1. 如图,已知点 C 为线段 AB 的中点,点 D 为线段 CB 的中点,现给出下列结论:①$CD=AC-DB$;②$CD=\frac{1}{4}AB$;③$CD=AD-BC$;④$BC=2AD-AB$.其中正确的结论是 ()


A.①②③④
B.①②③
C.②③④
D.②③

1. A 【解析】因为点 C 为线段 AB 的中点,点 D 为线段 CB 的中点,所以 AC=BC=$\frac{1}{2}AB$,CD=DB=$\frac{1}{2}BC$,所以 CD=BC-DB = AC-DB, CD = $\frac{1}{4}AB$,故①②正确;因为 CD = AD-AC,所以 CD=AD-BC,故③正确;因为 AD=AC+CD = $\frac{1}{2}AB+\frac{1}{2}BC$,所以 BC=2AD-AB,故④正确.故选 A.

2. 如图所示,点 B 在线段 AC 上,且 $BC=3AB$,D 是线段 AB 的中点,E 是线段 BC 上的一点,$BE:EC=2:1$,则下列结论:①$EC=\frac{1}{3}AE$;②$DE=5BD$;③$BE=\frac{1}{2}(AE+BC)$;④$AE=\frac{6}{5}(BC-AD)$.其中正确的结论有

()

A.①②
B.①②④
C.②③④
D.①②③④

2. B 【解析】因为 E 是 BC 的三等分点,BC=3AB,所以 EC=$\frac{1}{3}BC$,$AB=\frac{1}{3}BC$,所以 AB=EC,所以 AB+BE=EC+BE,所以 AE=BC,所以 EC=$\frac{1}{3}AE$,故①正确;因为 EC = $\frac{1}{3}AE$,所以 AE=3EC. 因为 AB=EC,所以 AE=3AB. 因为 D 是线段 AB 的中点,所以 AD = BD = $\frac{1}{2}AB$,所以 DE = AE-AD = 3AB-$\frac{1}{2}AB$ = $\frac{5}{2}AB$,所以 DE = $\frac{5}{2}×2BD = 5BD$,故②正确;因为 AE=BC=3AB,所以 $\frac{1}{2}(AE+BC) = \frac{1}{2}(3AB+3AB) = 3AB$. 因为 BE = AE - AB = 3AB - AB = 2AB,所以 $\frac{BE}{\frac{1}{2}(AE+BC)}=\frac{2AB}{3AB}=\frac{2}{3}$,所以 BE = $\frac{2}{3}×\frac{1}{2}(AE+BC) = \frac{1}{3}(AE+BC)$,故③不正确;因为 BC=3AB,AD=$\frac{1}{2}AB$,所以 $\frac{6}{5}(BC-AD) = \frac{6}{5}(3AB-\frac{1}{2}AB) = 3AB$. 因为 AE=3AB,所以 AE = $\frac{6}{5}(BC-AD)$,故④正确.综上,正确的有①②④,故选 B.

3. 如图,点B,D在线段AC上,$BD=\frac{1}{3}AB=\frac{1}{4}CD$,E是AB的中点,F是CD的中点,以下结论:
①$CF=\frac{4}{5}EF$;②$AC=2EF$;③若$EF=5$,则$CD=8$.其中正确的结论是(填序号).

3. ①③ 【解析】设 BD=x,则 AB=3x,CD=4x,所以 AC=3x+4x-x=6x. 因为线段 AB,CD 的中点分别是 E,F,所以 AE = BE = $\frac{1}{2}AB = 1.5x$,CF = DF = $\frac{1}{2}CD = 2x$,所以 EF=AC-AE-CF = 6x - 1.5x - 2x = 2.5x, 所以 2EF ≠ AC, $\frac{4}{5}EF=CF$,故②错误,①正确;因为 EF=EB+DF-DB=5,所以 1.5x+2x-x=5,解得 x=2,所以 CD=4×2=8,故③正确.故正确的是①③.

4. 如图，C，D是线段AB上两点，M，N分别是线段AD，BC的中点，下列结论：①若AM=BN，则AC=BD；②若AB=3BD，则AD=BM；③AB-CD=2MN；④AC-BD=3(MC-DN)。其中正确的结论是________（填序号）。

4. ①②③ 【解析】①因为 M,N 分别是线段 AD,BC 的中点,所以 AM = $\frac{1}{2}AD$,BN = $\frac{1}{2}BC$. 因为 AM=BN,所以 $\frac{1}{2}AD=\frac{1}{2}BC$,即 AD=BC,所以 AD-CD=BC-CD,所以 AC=BD,故①正确,符合题意;②因为 AB=3BD,所以 AD=AB-BD=3BD-BD=2BD. 因为 M 是线段 AD 的中点,所以 AM = $\frac{1}{2}AD=BD$. 因为 BM=AB-AM=3BD-BD=2BD,所以 AD=BM,故②正确,符合题意;③因为 M,N 分别是线段 AD,BC 的中点,所以 DM = $\frac{1}{2}AD$,CN = $\frac{1}{2}BC$,所以 MN = DM+CN-CD = $\frac{1}{2}AD+\frac{1}{2}BC-CD$,整理得 2MN = AD+BC-2CD,即 2MN=AB-CD,故③正确,符合题意;④因为 AC=AM+CM = $\frac{1}{2}AD+CM$,BD=BN+DN = $\frac{1}{2}BC+DN$,所以 AC-BD = $(\frac{1}{2}AD+CM)-(\frac{1}{2}BC+DN) = \frac{1}{2}(AD-BC)+(CM-DN)$,所以 2(AC-BD)=(AD-BC)+2(CM-DN),所以 AC-BD=2(MC-DN),故④不正确,不符合题意.故答案为①②③.

5. 如图,数轴上点A,B,D表示的数分别是-9,-1,1,且点C为线段AB的中点,点O为原点,点E在数轴上,点F为线段DE的中点,P,Q为数轴上两个动点,点P从点B向左运动,速度为每秒1个单位长度,点Q从点D向左运动,速度为每秒3个单位长度,P,Q同时运动,运动时间为t s.有下列结论:①若点E表示的数是3,则$CF=7$;②若$DE=3$,则$BF=\frac{7}{2}$;③当$t=2$时,$PQ=2$;④当$t=\frac{2}{5}$时,点P是线段DQ的中点.其中正确的结论有________(填序号).

5. ①③ 【解析】①若点 E 表示的数是 3,因为点 F 为线段 DE 的中点,点 D 表示的数是 1,所以 DE=2,DF=$\frac{1}{2}DE=1$,即点 F 表示的数是 2. 因为数轴上点 A,B 表示的数分别是-9,-1,点 C 为线段 AB 的中点,所以点 C 表示的数为 $\frac{1}{2}×(-1-9)=-5$,所以 CF=2-(-5)=7,故①正确;②若 DE=3,当点 E 在点 D 的右侧时,则点 E 表示的数是 4,因为点 F 为线段 DE 的中点,所以 DF=$\frac{1}{2}DE=\frac{3}{2}$,即点 F 表示的数是 $\frac{5}{2}$,所以 BF=$\frac{5}{2}-(-1)=\frac{7}{2}$. 当点 E 在点 D 的左侧时,则点 E 表示的数是-2,因为点 F 为线段 DE 的中点,所以 DF=$\frac{1}{2}DE=\frac{3}{2}$,即点 F 表示的数是-$\frac{1}{2}$,所以 BF=-$\frac{1}{2}-(-1)=\frac{1}{2}$,综上,BF=$\frac{7}{2}$或$\frac{1}{2}$,故②不正确;③当 t=2 时,BP=1×2=2,DQ=2×3=6,因为 B,D 表示的数分别是-1,1,所以点 P,Q 表示的数分别是-3,-5,所以 PQ=2,故③正确;④当 t=$\frac{2}{5}$时,BP=1×$\frac{2}{5}=\frac{2}{5}$,DQ=$\frac{2}{5}×3=\frac{6}{5}$,所以 P,Q 表示的数分别是-$\frac{7}{5}$,-$\frac{1}{5}$. 因为点 P 在点 D,Q 的左侧,不可能是线段 DQ 的中点,故④不正确.故答案为①③.