//EF，
∴ ∠ADC = ∠FEA = 90°（两直线平行，同位角相等）。
又
∵ ∠1 = 50°（已知），
∴ ∠ADG = ∠ADC - ∠1 = 90° - 50° = 40°。
【答案】
(1) DC//EF；(2) ∠ADG=40°
【知识点】
平行线的判定、平行线的性质、垂直的定义
【点评】
本题综合考查平行线的判定与性质，解题核心是利用角的关系推导直线平行，再结合垂直定义计算角度，属于基础几何综合题，需熟练掌握平行线相关定理。
【难度系数】
0.5
21. (8分)如图,一张长方形纸片甲可看作由2张正方形纸片A和2张长方形纸片B拼成。小吴同学将其重新剪拼,得到一幅新图形乙。
(1)若甲为正方形,则乙的周长可表示为
(2)若$\frac{S_{甲}}{S_{乙}}=\frac{5}{6}$,猜测a与b之间的数量关系,并说明理由。
(1)若甲为正方形,则乙的周长可表示为
$9a$
。(用含a的代数式表示)(2)若$\frac{S_{甲}}{S_{乙}}=\frac{5}{6}$,猜测a与b之间的数量关系,并说明理由。
答案
21.(1)因为长方形B的长为2a,宽为b,正方形A的边长为a,且$a=2b$,所以长方形乙的长为$2a+a=3a$,宽为$a+b$。所以乙的周长为$(3a+a+b)×2=8a+2b=8a+a=9a$。故答案为:$9a$。
(2)$a=3b$。理由如下:由题意可得,$S_甲=2a(a+2b)$,$S_乙=3a(a+b)$,所以$\dfrac{2a(a+2b)}{3a(a+b)}=\dfrac{5}{6}$。所以$\dfrac{2(a+2b)}{3(a+b)}=\dfrac{5}{6}$,整理得$a=3b$。
(2)$a=3b$。理由如下:由题意可得,$S_甲=2a(a+2b)$,$S_乙=3a(a+b)$,所以$\dfrac{2a(a+2b)}{3a(a+b)}=\dfrac{5}{6}$。所以$\dfrac{2(a+2b)}{3(a+b)}=\dfrac{5}{6}$,整理得$a=3b$。
解析
【分析】
首先明确图形中各部分的尺寸：正方形A的边长为a，长方形B的长为2a、宽为b；甲是由2个A和2个B拼成的长方形，其长为$a+2b$，宽为$2a$；乙是由这2个A和2个B重新拼接而成的图形，其长为$3a$，宽为$a+b$。
(1) 当甲为正方形时，正方形的边长相等，据此可得出$a$与$b$的关系，再代入乙的周长表达式计算；
(2) 分别表示出甲、乙的面积，根据面积比建立等式，化简后即可得到$a$与$b$的数量关系。
【解析】
(1) 由图可知，甲的长为$a + b + b = a + 2b$，宽为$a + a = 2a$。
因为甲为正方形，所以边长相等，即$a + 2b = 2a$，解得$a = 2b$。
乙的长为$3a$，宽为$a + b$，因此乙的周长为：
$2×(3a + a + b) = 8a + 2b$，
将$b = \frac{a}{2}$代入得：$8a + 2×\frac{a}{2} = 9a$。
(2) 甲的面积$S_甲 = (a + 2b)×2a = 2a(a + 2b)$，
乙的面积$S_乙 = 3a(a + b)$，
已知$\frac{S_甲}{S_乙} = \frac{5}{6}$，代入得：
$\frac{2a(a + 2b)}{3a(a + b)} = \frac{5}{6}$，
约去$a$（$a≠0$），交叉相乘得：
$12(a + 2b) = 15(a + b)$，
展开整理：$12a + 24b = 15a + 15b$，
移项化简得：$3a = 9b$，即$a = 3b$。
【答案】
(1) $9a$；(2) $a=3b$，理由见解析。
【知识点】
整式运算、图形面积、代数式化简
【点评】
本题结合图形拼接考查整式运算与面积计算，关键是根据图形边长关系建立等式，需要学生具备图形分析与代数化简能力，难度适中。
【难度系数】
0.4
首先明确图形中各部分的尺寸：正方形A的边长为a，长方形B的长为2a、宽为b；甲是由2个A和2个B拼成的长方形，其长为$a+2b$，宽为$2a$；乙是由这2个A和2个B重新拼接而成的图形，其长为$3a$，宽为$a+b$。
(1) 当甲为正方形时，正方形的边长相等，据此可得出$a$与$b$的关系，再代入乙的周长表达式计算；
(2) 分别表示出甲、乙的面积，根据面积比建立等式，化简后即可得到$a$与$b$的数量关系。
【解析】
(1) 由图可知，甲的长为$a + b + b = a + 2b$，宽为$a + a = 2a$。
因为甲为正方形，所以边长相等，即$a + 2b = 2a$，解得$a = 2b$。
乙的长为$3a$，宽为$a + b$，因此乙的周长为：
$2×(3a + a + b) = 8a + 2b$，
将$b = \frac{a}{2}$代入得：$8a + 2×\frac{a}{2} = 9a$。
(2) 甲的面积$S_甲 = (a + 2b)×2a = 2a(a + 2b)$，
乙的面积$S_乙 = 3a(a + b)$，
已知$\frac{S_甲}{S_乙} = \frac{5}{6}$，代入得：
$\frac{2a(a + 2b)}{3a(a + b)} = \frac{5}{6}$，
约去$a$（$a≠0$），交叉相乘得：
$12(a + 2b) = 15(a + b)$，
展开整理：$12a + 24b = 15a + 15b$，
移项化简得：$3a = 9b$，即$a = 3b$。
【答案】
(1) $9a$；(2) $a=3b$，理由见解析。
【知识点】
整式运算、图形面积、代数式化简
【点评】
本题结合图形拼接考查整式运算与面积计算，关键是根据图形边长关系建立等式，需要学生具备图形分析与代数化简能力，难度适中。
【难度系数】
0.4
22. (10分)电影《哪吒之魔童闹海》上映短短10天就成为中国电影票房榜冠军。小湖为了解大家对该电影的评价情况，开展了一次调查研究，请将下面的过程补全。
【收集数据】
(1)小湖计划从某电影院观影后的观众中随机抽取40名观众对该电影的评分情况作为样本，下面的取样方法中，合理的是
A.抽取40名女性观众对该电影的评分情况组成样本
B.抽取男女性观众各20名对该电影的评分情况组成样本
C.抽取老中青幼各年龄层次的男女性观众各5名对该电影的评分情况组成样本
【整理、描述数据】
抽样方法确定后，小湖获得了40名观众对该电影的评分(满分10分)情况如下：5.5,6.5,6.1,7.7,8.0,8.4,8.2,8.0,9.1,8.3,4.5,7.3,9.9,9.5,8.6,8.1,8.38,8,9.5,8.7,6.3,7.5,8.0,8.1,8.5,9.7,7.4,9.1,9.3,8.7,8.9,7.2,9.8,8.4,9.0,7.1,7.0,9.1,6.6,6.5
分成五组整理数据(每组都包含最小值，不包含最大值)，如下表所示：
(2)为直观地展现上述调查结果，小湖想将它们绘制成扇形统计图，求C组所在扇形的圆心角度数。
【分析数据、得出结论】
小湖将统计后的数据与第一部《哪吒之魔童降世》调查的30名观众的评分情况(如图)进行对比分析。
(3)若评分8分及以上表示受观众喜爱。从受观众喜爱的角度看，请用数据说明这两部电影哪部更受欢迎？
【收集数据】
(1)小湖计划从某电影院观影后的观众中随机抽取40名观众对该电影的评分情况作为样本，下面的取样方法中，合理的是
C
。A.抽取40名女性观众对该电影的评分情况组成样本
B.抽取男女性观众各20名对该电影的评分情况组成样本
C.抽取老中青幼各年龄层次的男女性观众各5名对该电影的评分情况组成样本
【整理、描述数据】
抽样方法确定后，小湖获得了40名观众对该电影的评分(满分10分)情况如下：5.5,6.5,6.1,7.7,8.0,8.4,8.2,8.0,9.1,8.3,4.5,7.3,9.9,9.5,8.6,8.1,8.38,8,9.5,8.7,6.3,7.5,8.0,8.1,8.5,9.7,7.4,9.1,9.3,8.7,8.9,7.2,9.8,8.4,9.0,7.1,7.0,9.1,6.6,6.5
分成五组整理数据(每组都包含最小值，不包含最大值)，如下表所示：
(2)为直观地展现上述调查结果，小湖想将它们绘制成扇形统计图，求C组所在扇形的圆心角度数。
【分析数据、得出结论】
小湖将统计后的数据与第一部《哪吒之魔童降世》调查的30名观众的评分情况(如图)进行对比分析。
(3)若评分8分及以上表示受观众喜爱。从受观众喜爱的角度看，请用数据说明这两部电影哪部更受欢迎？
答案
22.(1)C
(2)C组所在扇形的圆心角度数为$\dfrac{7}{40}×360°=63°$。
(3)魔童闹海:$(16+10)÷40=\dfrac{13}{20}$,魔童降世:$(9+6)÷30=\dfrac{1}{2}$,因为$\dfrac{13}{20}＞\dfrac{1}{2}$,所以《哪吒之魔童闹海》更受欢迎。
(2)C组所在扇形的圆心角度数为$\dfrac{7}{40}×360°=63°$。
(3)魔童闹海:$(16+10)÷40=\dfrac{13}{20}$,魔童降世:$(9+6)÷30=\dfrac{1}{2}$,因为$\dfrac{13}{20}＞\dfrac{1}{2}$,所以《哪吒之魔童闹海》更受欢迎。
解析
【分析】
本题分为三个小问，解题思路如下：
1. 第(1)问考查抽样的合理性，抽样需保证样本具有代表性和广泛性，需覆盖不同群体特征，据此判断选项；
2. 第(2)问求扇形统计图中C组的圆心角度数，需先确定C组的频数，再根据“圆心角度数=（该组频数÷总样本数）×360°”计算；
3. 第(3)问比较两部电影的受欢迎程度，需分别计算两部电影中评分8分及以上的人数占总样本的比例，再比较比例大小得出结论。
【解析】
(1) 抽样调查的样本需具有代表性和广泛性，应覆盖不同年龄、性别等群体特征：
选项A仅抽取女性观众，样本不具代表性，不合理；
选项B仅抽取男女性观众，未覆盖不同年龄层次，样本代表性不足，不合理；
选项C抽取不同年龄层次的男女性观众，样本具有代表性和广泛性，合理。故答案为C。
(2) 已知总样本数为40，C组的频数为7，根据扇形圆心角计算公式：
C组所在扇形的圆心角度数 = $\frac{C组频数}{总样本数}×360° = \frac{7}{40}×360° = 63°$。
(3) 分别计算两部电影评分8分及以上的人数占比：
《哪吒之魔童闹海》：评分8分及以上的人数为16+10=26，占比为 $\frac{26}{40} = \frac{13}{20}$；
《哪吒之魔童降世》：评分8分及以上的人数为9+6=15，占比为 $\frac{15}{30} = \frac{1}{2}$；
因为 $\frac{13}{20} ＞ \frac{1}{2}$，所以《哪吒之魔童闹海》更受欢迎。
【答案】
(1) C；(2) 63°；(3) 《哪吒之魔童闹海》更受欢迎
【知识点】
抽样的合理性、扇形统计图圆心角计算、统计量的应用
【点评】
本题是统计知识的综合应用题，考查抽样调查的基本原则、扇形统计图的计算以及用统计比例分析实际问题，难度适中，需学生掌握基础统计概念和计算方法。
【难度系数】
0.6
本题分为三个小问，解题思路如下：
1. 第(1)问考查抽样的合理性，抽样需保证样本具有代表性和广泛性，需覆盖不同群体特征，据此判断选项；
2. 第(2)问求扇形统计图中C组的圆心角度数，需先确定C组的频数，再根据“圆心角度数=（该组频数÷总样本数）×360°”计算；
3. 第(3)问比较两部电影的受欢迎程度，需分别计算两部电影中评分8分及以上的人数占总样本的比例，再比较比例大小得出结论。
【解析】
(1) 抽样调查的样本需具有代表性和广泛性，应覆盖不同年龄、性别等群体特征：
选项A仅抽取女性观众，样本不具代表性，不合理；
选项B仅抽取男女性观众，未覆盖不同年龄层次，样本代表性不足，不合理；
选项C抽取不同年龄层次的男女性观众，样本具有代表性和广泛性，合理。故答案为C。
(2) 已知总样本数为40，C组的频数为7，根据扇形圆心角计算公式：
C组所在扇形的圆心角度数 = $\frac{C组频数}{总样本数}×360° = \frac{7}{40}×360° = 63°$。
(3) 分别计算两部电影评分8分及以上的人数占比：
《哪吒之魔童闹海》：评分8分及以上的人数为16+10=26，占比为 $\frac{26}{40} = \frac{13}{20}$；
《哪吒之魔童降世》：评分8分及以上的人数为9+6=15，占比为 $\frac{15}{30} = \frac{1}{2}$；
因为 $\frac{13}{20} ＞ \frac{1}{2}$，所以《哪吒之魔童闹海》更受欢迎。
【答案】
(1) C；(2) 63°；(3) 《哪吒之魔童闹海》更受欢迎
【知识点】
抽样的合理性、扇形统计图圆心角计算、统计量的应用
【点评】
本题是统计知识的综合应用题，考查抽样调查的基本原则、扇形统计图的计算以及用统计比例分析实际问题，难度适中，需学生掌握基础统计概念和计算方法。
【难度系数】
0.6
