登录
23. (10分)如图，AB，CD和EF被BD所截，已知∠1=∠2，EG平分∠AEC交BD于点G。
(1)如图1，∠BAE=140°，∠FEG=15°，∠DCE=110°，试判断EF与CD的位置关系，并说明理由。
(2)如图2，已知AB//CD。
①若∠BAE=35°，∠FEG=30°，求∠C的度数。
②试探索∠BAE，∠FEG与∠C之间的数量关系。
(1)如图1，∠BAE=140°，∠FEG=15°，∠DCE=110°，试判断EF与CD的位置关系，并说明理由。
(2)如图2，已知AB//CD。
①若∠BAE=35°，∠FEG=30°，求∠C的度数。
②试探索∠BAE，∠FEG与∠C之间的数量关系。
答案
23.(1)$EF//CD$。理由如下:因为$∠1=∠2$,所以$AB//EF$。所以$∠AEF+∠BAE=180°$。因为$∠BAE=140°$,所以$∠AEF=180°-140°=40°$。因为$∠FEG=15°$,所以$∠AEG=40°+15°=55°$。因为$EG$平分$∠AEC$,所以$∠CEG=∠AEG=55°$。所以$∠CEF=∠CEG+∠FEG=70°$。又因为$∠DCE=110°$,所以$∠DCE+∠CEF=180°$。所以$EF//CD$。
(2)①因为$∠1=∠2$,所以$AB//EF$。所以$∠FEA=∠BAE=35°$。因为$∠FEG=30°$,所以$∠AEG=65°$。因为$EG$平分$∠AEC$,所以$∠CEG=∠AEG=65°$。所以$∠FEC=95°$。因为$AB//CD$,$AB//EF$,所以$EF//CD$。所以$∠C+∠FEC=180°$。所以$∠C=85°$。②因为$∠1=∠2$,所以$AB//EF$。所以$∠BAE=∠FEA$。因为$EG$平分$∠AEC$,所以$∠GEC=∠AEG=∠FEA+∠FEG$。所以$∠FEC=∠GEC+∠FEG=∠FEA+2∠FEG=∠BAE+2∠FEG$。因为$AB//CD$,$AB//EF$,所以$EF//CD$。所以$∠FEC+∠C=180°$。所以$∠BAE+2∠FEG+∠C=180°$。
(2)①因为$∠1=∠2$,所以$AB//EF$。所以$∠FEA=∠BAE=35°$。因为$∠FEG=30°$,所以$∠AEG=65°$。因为$EG$平分$∠AEC$,所以$∠CEG=∠AEG=65°$。所以$∠FEC=95°$。因为$AB//CD$,$AB//EF$,所以$EF//CD$。所以$∠C+∠FEC=180°$。所以$∠C=85°$。②因为$∠1=∠2$,所以$AB//EF$。所以$∠BAE=∠FEA$。因为$EG$平分$∠AEC$,所以$∠GEC=∠AEG=∠FEA+∠FEG$。所以$∠FEC=∠GEC+∠FEG=∠FEA+2∠FEG=∠BAE+2∠FEG$。因为$AB//CD$,$AB//EF$,所以$EF//CD$。所以$∠FEC+∠C=180°$。所以$∠BAE+2∠FEG+∠C=180°$。
解析
【分析】
本题分两小问，解题思路如下：
(1) 先利用∠1=∠2，根据“同位角相等，两直线平行”判定AB//EF；再由平行线“两直线平行，同旁内角互补”的性质，结合∠BAE度数求出∠AEF；接着结合∠FEG度数算出∠AEG，利用角平分线定义得∠CEG，进而求出∠CEF；最后通过∠DCE与∠CEF的和是否为180°，依据“同旁内角互补，两直线平行”判断EF与CD的位置关系。
(2) ① 先由∠1=∠2得AB//EF，根据“两直线平行，内错角相等”得∠FEA=∠BAE；结合∠FEG求出∠AEG，利用角平分线定义得∠CEG，算出∠FEC；再由AB//CD及AB//EF推出EF//CD，根据“两直线平行，同旁内角互补”求∠C。
② 类比①的推导，结合角平分线性质和平行线传递性，逐步推导∠BAE、∠FEG与∠C的数量关系。
【解析】
(1) EF//CD，理由如下：
∵ ∠1=∠2，
∴ AB//EF（同位角相等，两直线平行）。
∴ ∠AEF + ∠BAE = 180°（两直线平行，同旁内角互补）。
∵ ∠BAE=140°，
∴ ∠AEF=180°-140°=40°。
∵ ∠FEG=15°，
∴ ∠AEG=∠AEF + ∠FEG=40°+15°=55°。
∵ EG平分∠AEC，
∴ ∠CEG=∠AEG=55°。
∴ ∠CEF=∠CEG + ∠FEG=55°+15°=70°。
又
∵ ∠DCE=110°，
∴ ∠DCE + ∠CEF=110°+70°=180°。
∴ EF//CD（同旁内角互补，两直线平行）。
(2) ①
∵ ∠1=∠2，
∴ AB//EF（同位角相等，两直线平行）。
∴ ∠FEA=∠BAE=35°（两直线平行，内错角相等）。
∵ ∠FEG=30°，
∴ ∠AEG=∠FEA + ∠FEG=35°+30°=65°。
∵ EG平分∠AEC，
∴ ∠CEG=∠AEG=65°。
∴ ∠FEC=∠CEG + ∠FEG=65°+30°=95°。
∵ AB//CD，AB//EF，
∴ EF//CD，
∴ ∠C + ∠FEC=180°（两直线平行，同旁内角互补）。
∴ ∠C=180°-95°=85°。
②
∵ ∠1=∠2，
∴ AB//EF，
∴ ∠BAE=∠FEA（两直线平行，内错角相等）。
∵ EG平分∠AEC，
∴ ∠GEC=∠AEG=∠FEA + ∠FEG（角平分线定义）。
∴ ∠FEC=∠GEC + ∠FEG=∠FEA + 2∠FEG=∠BAE + 2∠FEG。
∵ AB//CD，AB//EF，
∴ EF//CD，
∴ ∠FEC + ∠C=180°（两直线平行，同旁内角互补）。
∴ ∠BAE + 2∠FEG + ∠C=180°。
【答案】
(1) EF//CD；
(2) ① ∠C=85°；② ∠BAE + 2∠FEG + ∠C=180°。
【知识点】
平行线的判定与性质，角平分线的定义
【点评】
本题综合考查平行线的判定与性质、角平分线的定义，需熟练运用相关定理进行角度推导，逻辑要求较高，是初中几何的典型题型。
【难度系数】
0.5
本题分两小问，解题思路如下：
(1) 先利用∠1=∠2，根据“同位角相等，两直线平行”判定AB//EF；再由平行线“两直线平行，同旁内角互补”的性质，结合∠BAE度数求出∠AEF；接着结合∠FEG度数算出∠AEG，利用角平分线定义得∠CEG，进而求出∠CEF；最后通过∠DCE与∠CEF的和是否为180°，依据“同旁内角互补，两直线平行”判断EF与CD的位置关系。
(2) ① 先由∠1=∠2得AB//EF，根据“两直线平行，内错角相等”得∠FEA=∠BAE；结合∠FEG求出∠AEG，利用角平分线定义得∠CEG，算出∠FEC；再由AB//CD及AB//EF推出EF//CD，根据“两直线平行，同旁内角互补”求∠C。
② 类比①的推导，结合角平分线性质和平行线传递性，逐步推导∠BAE、∠FEG与∠C的数量关系。
【解析】
(1) EF//CD，理由如下：
∵ ∠1=∠2，
∴ AB//EF（同位角相等，两直线平行）。
∴ ∠AEF + ∠BAE = 180°（两直线平行，同旁内角互补）。
∵ ∠BAE=140°，
∴ ∠AEF=180°-140°=40°。
∵ ∠FEG=15°，
∴ ∠AEG=∠AEF + ∠FEG=40°+15°=55°。
∵ EG平分∠AEC，
∴ ∠CEG=∠AEG=55°。
∴ ∠CEF=∠CEG + ∠FEG=55°+15°=70°。
又
∵ ∠DCE=110°，
∴ ∠DCE + ∠CEF=110°+70°=180°。
∴ EF//CD（同旁内角互补，两直线平行）。
(2) ①
∵ ∠1=∠2，
∴ AB//EF（同位角相等，两直线平行）。
∴ ∠FEA=∠BAE=35°（两直线平行，内错角相等）。
∵ ∠FEG=30°，
∴ ∠AEG=∠FEA + ∠FEG=35°+30°=65°。
∵ EG平分∠AEC，
∴ ∠CEG=∠AEG=65°。
∴ ∠FEC=∠CEG + ∠FEG=65°+30°=95°。
∵ AB//CD，AB//EF，
∴ EF//CD，
∴ ∠C + ∠FEC=180°（两直线平行，同旁内角互补）。
∴ ∠C=180°-95°=85°。
②
∵ ∠1=∠2，
∴ AB//EF，
∴ ∠BAE=∠FEA（两直线平行，内错角相等）。
∵ EG平分∠AEC，
∴ ∠GEC=∠AEG=∠FEA + ∠FEG（角平分线定义）。
∴ ∠FEC=∠GEC + ∠FEG=∠FEA + 2∠FEG=∠BAE + 2∠FEG。
∵ AB//CD，AB//EF，
∴ EF//CD，
∴ ∠FEC + ∠C=180°（两直线平行，同旁内角互补）。
∴ ∠BAE + 2∠FEG + ∠C=180°。
【答案】
(1) EF//CD；
(2) ① ∠C=85°；② ∠BAE + 2∠FEG + ∠C=180°。
【知识点】
平行线的判定与性质，角平分线的定义
【点评】
本题综合考查平行线的判定与性质、角平分线的定义，需熟练运用相关定理进行角度推导，逻辑要求较高，是初中几何的典型题型。
【难度系数】
0.5
