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24.(12分)某工厂需制作如图1的竖式与横式两种无盖木箱(单位：cm),制作木箱需要如图2的25cm×25cm的正方形木板和25cm×40cm的长方形木板。现工厂采购这两种木板,采购清单如下表。设正方形木板的单价为m元/块,已知购买的长方形木板的数量正好是正方形木板的2倍。
采购清单
(1)请将表格填写完整(用含$m$的代数式表示),并求$m$的值。
(2)现将购买的木板制作这两种无盖木箱,求两种木箱各做多少个时恰好将木板用完。
(3)该工厂发现有一批尺寸为25cm×280cm的废旧木板,若用这批废旧木板切割成木箱所需的上述两种木板。
①如何切割才能将每块废旧木板恰好用完(不计损耗)?
②因工厂生产需要,还需制作竖式无盖木箱60个、横式无盖木箱50个,所有废旧木板恰好用完,则这批废旧木板共有多少块?
采购清单
(1)请将表格填写完整(用含$m$的代数式表示),并求$m$的值。
(2)现将购买的木板制作这两种无盖木箱,求两种木箱各做多少个时恰好将木板用完。
(3)该工厂发现有一批尺寸为25cm×280cm的废旧木板,若用这批废旧木板切割成木箱所需的上述两种木板。
①如何切割才能将每块废旧木板恰好用完(不计损耗)?
②因工厂生产需要,还需制作竖式无盖木箱60个、横式无盖木箱50个,所有废旧木板恰好用完,则这批废旧木板共有多少块?
答案
24.(1)$\dfrac{120}{m}$ $\dfrac{300}{m+3}$ 根据题意得$\dfrac{120}{m}×2=\dfrac{300}{m+3}$,解得$m=12$,经检验,$m=12$是原方程的解,且符合题意。所以$m=12$。
(2)当$m=12$时,正方形木板的数量为$\dfrac{120}{m}=10$(块),长方形木板的数量为$\dfrac{300}{m+3}=20$(块)。设竖式无盖木箱做$x$个,横式无盖木箱做$y$个。根据题意得$\begin{cases} x+2y=10, \\4x+3y=20, \end{cases}$ 解得$\begin{cases} x=2, \\ y=4, \end{cases}$ 所以竖式无盖木箱做2个,横式无盖木箱做4个。
(3)①设每块废旧木板切割正方形木板$a$块,长方形木板$b$块。根据题意得$25a+40b=280$,整理得$b=7-\dfrac{5}{8}a$。因为$a,b$都是非负整数,所以$\begin{cases} a=0, \\ b=7 \end{cases}$ 或$\begin{cases} a=8, \\ b=2。\end{cases}$ 所以有两种切割方式,第一种切割方式为长方形木板7块,第二种为正方形木板8块和长方形木板2块。②所需正方形木板$60×1+50×2=160$(块),长方形木板$60×4+50×3=390$(块)。所以第二种切割方式的木板为$160÷8=20$(块),第一种切割方式的木板为$(390-2×20)÷7=50$(块)。所以废旧木板共$20+50=70$(块)。
(2)当$m=12$时,正方形木板的数量为$\dfrac{120}{m}=10$(块),长方形木板的数量为$\dfrac{300}{m+3}=20$(块)。设竖式无盖木箱做$x$个,横式无盖木箱做$y$个。根据题意得$\begin{cases} x+2y=10, \\4x+3y=20, \end{cases}$ 解得$\begin{cases} x=2, \\ y=4, \end{cases}$ 所以竖式无盖木箱做2个,横式无盖木箱做4个。
(3)①设每块废旧木板切割正方形木板$a$块,长方形木板$b$块。根据题意得$25a+40b=280$,整理得$b=7-\dfrac{5}{8}a$。因为$a,b$都是非负整数,所以$\begin{cases} a=0, \\ b=7 \end{cases}$ 或$\begin{cases} a=8, \\ b=2。\end{cases}$ 所以有两种切割方式,第一种切割方式为长方形木板7块,第二种为正方形木板8块和长方形木板2块。②所需正方形木板$60×1+50×2=160$(块),长方形木板$60×4+50×3=390$(块)。所以第二种切割方式的木板为$160÷8=20$(块),第一种切割方式的木板为$(390-2×20)÷7=50$(块)。所以废旧木板共$20+50=70$(块)。
解析
【分析】
1. 第(1)问：先根据“数量=总价÷单价”表示两种木板的数量，再利用“长方形木板数量是正方形木板的2倍”建立一元一次方程求解m；
2. 第(2)问：代入m的值得到两种木板的实际数量，再结合竖式、横式木箱各自所需的正方形、长方形木板数量，设未知数建立二元一次方程组求解；
3. 第(3)问①：根据废旧木板的尺寸，设切割两种木板的数量，列方程后结合非负整数条件筛选切割方式；②先算出制作指定木箱所需的两种木板总数，再结合两种切割方式的产出，计算所需废旧木板的总块数。
【解析】
(1) 正方形木板数量为$\dfrac{120}{m}$块，长方形木板数量为$\dfrac{300}{m+3}$块。根据题意，长方形木板数量是正方形木板的2倍，得：
$2×\dfrac{120}{m}=\dfrac{300}{m+3}$
去分母得：$240(m+3)=300m$
化简得：$240m+720=300m$
解得：$m=12$
经检验，$m=12$是原方程的解，且符合题意，故$m=12$。
(2) 当$m=12$时，正方形木板数量为$\dfrac{120}{12}=10$块，长方形木板数量为$\dfrac{300}{12+3}=20$块。
设竖式无盖木箱做$x$个，横式无盖木箱做$y$个。根据两种木箱的木板用量，得：
$\begin{cases}x+2y=10\\4x+3y=20\end{cases}$
由第一个方程得$x=10-2y$，代入第二个方程：
$4(10-2y)+3y=20$
解得$y=4$，则$x=10-2×4=2$。
(3)①设每块废旧木板切割正方形木板$a$块，长方形木板$b$块。根据尺寸得：
$25a+40b=280$
整理得$b=7-\dfrac{5}{8}a$。
因为$a,b$为非负整数，所以$a$是8的倍数，解得：
$\begin{cases}a=0\\b=7\end{cases}$或$\begin{cases}a=8\\b=2\end{cases}$，即两种切割方式：第一种切长方形木板7块，第二种切正方形木板8块和长方形木板2块。
②制作60个竖式、50个横式木箱所需正方形木板：$60×1+50×2=160$块，长方形木板：$60×4+50×3=390$块。
第二种切割方式每块得8块正方形和2块长方形，需第二种切割块数：$160÷8=20$块，对应得长方形$20×2=40$块；
还需长方形木板：$390-40=350$块，第一种切割方式每块得7块长方形，需第一种切割块数：$350÷7=50$块；
总废旧木板块数：$20+50=70$块。
【答案】
(1) 正方形木板数量为$\dfrac{120}{m}$，长方形木板数量为$\dfrac{300}{m+3}$，$m=12$；
(2) 竖式无盖木箱做2个，横式无盖木箱做4个；
(3)①有两种切割方式：第一种切割长方形木板7块，第二种切割正方形木板8块和长方形木板2块；②这批废旧木板共有70块。
【知识点】
二元一次方程组应用，一元一次方程应用，整数解问题
【点评】
本题结合实际生产场景，考查方程（组）的应用，需理清各量间的数量关系，尤其是整数解的筛选是关键，整体难度适中，能有效考查学生的分析与计算能力。
【难度系数】
0.6
1. 第(1)问：先根据“数量=总价÷单价”表示两种木板的数量，再利用“长方形木板数量是正方形木板的2倍”建立一元一次方程求解m；
2. 第(2)问：代入m的值得到两种木板的实际数量，再结合竖式、横式木箱各自所需的正方形、长方形木板数量，设未知数建立二元一次方程组求解；
3. 第(3)问①：根据废旧木板的尺寸，设切割两种木板的数量，列方程后结合非负整数条件筛选切割方式；②先算出制作指定木箱所需的两种木板总数，再结合两种切割方式的产出，计算所需废旧木板的总块数。
【解析】
(1) 正方形木板数量为$\dfrac{120}{m}$块，长方形木板数量为$\dfrac{300}{m+3}$块。根据题意，长方形木板数量是正方形木板的2倍，得：
$2×\dfrac{120}{m}=\dfrac{300}{m+3}$
去分母得：$240(m+3)=300m$
化简得：$240m+720=300m$
解得：$m=12$
经检验，$m=12$是原方程的解，且符合题意，故$m=12$。
(2) 当$m=12$时，正方形木板数量为$\dfrac{120}{12}=10$块，长方形木板数量为$\dfrac{300}{12+3}=20$块。
设竖式无盖木箱做$x$个，横式无盖木箱做$y$个。根据两种木箱的木板用量，得：
$\begin{cases}x+2y=10\\4x+3y=20\end{cases}$
由第一个方程得$x=10-2y$，代入第二个方程：
$4(10-2y)+3y=20$
解得$y=4$，则$x=10-2×4=2$。
(3)①设每块废旧木板切割正方形木板$a$块，长方形木板$b$块。根据尺寸得：
$25a+40b=280$
整理得$b=7-\dfrac{5}{8}a$。
因为$a,b$为非负整数，所以$a$是8的倍数，解得：
$\begin{cases}a=0\\b=7\end{cases}$或$\begin{cases}a=8\\b=2\end{cases}$，即两种切割方式：第一种切长方形木板7块，第二种切正方形木板8块和长方形木板2块。
②制作60个竖式、50个横式木箱所需正方形木板：$60×1+50×2=160$块，长方形木板：$60×4+50×3=390$块。
第二种切割方式每块得8块正方形和2块长方形，需第二种切割块数：$160÷8=20$块，对应得长方形$20×2=40$块；
还需长方形木板：$390-40=350$块，第一种切割方式每块得7块长方形，需第一种切割块数：$350÷7=50$块；
总废旧木板块数：$20+50=70$块。
【答案】
(1) 正方形木板数量为$\dfrac{120}{m}$，长方形木板数量为$\dfrac{300}{m+3}$，$m=12$；
(2) 竖式无盖木箱做2个，横式无盖木箱做4个；
(3)①有两种切割方式：第一种切割长方形木板7块，第二种切割正方形木板8块和长方形木板2块；②这批废旧木板共有70块。
【知识点】
二元一次方程组应用，一元一次方程应用，整数解问题
【点评】
本题结合实际生产场景，考查方程（组）的应用，需理清各量间的数量关系，尤其是整数解的筛选是关键，整体难度适中，能有效考查学生的分析与计算能力。
【难度系数】
0.6
