1. （2025·南京校级期末）如图，点$C,D,E$在线段$AB$上，$CD=2,DE=4$.若线段$AB$的长度是一个正整数，则图中以$A,B,C,D,E$这五点中任意两点为端点的所有线段长度之和可能是 （）


A.81
B.82
C.83
D.84

1. D 【解析】由题意可得,题图中以A,B,C,D,E这五点中任意两点为端点的所有线段长度之和是AB+AC+CD+DE+EB+AD+DB+AE+CB+CE=AB+AB+AB+AE+EB+CE+CE=4AB+2CE=4AB+2(CD+DE)=4AB+2×(2+4)=4AB+12=4(AB+3).因为线段AB的长度是一个正整数,所以长度之和是4的倍数.选项中,只有D项是4的倍数,故选D.

2. 如图①,一款暗插销由外壳$AB$、开关$CD$、锁芯$DE$三部分组成,其工作原理如图②,开关$CD$绕固定点$O$转动,由连接点$D$带动锁芯$DE$移动.图③为插销开启状态,此时连接点$D$在线段$AB$上,如$D_1$位置.开关$CD$绕点$O$顺时针旋转$180°$后得到$C_2D_2$,锁芯弹回至$D_2E_2$位置(点$B$与点$E_2$重合),此时插销闭合如图④.已知$CD=72\ \mathrm{mm}$,$AD_2 - AC_1 = 50\ \mathrm{mm}$,则$BE_1 = \_\_\_\_\_\_\ \mathrm{mm}$.

2. 22 【解析】由题图③得,当点D在O的右侧时,即$D_1$位置时,点B与点E的距离为$BE_1$,由题图④得,当点D在O的左侧时,即$D_2$位置时,点B与点E重合,即$E_2$位置,所以$BE_1 = OD_1 + OD_2 = 2OD_2$.因为$AD_2 - AC_1 = 50\ \mathrm{mm}$,所以$(AO-OD_2)-(AO-OC_1)=50\ \mathrm{mm}$,所以$OC_1 - OD_2 = 50\ \mathrm{mm}$,所以$OC_1 = OD_2 + 50$.因为$CD = OC + OD = OC_1 + OD_1$,所以$CD=OC_1 + OD_2 = OD_2 + 50 + OD_2 = 72\ \mathrm{mm}$,$2OD_2 = 22\ \mathrm{mm}$,即$BE_1=22\ \mathrm{mm}$.

3. 如图,点 C 在线段 AB 上,线段 $AC=15,BC=9$,点 M,N 分别在线段 AC,BC 上,且 $AM=\frac{1}{3}AC$, $BN=\frac{1}{3}BC$.
(1)求线段 MN 的长度.
(2)若点 C 为线段 AB 上任意一点,且 $AC+BC=m$,其他条件不变,则线段 MN 的长度为________.
(3)若题中的条件变为“点 C 在线段 AB 的延长线上”,其他条件不变,则 MN 的长度会有变化吗?若有变化,请求出结果.

$\gg$ 进一步挑战进阶专题:P119 专题8,P120 专题9

3. (1)因为$AM=\frac{1}{3}AC,BN=\frac{1}{3}BC,AC=15,BC=9$,所以$AM=\frac{1}{3}×15=5,BN=\frac{1}{3}×9=3$,所以$MN=AB-AM-BN=AC+BC-AM-BN=15+9-5-3=16$.
(2)$\frac{2}{3}m$ 【解析】因为$AM=\frac{1}{3}AC,BN=\frac{1}{3}BC$,所以$MN=AB-(AM+BN)=AC+BC-\frac{1}{3}(AC+BC)=\frac{2}{3}(AC+BC)=\frac{2}{3}m$.
(3)有变化,MN的长度为4.理由如下:当点C在线段AB的延长线时,因为$AC=15,BC=9$,所以$AB=AC-BC=6$.因为$CM=(1-\frac{1}{3})AC=10,CN=(1-\frac{1}{3})BC=6$,所以$MN=MC-NC=10-6=4$,所以MN的长度有变化.