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1. 计算下列各题。
(1) $ 2026×\frac{7}{2027} $
(2) $ 2×\frac{1}{2}×\frac{2}{3}×\frac{3}{4}×\frac{4}{5}×···×\frac{2025}{2026} $
(3) $ \frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{31}+\frac{1}{62}+\frac{1}{124}+\frac{1}{248} $
(1) $ 2026×\frac{7}{2027} $
(2) $ 2×\frac{1}{2}×\frac{2}{3}×\frac{3}{4}×\frac{4}{5}×···×\frac{2025}{2026} $
(3) $ \frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{31}+\frac{1}{62}+\frac{1}{124}+\frac{1}{248} $
答案
1. (1) $ 2026 × \frac{7}{2027} = (2027 - 1) × \frac{7}{2027} = 2027 × \frac{7}{2027} - \frac{7}{2027} = 7 - \frac{7}{2027} = 6 \frac{2020}{2027} $
(2) $ 2 × \frac{1}{2} × \frac{2}{3} × \frac{3}{4} × \frac{4}{5} × ··· × \frac{2025}{2026} = 2 × (\frac{1}{2} × \frac{2}{3} × \frac{3}{4} × \frac{4}{5} × ··· × \frac{2025}{2026}) = 2 × \frac{1}{2026} = \frac{1}{1013} $
(3) 设 $ \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \frac{1}{31} + \frac{1}{62} + \frac{1}{124} + \frac{1}{248} = A $
$ 2A = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{2}{31} + \frac{1}{31} + \frac{1}{62} + \frac{1}{124} $
$ A = 2A - A = (1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{2}{31} + \frac{1}{31} + \frac{1}{62} + \frac{1}{124}) - (\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \frac{1}{31} + \frac{1}{62} + \frac{1}{124} + \frac{1}{248}) $
$ = 1 + \frac{2}{31} - \frac{1}{8} - \frac{1}{248} = \frac{248 + 16 - 31 - 1}{248} = \frac{232}{248} = \frac{29}{31} $
(2) $ 2 × \frac{1}{2} × \frac{2}{3} × \frac{3}{4} × \frac{4}{5} × ··· × \frac{2025}{2026} = 2 × (\frac{1}{2} × \frac{2}{3} × \frac{3}{4} × \frac{4}{5} × ··· × \frac{2025}{2026}) = 2 × \frac{1}{2026} = \frac{1}{1013} $
(3) 设 $ \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \frac{1}{31} + \frac{1}{62} + \frac{1}{124} + \frac{1}{248} = A $
$ 2A = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{2}{31} + \frac{1}{31} + \frac{1}{62} + \frac{1}{124} $
$ A = 2A - A = (1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{2}{31} + \frac{1}{31} + \frac{1}{62} + \frac{1}{124}) - (\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \frac{1}{31} + \frac{1}{62} + \frac{1}{124} + \frac{1}{248}) $
$ = 1 + \frac{2}{31} - \frac{1}{8} - \frac{1}{248} = \frac{248 + 16 - 31 - 1}{248} = \frac{232}{248} = \frac{29}{31} $
2. 在算式 $ \frac{7}{8}×\frac{a}{10} $ 中，当 $ a $ (
＜ 10
) 时， $ \frac{7}{8}×\frac{a}{10}＜\frac{7}{8} $；当 $ a $ (＞ 10
) 时， $ \frac{7}{8}×\frac{a}{10}＞\frac{7}{8} $；当 $ a $ (= 10
) 时， $ \frac{7}{8}×\frac{a}{10}=\frac{7}{8} $。答案
2. $ ＜ 10 $ $ ＞ 10 $ $ = 10 $
3. $ a $，$ b $ 是不为 0 的自然数， $ a×\frac{b}{7}＜a $， $ a×\frac{b}{5}＞a $，求 $ b $ 的值。
答案
3. $ \frac{b}{7} ＜ 1 $ $ \frac{b}{5} ＞ 1 $ $ 5 ＜ b ＜ 7 $ $ b = 6 $
4. 一瓶牛奶，每次喝掉瓶中牛奶的一半，喝了三次后还剩下 $ \frac{3}{20} $ 升，原来这瓶牛奶有多少升？
答案
4. $ \frac{3}{20} × 2 = \frac{3}{10} $（升） $ \frac{3}{10} × 2 = \frac{3}{5} $（升） $ \frac{3}{5} × 2 = \frac{6}{5} $（升）
答：原来这瓶牛奶有 $ \frac{6}{5} $ 升。
答：原来这瓶牛奶有 $ \frac{6}{5} $ 升。
5. 同学们用一卷彩带装饰会场。第一次用去彩带的一半，第二次又用去剩下的一半，第三次用去剩下的 $ \frac{2}{3} $ 后还剩 $ \frac{3}{2} $ 米。这卷彩带原来长多少米？
答案
5. $ \frac{3}{2} × 3 = \frac{9}{2} $（米） $ \frac{9}{2} × 2 = 9 $（米） $ 9 × 2 = 18 $（米）
答：这卷彩带原来长 18 米。
提示：用逆推法，从最后的结果出发，逐步逆推。
根据题意，第三次用去剩下的 $ \frac{2}{3} $ 后，还剩 $ \frac{1}{3} $，这部分长 $ \frac{3}{2} $ 米，可得出第三次用之前是 $ \frac{3}{2} × 3 = \frac{9}{2} $（米），再根据“第二次又用去剩下的一半”，得出第二次用之前是 $ \frac{9}{2} × 2 = 9 $（米），又因为“第一次用去彩带的一半”，得出原来的长度是 $ 9 × 2 = 18 $（米）。
答：这卷彩带原来长 18 米。
提示：用逆推法，从最后的结果出发，逐步逆推。
根据题意，第三次用去剩下的 $ \frac{2}{3} $ 后，还剩 $ \frac{1}{3} $，这部分长 $ \frac{3}{2} $ 米，可得出第三次用之前是 $ \frac{3}{2} × 3 = \frac{9}{2} $（米），再根据“第二次又用去剩下的一半”，得出第二次用之前是 $ \frac{9}{2} × 2 = 9 $（米），又因为“第一次用去彩带的一半”，得出原来的长度是 $ 9 × 2 = 18 $（米）。
6. 李叔叔用一根木料做椅子，第一次用去它的一半少 $ \frac{4}{5} $ 米，第二次用去剩下的一半多 $ \frac{6}{5} $ 米，最后还剩下 $ \frac{27}{10} $ 米。原来这根木料长多少米？
答案
6. $ \frac{27}{10} + \frac{6}{5} = \frac{39}{10} $（米） $ \frac{39}{10} × 2 = \frac{39}{5} $（米）
$ \frac{39}{5} - \frac{4}{5} = 7 $（米） $ 7 × 2 = 14 $（米）
答：原来这根木料长 14 米。
提示：第二次用去剩下的一半多 $ \frac{6}{5} $ 米后剩 $ \frac{27}{10} $ 米，说明 $ \frac{27}{10} $ 米加上 $ \frac{6}{5} $ 米是第一次用后剩余长度的一半，因此第一次用后剩余长度为 $ \frac{27}{10} + \frac{6}{5} = \frac{39}{10} $（米）， $ \frac{39}{10} × 2 = \frac{39}{5} $（米）。再从第一次用后的剩余长度倒推：第一次用去原长的一半少 $ \frac{4}{5} $ 米，即剩余长度是原长的一半多 $ \frac{4}{5} $ 米，因此原长的一半为 $ \frac{39}{5} - \frac{4}{5} = 7 $（米），这根木料原长为 $ 7 × 2 = 14 $（米）。
$ \frac{39}{5} - \frac{4}{5} = 7 $（米） $ 7 × 2 = 14 $（米）
答：原来这根木料长 14 米。
提示：第二次用去剩下的一半多 $ \frac{6}{5} $ 米后剩 $ \frac{27}{10} $ 米，说明 $ \frac{27}{10} $ 米加上 $ \frac{6}{5} $ 米是第一次用后剩余长度的一半，因此第一次用后剩余长度为 $ \frac{27}{10} + \frac{6}{5} = \frac{39}{10} $（米）， $ \frac{39}{10} × 2 = \frac{39}{5} $（米）。再从第一次用后的剩余长度倒推：第一次用去原长的一半少 $ \frac{4}{5} $ 米，即剩余长度是原长的一半多 $ \frac{4}{5} $ 米，因此原长的一半为 $ \frac{39}{5} - \frac{4}{5} = 7 $（米），这根木料原长为 $ 7 × 2 = 14 $（米）。
