1. （2025·南京校级期末）如图，已知线段$AB=2$，点$C$在直线$AB$上，$BC=3AB$，点$D$是$AB$的中点，点$E$是$BC$的中点，求线段$DE$的长.

分两种情况:①所示,点C在线段AB的延长线上时,
因为AB=2,BC=3AB,所以BC=3×2=6.因为点D是AB的中点,点E是BC的中点,所以$BD=\frac{1}{2}AB=1$,$BE=\frac{1}{2}BC=3$,$DE=BD+BE=1+3=4$;②所示,点C在BA的延长线上时,
因为AB=2,BC=3AB,所以BC=3×2=6.因为点D是AB的中点,点E是BC的中点,所以$BD=\frac{1}{2}AB=1$,$BE=\frac{1}{2}BC=3$,$DE=BE-BD=3-1=2$.综上所述,线段DE的长为4或2。

2. 如图,图中数轴的单位长度为1.若原点 O 为 AB 的四等分点,则点 C 代表的数为.

-3或-1或1 【解析】因为图中数轴的单位长度为1,所以AB=8.①,当点O靠近点A时,因为原点O为AB的四等分点,所以$AO=\frac{1}{4}AB=\frac{1}{4}×8=2$,所以点C代表的数为1;
②,当点O恰好是线段AB的中点时,因为原点O为AB的四等分点,所以$AO=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×8=4$,所以点C代表的数为-1;
③,当点O靠近点B时,因为原点O为AB的四等分点,所以$OB=\frac{1}{4}AB=\frac{1}{4}×8=2$,所以点C代表的数为-3.
综上所述,点C代表的数为-3或-1或1。

3. （2026·南京期末）已知点C在线段AB上，AC=2BC，点D，E在直线AB上，点D在点E的左侧.
（1）若AB=18，DE=8，线段DE在线段AB上移动.
①如图，当E为BC中点时，求AD的长；
②当点C是线段DE的三等分点时，求AD的长.
（2）若AB=2DE，线段DE在直线上移动，且满足关系式$3BE=2(AD+EC)$，求$\frac{CD}{AB}$.

进一步挑战进阶专题·P120 专题9

3. (1)因为AC=2BC,AB=18,所以BC=6,AC=12.
①因为E为BC中点,所以CE=3.因为DE=8,所以CD=5,AD=AC-CD=12-5=7.
②因为点C是线段DE的三等分点,DE=8,所以$CE=\frac{1}{3}DE=\frac{8}{3}$或$CE=\frac{2}{3}DE=\frac{16}{3}$,所以$CD=\frac{16}{3}$或$\frac{8}{3}$,$AD=AC-CD=12-\frac{16}{3}=\frac{20}{3}$或$AD=AC-CD=12-\frac{8}{3}=\frac{28}{3}$.
(2)当点E在线段BC上时,,
设BC=x,则AC=2BC=2x,所以AB=3x.因为AB=2DE,所以DE=1.5x.设CE=y,所以AE=2x+y,BE=x-y,所以AD=AE-DE=2x+y-1.5x=0.5x+y.因为3BE=2(AD+EC),所以3(x-y)=2(0.5x+y+y),所以$y=\frac{2}{7}x$,所以CD=1.5x-$y=\frac{17}{14}x$,所以$\frac{CD}{AB}=\frac{\frac{17}{14}x}{3x}=\frac{17}{42}$;
当点E在点A的左侧时,,
设BC=x,同理DE=1.5x.设CE=y,所以CD=DE+CE=1.5x+y,所以AD=DC-AC=y+1.5x-2x=y-0.5x,BE=CE+BC=x+y.因为3BE=2(AD+EC),所以3(x+y)=2(y-0.5x+y),所以y=4x,所以CD=CE+DE=5.5x,AB=3x,所以$\frac{CD}{AB}=\frac{5.5x}{3x}=\frac{11}{6}$.当点E在线段AC上及点E在点B右侧时,无解.
综上所述,$\frac{CD}{AB}$的值为$\frac{17}{42}$或$\frac{11}{6}$.