登录
14. 如图,由8个大小相同的小长方形无缝拼接成一个大长方形.已知大长方形的周长为 40 cm,则一个小长方形的周长为
16
cm.答案
14.16
解析
【分析】
我们可以先设小长方形的长为x cm，宽为y cm，首先观察图形找到小长方形长和宽的等量关系：图中3个小长方形的宽之和刚好等于1个小长方形的长，可得x=3y；再结合大长方形周长为40cm的条件，写出大长方形长、宽关于x、y的表达式，代入长方形周长公式联立方程求解x和y，最后计算小长方形的周长即可。
【解析】
设小长方形的长为x cm，宽为y cm。
1. 从图形中找等量关系：中间3个小长方形的宽之和等于小长方形的长，因此可得：
$x = 3y$
2. 表示大长方形的长和宽：大长方形的长为$2x$，大长方形的宽为$x+y$。
3. 根据大长方形周长公式列方程：
长方形周长公式为$2×(长+宽)=周长$，代入已知条件得：
$2(2x + x + y) = 40$
化简得：$3x + y = 20$
4. 联立方程求解：
将$x=3y$代入$3x + y =20$，得：
$3×3y + y = 20$
$10y = 20$，解得$y=2$
则$x=3y=3×2=6$
5. 计算小长方形的周长：
小长方形周长$=2(x+y)=2×(6+2)=16\,\mathrm{cm}$
【答案】
16
【知识点】
二元一次方程组的应用，长方形周长计算
【点评】
本题的解题核心是挖掘图形中隐藏的小长方形长、宽的数量关系，结合周长公式列方程求解，既考察图形观察能力，也考察方程思想的实际应用。
【难度系数】
0.65
我们可以先设小长方形的长为x cm，宽为y cm，首先观察图形找到小长方形长和宽的等量关系：图中3个小长方形的宽之和刚好等于1个小长方形的长，可得x=3y；再结合大长方形周长为40cm的条件，写出大长方形长、宽关于x、y的表达式，代入长方形周长公式联立方程求解x和y，最后计算小长方形的周长即可。
【解析】
设小长方形的长为x cm，宽为y cm。
1. 从图形中找等量关系：中间3个小长方形的宽之和等于小长方形的长，因此可得：
$x = 3y$
2. 表示大长方形的长和宽：大长方形的长为$2x$，大长方形的宽为$x+y$。
3. 根据大长方形周长公式列方程：
长方形周长公式为$2×(长+宽)=周长$，代入已知条件得：
$2(2x + x + y) = 40$
化简得：$3x + y = 20$
4. 联立方程求解：
将$x=3y$代入$3x + y =20$，得：
$3×3y + y = 20$
$10y = 20$，解得$y=2$
则$x=3y=3×2=6$
5. 计算小长方形的周长：
小长方形周长$=2(x+y)=2×(6+2)=16\,\mathrm{cm}$
【答案】
16
【知识点】
二元一次方程组的应用，长方形周长计算
【点评】
本题的解题核心是挖掘图形中隐藏的小长方形长、宽的数量关系，结合周长公式列方程求解，既考察图形观察能力，也考察方程思想的实际应用。
【难度系数】
0.65
15. 如图，在$△ ABC$中，$∠ ACB=90°$，$AC=5$，$BC=12$，$AB=13$. 点$P$是线段$AB$上的一个动点，则$CP$的最小值为________.
答案
15.$\dfrac{60}{13}$
解析
【分析】
要找到线段CP的最小值，首先根据“直线外一点到直线上所有点的连线中，垂线段最短”的性质，可知当CP垂直于AB时，CP的长度最小。此时CP是△ABC中AB边上的高，我们可以利用三角形面积的两种不同计算方法，建立等式求出CP的长度。
【解析】
根据垂线段最短的性质，当$CP⊥ AB$时，$CP$的长度最小。
已知$∠ ACB=90°$，先计算$△ ABC$的面积：
$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}× AC× BC=\frac{1}{2}×5×12=30$
同时，$△ ABC$的面积也可以表示为以AB为底、CP为高的形式：
$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}× AB× CP$
将$AB=13$，$S_{△ ABC}=30$代入上式得：
$\frac{1}{2}×13× CP=30$
解得：$CP=\frac{60}{13}$
【答案】
$\dfrac{60}{13}$
【知识点】
垂线段最短、三角形面积计算
【点评】
本题解题的核心是先依据垂线段的性质确定CP取最小值的位置，再灵活运用等面积法求出高的长度，属于基础类几何应用题，掌握面积法求高是解决这类题的关键。
【难度系数】
0.7
要找到线段CP的最小值，首先根据“直线外一点到直线上所有点的连线中，垂线段最短”的性质，可知当CP垂直于AB时，CP的长度最小。此时CP是△ABC中AB边上的高，我们可以利用三角形面积的两种不同计算方法，建立等式求出CP的长度。
【解析】
根据垂线段最短的性质，当$CP⊥ AB$时，$CP$的长度最小。
已知$∠ ACB=90°$，先计算$△ ABC$的面积：
$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}× AC× BC=\frac{1}{2}×5×12=30$
同时，$△ ABC$的面积也可以表示为以AB为底、CP为高的形式：
$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}× AB× CP$
将$AB=13$，$S_{△ ABC}=30$代入上式得：
$\frac{1}{2}×13× CP=30$
解得：$CP=\frac{60}{13}$
【答案】
$\dfrac{60}{13}$
【知识点】
垂线段最短、三角形面积计算
【点评】
本题解题的核心是先依据垂线段的性质确定CP取最小值的位置，再灵活运用等面积法求出高的长度，属于基础类几何应用题，掌握面积法求高是解决这类题的关键。
【难度系数】
0.7
16. 计算并观察下列算式的结果：$\sqrt{1^3}$，$\sqrt{1^3+2^3}$，$\sqrt{1^3+2^3+3^3}$，$\sqrt{1^3+2^3+3^3+4^3}$，…，则$\sqrt{1^3+2^3+3^3+\dots+100^3}=$
5050
。答案
16.5050
解析
【分析】
我们可以采用从特殊到一般的思路解题：第一步先计算题目给出的前几个简单算式的结果，第二步观察结果与算式中加数的对应关系，总结出通用规律，第三步将n=100代入规律，结合求和公式计算出最终结果。
【解析】
先依次计算前4个算式的结果：
1. $\sqrt{1^3}=\sqrt{1}=1$；
2. $\sqrt{1^3+2^3}=\sqrt{1+8}=\sqrt{9}=3=1+2$；
3. $\sqrt{1^3+2^3+3^3}=\sqrt{1+8+27}=\sqrt{36}=6=1+2+3$；
4. $\sqrt{1^3+2^3+3^3+4^3}=\sqrt{1+8+27+64}=\sqrt{100}=10=1+2+3+4$。
观察可总结规律：$\sqrt{1^3+2^3+3^3+\dots+n^3}=1+2+3+\dots+n$。
当n=100时，代入得：
$1+2+3+\dots+100=\frac{(1+100)×100}{2}=5050$。
【答案】
5050
【知识点】
算术平方根；规律探究；有理数求和
【点评】
本题考查规律探究类问题的求解能力，核心是通过计算前几个特殊项归纳出通用规律，再代入数值计算，掌握从特殊到一般的探究方法是解题的关键。
【难度系数】
0.7
我们可以采用从特殊到一般的思路解题：第一步先计算题目给出的前几个简单算式的结果，第二步观察结果与算式中加数的对应关系，总结出通用规律，第三步将n=100代入规律，结合求和公式计算出最终结果。
【解析】
先依次计算前4个算式的结果：
1. $\sqrt{1^3}=\sqrt{1}=1$；
2. $\sqrt{1^3+2^3}=\sqrt{1+8}=\sqrt{9}=3=1+2$；
3. $\sqrt{1^3+2^3+3^3}=\sqrt{1+8+27}=\sqrt{36}=6=1+2+3$；
4. $\sqrt{1^3+2^3+3^3+4^3}=\sqrt{1+8+27+64}=\sqrt{100}=10=1+2+3+4$。
观察可总结规律：$\sqrt{1^3+2^3+3^3+\dots+n^3}=1+2+3+\dots+n$。
当n=100时，代入得：
$1+2+3+\dots+100=\frac{(1+100)×100}{2}=5050$。
【答案】
5050
【知识点】
算术平方根；规律探究；有理数求和
【点评】
本题考查规律探究类问题的求解能力，核心是通过计算前几个特殊项归纳出通用规律，再代入数值计算，掌握从特殊到一般的探究方法是解题的关键。
【难度系数】
0.7
三、解答题
17. 计算或解方程：
(1)$(\sqrt{4})^2 + \sqrt[3]{-64} + |2 - \sqrt{6}|$；
(2)$9(x - 1)^2 = 4$。
17. 计算或解方程：
(1)$(\sqrt{4})^2 + \sqrt[3]{-64} + |2 - \sqrt{6}|$；
(2)$9(x - 1)^2 = 4$。
答案
17.解:(1)原式$=4+(-4)+\sqrt{6}-2=\sqrt{6}-2$；
(2)$(x-1)^2=\dfrac{4}{9},x-1=\pm\dfrac{2}{3},x=\dfrac{5}{3}$或$\dfrac{1}{3}$.
(2)$(x-1)^2=\dfrac{4}{9},x-1=\pm\dfrac{2}{3},x=\dfrac{5}{3}$或$\dfrac{1}{3}$.
解析
【分析】
(1) 本题为实数混合运算，按顺序计算每一项即可：①根据平方根性质$(\sqrt{a})^2=a(a≥0)$计算$(\sqrt{4})^2$；②根据立方根性质计算$\sqrt[3]{-64}$；③先判断$2-\sqrt{6}$的正负，再根据负数的绝对值等于它的相反数化简绝对值，最后合并各项结果。
(2) 本题是含平方的方程，用直接开平方法求解：先将方程两边除以9，把$(x-1)^2$的系数化为1，再根据正数有两个互为相反数的平方根，得到$x-1$的两个取值，分别计算即可得到$x$的解。
【解析】
(1) 分别计算各项：
$(\sqrt{4})^2=4$，$\sqrt[3]{-64}=-4$；
因为$\sqrt{6}＞\sqrt{4}=2$，所以$2-\sqrt{6}＜0$，因此$|2-\sqrt{6}|=\sqrt{6}-2$；
代入原式计算：
原式$=4+(-4)+\sqrt{6}-2=\sqrt{6}-2$。
(2) 解方程$9(x-1)^2=4$：
两边同时除以9得：$(x-1)^2=\dfrac{4}{9}$；
两边开平方得：$x-1=\pm\dfrac{2}{3}$；
分别求解：
当$x-1=\dfrac{2}{3}$时，$x=1+\dfrac{2}{3}=\dfrac{5}{3}$；
当$x-1=-\dfrac{2}{3}$时，$x=1-\dfrac{2}{3}=\dfrac{1}{3}$。
【答案】
(1) $\sqrt{6}-2$；(2) $x=\dfrac{5}{3}$或$x=\dfrac{1}{3}$
【知识点】
实数的运算、绝对值的化简、直接开平方法解方程
【点评】
本题属于基础运算类题目，主要考察实数相关运算性质和简单方程求解方法的掌握，熟练掌握平方根、立方根、绝对值的性质以及开平方解方程的步骤即可快速准确作答。
【难度系数】
0.8
(1) 本题为实数混合运算，按顺序计算每一项即可：①根据平方根性质$(\sqrt{a})^2=a(a≥0)$计算$(\sqrt{4})^2$；②根据立方根性质计算$\sqrt[3]{-64}$；③先判断$2-\sqrt{6}$的正负，再根据负数的绝对值等于它的相反数化简绝对值，最后合并各项结果。
(2) 本题是含平方的方程，用直接开平方法求解：先将方程两边除以9，把$(x-1)^2$的系数化为1，再根据正数有两个互为相反数的平方根，得到$x-1$的两个取值，分别计算即可得到$x$的解。
【解析】
(1) 分别计算各项：
$(\sqrt{4})^2=4$，$\sqrt[3]{-64}=-4$；
因为$\sqrt{6}＞\sqrt{4}=2$，所以$2-\sqrt{6}＜0$，因此$|2-\sqrt{6}|=\sqrt{6}-2$；
代入原式计算：
原式$=4+(-4)+\sqrt{6}-2=\sqrt{6}-2$。
(2) 解方程$9(x-1)^2=4$：
两边同时除以9得：$(x-1)^2=\dfrac{4}{9}$；
两边开平方得：$x-1=\pm\dfrac{2}{3}$；
分别求解：
当$x-1=\dfrac{2}{3}$时，$x=1+\dfrac{2}{3}=\dfrac{5}{3}$；
当$x-1=-\dfrac{2}{3}$时，$x=1-\dfrac{2}{3}=\dfrac{1}{3}$。
【答案】
(1) $\sqrt{6}-2$；(2) $x=\dfrac{5}{3}$或$x=\dfrac{1}{3}$
【知识点】
实数的运算、绝对值的化简、直接开平方法解方程
【点评】
本题属于基础运算类题目，主要考察实数相关运算性质和简单方程求解方法的掌握，熟练掌握平方根、立方根、绝对值的性质以及开平方解方程的步骤即可快速准确作答。
【难度系数】
0.8
18.如图，三条直线$l_1,l_2,l_3$相交于一点，$∠ 1=30°35'$，$∠ 2=42°30'$，求$∠ 3$的度数.
答案
18.解:$∠3=180°-∠1-∠2=180°-30°35'-42°30'=106°55'$.
解析
【分析】
观察图形可知三条直线相交于一点，根据对顶角相等的性质，∠1、∠2分别和它们的对顶角大小相等，而∠3与∠1、∠2的对顶角恰好组成一个平角，平角度数为180°，因此可得∠1+∠2+∠3=180°，接下来代入已知角度，按照度分秒60进制的规则计算，就能求出∠3的度数。
【解析】
解：
∵三条直线相交于同一点，平角为180°，且对顶角相等
∴∠1 + ∠2 + ∠3 = 180°
将∠1=30°35'，∠2=42°30'代入得：
∠3 = 180° - 30°35' - 42°30'
= 179°60' - 30°35' - 42°30'
= 149°25' - 42°30'
= 148°85' - 42°30'
= 106°55'
【答案】
106°55'
【知识点】
对顶角相等，平角的定义，度分秒运算
【点评】
本题属于基础的相交线角度计算类题目，解题关键是利用平角性质和对顶角相等推导三个角的和为180°，计算时注意度分秒的进率为60，不够减时向上一级借1当60即可正确求解。
【难度系数】
0.85
观察图形可知三条直线相交于一点，根据对顶角相等的性质，∠1、∠2分别和它们的对顶角大小相等，而∠3与∠1、∠2的对顶角恰好组成一个平角，平角度数为180°，因此可得∠1+∠2+∠3=180°，接下来代入已知角度，按照度分秒60进制的规则计算，就能求出∠3的度数。
【解析】
解：
∵三条直线相交于同一点，平角为180°，且对顶角相等
∴∠1 + ∠2 + ∠3 = 180°
将∠1=30°35'，∠2=42°30'代入得：
∠3 = 180° - 30°35' - 42°30'
= 179°60' - 30°35' - 42°30'
= 149°25' - 42°30'
= 148°85' - 42°30'
= 106°55'
【答案】
106°55'
【知识点】
对顶角相等，平角的定义，度分秒运算
【点评】
本题属于基础的相交线角度计算类题目，解题关键是利用平角性质和对顶角相等推导三个角的和为180°，计算时注意度分秒的进率为60，不够减时向上一级借1当60即可正确求解。
【难度系数】
0.85
19.某工厂计划生产A,B两种产品共10件,其生产成本和利润如下表：
(1)若工厂计划获利14万元,则A,B两种产品应分别生产多少件？
(2)若工厂投入资金不多于44万元,且要求获利多于14万元,则工厂有哪几种生产方案？
(3)在(2)的条件下,哪种方案获利最大？并求最大利润。
(1)若工厂计划获利14万元,则A,B两种产品应分别生产多少件？
(2)若工厂投入资金不多于44万元,且要求获利多于14万元,则工厂有哪几种生产方案？
(3)在(2)的条件下,哪种方案获利最大？并求最大利润。
答案
19.解:(1)设A、B两种产品分别生产x件,(10−x)件.则有$x+2(10−x)=14,x=6$.
故生产A 6件,B 4件；
(2)设生产A种产品m件,则生产B种产品(10−m)件.依题意得$\begin{cases}3m+5(10−m)≤44, \\ m+2(10−m)＞14,\end{cases}$
解得$3≤ m＜6$,$\therefore m=3,4,5$.
有3种生产方案.
方案一:生产A 3件,B 7件；
方案二:生产A 4件,B 6件；
方案三:生产A 5件,B 5件.
(3)设利润为w元,则
$w=m+2(10−m)=20−m$,
随着m的增大,w减小,
$\therefore m=3$时,$w=20−3=17$,最大.
即方案一获利最大,最大利润为17万元.
故生产A 6件,B 4件；
(2)设生产A种产品m件,则生产B种产品(10−m)件.依题意得$\begin{cases}3m+5(10−m)≤44, \\ m+2(10−m)＞14,\end{cases}$
解得$3≤ m＜6$,$\therefore m=3,4,5$.
有3种生产方案.
方案一:生产A 3件,B 7件；
方案二:生产A 4件,B 6件；
方案三:生产A 5件,B 5件.
(3)设利润为w元,则
$w=m+2(10−m)=20−m$,
随着m的增大,w减小,
$\therefore m=3$时,$w=20−3=17$,最大.
即方案一获利最大,最大利润为17万元.
解析
【分析】
(1) 第一问已知总获利求生产数量，可先设A种产品生产x件，那么B种产品数量为总件数10减x，根据“总利润=A产品总利润+B产品总利润”的等量关系列一元一次方程，求解即可得到两种产品的生产数量。
(2) 第二问有两个限制条件：投入资金不多于44万元、获利多于14万元，设A种产品生产m件，B种产品为(10-m)件，分别根据两个限制条件列不等式，组成一元一次不等式组，解出m的取值范围后，结合m是正整数，即可得到所有可行的生产方案。
(3) 第三问求最大利润，先写出总利润关于m的表达式，观察表达式的变化规律可知m越小总利润越大，在第二问得到的m的取值中选最小的m代入计算，就能得到最大利润和对应方案。
【解析】
(1) 设生产A种产品x件，则生产B种产品$(10-x)$件，根据总获利14万元列方程：
$\begin{aligned}x+2(10-x)&=14\\x+20-2x&=14\\-x&=-6\\x&=6\end{aligned}$
则B种产品的生产数量为$10-6=4$（件）。
(2) 设生产A种产品m件，则生产B种产品$(10-m)$件，依题意列不等式组：
$\begin{cases}3m+5(10-m)≤44 \quad \mathrm{（总成本不超过44万元）}\\m+2(10-m)＞14 \quad \mathrm{（总获利多于14万元）}\end{cases}$
解第一个不等式：
$\begin{aligned}3m+50-5m&≤44\\-2m&≤-6\\m&≥3\end{aligned}$
解第二个不等式：
$\begin{aligned}m+20-2m&＞14\\-m&＞-6\\m&＜6\end{aligned}$
因此不等式组的解集为$3≤ m＜6$，m为正整数，故m可取3、4、5，对应3种生产方案：
方案一：生产A种产品3件，B种产品$10-3=7$件；
方案二：生产A种产品4件，B种产品$10-4=6$件；
方案三：生产A种产品5件，B种产品$10-5=5$件。
(3) 设总利润为w万元，可得利润表达式：
$w=m+2(10-m)=20-m$
观察可知m越小，w的值越大，结合(2)中m的取值范围，当$m=3$时w取得最大值：
$w_{\mathrm{最大}}=20-3=17$（万元）
对应方案为生产A种产品3件，B种产品7件。
【答案】
(1) 生产A种产品6件，B种产品4件；
(2) 共有3种生产方案：方案一：A3件，B7件；方案二：A4件，B6件；方案三：A5件，B5件；
(3) 生产A3件、B7件的方案获利最大，最大利润为17万元。
【知识点】
一元一次方程应用，一元一次不等式组应用，方案优化问题
【点评】
本题结合生产实际场景，综合考查了一元一次方程、一元一次不等式组的应用，解题时需要准确提取题干中的等量关系和不等关系，结合整数的性质确定可行方案，再根据利润表达式的变化规律找到最优解，能有效锻炼学生的信息提取能力和逻辑分析能力。
【难度系数】
0.7
(1) 第一问已知总获利求生产数量，可先设A种产品生产x件，那么B种产品数量为总件数10减x，根据“总利润=A产品总利润+B产品总利润”的等量关系列一元一次方程，求解即可得到两种产品的生产数量。
(2) 第二问有两个限制条件：投入资金不多于44万元、获利多于14万元，设A种产品生产m件，B种产品为(10-m)件，分别根据两个限制条件列不等式，组成一元一次不等式组，解出m的取值范围后，结合m是正整数，即可得到所有可行的生产方案。
(3) 第三问求最大利润，先写出总利润关于m的表达式，观察表达式的变化规律可知m越小总利润越大，在第二问得到的m的取值中选最小的m代入计算，就能得到最大利润和对应方案。
【解析】
(1) 设生产A种产品x件，则生产B种产品$(10-x)$件，根据总获利14万元列方程：
$\begin{aligned}x+2(10-x)&=14\\x+20-2x&=14\\-x&=-6\\x&=6\end{aligned}$
则B种产品的生产数量为$10-6=4$（件）。
(2) 设生产A种产品m件，则生产B种产品$(10-m)$件，依题意列不等式组：
$\begin{cases}3m+5(10-m)≤44 \quad \mathrm{（总成本不超过44万元）}\\m+2(10-m)＞14 \quad \mathrm{（总获利多于14万元）}\end{cases}$
解第一个不等式：
$\begin{aligned}3m+50-5m&≤44\\-2m&≤-6\\m&≥3\end{aligned}$
解第二个不等式：
$\begin{aligned}m+20-2m&＞14\\-m&＞-6\\m&＜6\end{aligned}$
因此不等式组的解集为$3≤ m＜6$，m为正整数，故m可取3、4、5，对应3种生产方案：
方案一：生产A种产品3件，B种产品$10-3=7$件；
方案二：生产A种产品4件，B种产品$10-4=6$件；
方案三：生产A种产品5件，B种产品$10-5=5$件。
(3) 设总利润为w万元，可得利润表达式：
$w=m+2(10-m)=20-m$
观察可知m越小，w的值越大，结合(2)中m的取值范围，当$m=3$时w取得最大值：
$w_{\mathrm{最大}}=20-3=17$（万元）
对应方案为生产A种产品3件，B种产品7件。
【答案】
(1) 生产A种产品6件，B种产品4件；
(2) 共有3种生产方案：方案一：A3件，B7件；方案二：A4件，B6件；方案三：A5件，B5件；
(3) 生产A3件、B7件的方案获利最大，最大利润为17万元。
【知识点】
一元一次方程应用，一元一次不等式组应用，方案优化问题
【点评】
本题结合生产实际场景，综合考查了一元一次方程、一元一次不等式组的应用，解题时需要准确提取题干中的等量关系和不等关系，结合整数的性质确定可行方案，再根据利润表达式的变化规律找到最优解，能有效锻炼学生的信息提取能力和逻辑分析能力。
【难度系数】
0.7
