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1. 已知一个正方体的棱长为$ a $，体积为$ b $，则下列说法正确的是（
A.$ b $的立方根为$ \pm a $
B.$ a $是$ b $的立方根
C.$ a = \sqrt{b} $
D.$ b = \sqrt{a} $
B
）A.$ b $的立方根为$ \pm a $
B.$ a $是$ b $的立方根
C.$ a = \sqrt{b} $
D.$ b = \sqrt{a} $
答案
1. B
解析
【分析】
首先根据正方体体积公式推导棱长a和体积b的数量关系，再结合立方根的定义逐一判断每个选项的正误，解题时要注意区分立方根和平方根的性质差异，避免二者概念混淆。
【解析】
第一步：根据正方体体积公式“体积=棱长³”，可得$ b = a^3 $，其中棱长a为正数，体积b也为正数。
第二步：结合立方根定义（若$x^3=y$，则x叫做y的立方根，且正数的立方根是唯一的正数）逐一分析选项：
A选项：正数的立方根只有1个正数，b的立方根仅为a，不存在$-a$，该选项错误。
B选项：由$a^3=b$符合立方根的定义，可知a是b的立方根，该选项正确。
C选项：$\sqrt{b}$是b的算术平方根，a是b的立方根，应为$a=\sqrt[3]{b}$，该选项错误。
D选项：由体积公式可知$b=a^3$，和$b=\sqrt{a}$不符，该选项错误。
【答案】
B
【知识点】
正方体体积计算；立方根的定义
【点评】
本题是基础概念题，解题核心是准确掌握立方根的性质，注意区分立方根与平方根的表示方法、性质差异，避免概念混淆即可快速解题。
【难度系数】
0.8
首先根据正方体体积公式推导棱长a和体积b的数量关系，再结合立方根的定义逐一判断每个选项的正误，解题时要注意区分立方根和平方根的性质差异，避免二者概念混淆。
【解析】
第一步：根据正方体体积公式“体积=棱长³”，可得$ b = a^3 $，其中棱长a为正数，体积b也为正数。
第二步：结合立方根定义（若$x^3=y$，则x叫做y的立方根，且正数的立方根是唯一的正数）逐一分析选项：
A选项：正数的立方根只有1个正数，b的立方根仅为a，不存在$-a$，该选项错误。
B选项：由$a^3=b$符合立方根的定义，可知a是b的立方根，该选项正确。
C选项：$\sqrt{b}$是b的算术平方根，a是b的立方根，应为$a=\sqrt[3]{b}$，该选项错误。
D选项：由体积公式可知$b=a^3$，和$b=\sqrt{a}$不符，该选项错误。
【答案】
B
【知识点】
正方体体积计算；立方根的定义
【点评】
本题是基础概念题，解题核心是准确掌握立方根的性质，注意区分立方根与平方根的表示方法、性质差异，避免概念混淆即可快速解题。
【难度系数】
0.8
2. 若$\sqrt{a-1}+(b-2)^2=0$，则$ab$的值等于 （
A.$-2$
B.$0$
C.$1$
D.$2$
D
）A.$-2$
B.$0$
C.$1$
D.$2$
答案
2. D
解析
【分析】
本题需要利用非负数的性质求解。我们知道算术平方根和平方数都具有非负性，即它们的取值都大于等于0。当两个非负数的和为0时，只有这两个非负数同时为0才能成立，因此我们可以据此分别列出关于a、b的等式，求出a、b的值后再计算ab的结果即可。
【解析】
解：
∵ 算术平方根$\sqrt{a-1} ≥ 0$，平方数$(b-2)^2 ≥ 0$，且二者的和为0，
∴ 只有当$\sqrt{a-1}=0$且$(b-2)^2=0$时等式成立，
即：$a-1=0$，$b-2=0$，
解得：$a=1$，$b=2$，
∴ $ab=1×2=2$。
故选：D。
【答案】
D
【知识点】
非负数的性质；算术平方根的非负性；偶次方的非负性
【点评】
本题属于基础常考题，重点考查对非负数性质的应用，熟练掌握算术平方根、偶次方等常见非负数的非负性是解题的关键。
【难度系数】
0.8
本题需要利用非负数的性质求解。我们知道算术平方根和平方数都具有非负性，即它们的取值都大于等于0。当两个非负数的和为0时，只有这两个非负数同时为0才能成立，因此我们可以据此分别列出关于a、b的等式，求出a、b的值后再计算ab的结果即可。
【解析】
解：
∵ 算术平方根$\sqrt{a-1} ≥ 0$，平方数$(b-2)^2 ≥ 0$，且二者的和为0，
∴ 只有当$\sqrt{a-1}=0$且$(b-2)^2=0$时等式成立，
即：$a-1=0$，$b-2=0$，
解得：$a=1$，$b=2$，
∴ $ab=1×2=2$。
故选：D。
【答案】
D
【知识点】
非负数的性质；算术平方根的非负性；偶次方的非负性
【点评】
本题属于基础常考题，重点考查对非负数性质的应用，熟练掌握算术平方根、偶次方等常见非负数的非负性是解题的关键。
【难度系数】
0.8
3. 如图，四个实数m，n，p，q在数轴上对应的点分别为M，N，P，Q.若$n+q=0$，则在m，n，p，q四个实数中，绝对值最大的是 （
A.m
B.n
C.p
D.q
C
）A.m
B.n
C.p
D.q
答案
3. C
解析
【分析】
解题时首先从已知条件$n+q=0$入手，根据相反数的性质可知n和q互为相反数，互为相反数的两个数在数轴上对应的点关于原点对称，由此可确定原点是线段NQ的中点。再结合绝对值的几何意义：数轴上一个数对应的点到原点的距离就是该数的绝对值，只需比较四个点到原点的距离，距离最远的点对应的数绝对值最大。
【解析】
解：$\because n+q=0$，
$\therefore n$和$q$互为相反数，即数轴上原点为线段$NQ$的中点。
根据绝对值的几何意义，数轴上点到原点的距离为该点对应数的绝对值，观察数轴可得，点$P$到原点的距离最远，因此$p$的绝对值最大。
【答案】
C
【知识点】
相反数的性质，绝对值的几何意义，数轴的应用
【点评】
本题是数轴与代数概念结合的基础题，解题核心是先利用相反数的性质确定原点位置，再借助绝对值的几何意义快速判断，充分体现了数形结合思想在解题中的作用。
【难度系数】
0.8
解题时首先从已知条件$n+q=0$入手，根据相反数的性质可知n和q互为相反数，互为相反数的两个数在数轴上对应的点关于原点对称，由此可确定原点是线段NQ的中点。再结合绝对值的几何意义：数轴上一个数对应的点到原点的距离就是该数的绝对值，只需比较四个点到原点的距离，距离最远的点对应的数绝对值最大。
【解析】
解：$\because n+q=0$，
$\therefore n$和$q$互为相反数，即数轴上原点为线段$NQ$的中点。
根据绝对值的几何意义，数轴上点到原点的距离为该点对应数的绝对值，观察数轴可得，点$P$到原点的距离最远，因此$p$的绝对值最大。
【答案】
C
【知识点】
相反数的性质，绝对值的几何意义，数轴的应用
【点评】
本题是数轴与代数概念结合的基础题，解题核心是先利用相反数的性质确定原点位置，再借助绝对值的几何意义快速判断，充分体现了数形结合思想在解题中的作用。
【难度系数】
0.8
4. 如图，半径为1个单位长度的圆从点A沿数轴向右滚动（无滑动）两周到达点B。若点A表示的数是－3，则点B表示的数是 （
A.$3 - 2π$
B.$-4π$
C.$3 - 4π$
D.$4π - 3$
D
）A.$3 - 2π$
B.$-4π$
C.$3 - 4π$
D.$4π - 3$
答案
4. D
解析
【分析】
解题时首先要明确：圆无滑动滚动一周前进的距离等于自身的周长。第一步先根据圆的半径计算出圆的周长，第二步计算滚动两周一共前进的总长度，第三步结合数轴上点向右平移的规律（向右平移对应的数增加），用点A表示的数加上滚动的总长度，就能得到点B表示的数。
【解析】
已知圆的半径$r=1$，根据圆的周长公式可得圆的周长：
$C=2π r=2π×1=2π$
圆向右滚动两周前进的总长度为：$2× C=2×2π=4π$
点A表示的数是-3，数轴上点向右移动时，对应的数等于原数加上移动的距离，因此点B表示的数为：
$-3 + 4π=4π-3$
故选D。
【答案】
D
【知识点】
圆的周长计算，数轴上的点的平移
【点评】
本题是几何知识与数轴知识的简单综合题，解题核心是理解圆滚动一周的路程等于周长，同时掌握数轴上点平移的数值变化规律：右加左减。
【难度系数】
0.7
解题时首先要明确：圆无滑动滚动一周前进的距离等于自身的周长。第一步先根据圆的半径计算出圆的周长，第二步计算滚动两周一共前进的总长度，第三步结合数轴上点向右平移的规律（向右平移对应的数增加），用点A表示的数加上滚动的总长度，就能得到点B表示的数。
【解析】
已知圆的半径$r=1$，根据圆的周长公式可得圆的周长：
$C=2π r=2π×1=2π$
圆向右滚动两周前进的总长度为：$2× C=2×2π=4π$
点A表示的数是-3，数轴上点向右移动时，对应的数等于原数加上移动的距离，因此点B表示的数为：
$-3 + 4π=4π-3$
故选D。
【答案】
D
【知识点】
圆的周长计算，数轴上的点的平移
【点评】
本题是几何知识与数轴知识的简单综合题，解题核心是理解圆滚动一周的路程等于周长，同时掌握数轴上点平移的数值变化规律：右加左减。
【难度系数】
0.7
5. 若$a＞1$，则$|a|$，$-a$，$\frac{1}{a}$的大小关系正确的是（
A.$|a|＞-a＞\frac{1}{a}$
B.$\frac{1}{a}＞-a＞|a|$
C.$|a|＞\frac{1}{a}＞-a$
D.$-a＞|a|＞\frac{1}{a}$
C
）A.$|a|＞-a＞\frac{1}{a}$
B.$\frac{1}{a}＞-a＞|a|$
C.$|a|＞\frac{1}{a}＞-a$
D.$-a＞|a|＞\frac{1}{a}$
答案
5. C
解析
【分析】
要解决这道题，我们可以用两种思路：第一种是利用有理数的相关性质，根据已知a＞1的范围，分别推导三个式子的取值区间后比较大小；第二种是选择题常用的赋值法，给a取一个符合条件的具体数值，代入计算三个式子的结果再比较，操作更简单直观。首先我们需要明确：正数的绝对值是它本身，正数的相反数是负数，大于1的正数的倒数是介于0和1之间的正数，且所有正数都大于负数，同号数可直接比较数值大小。
【解析】
方法一：性质推导
已知$a＞1$，
1. 正数的绝对值是它本身，因此$|a|=a＞1$；
2. 正数的相反数是负数，因此$-a＜0$；
3. 大于1的正数的倒数大于0且小于1，因此$0＜\frac{1}{a}＜1$。
结合以上结论可得大小关系：$|a|＞\frac{1}{a}＞-a$。
方法二：赋值法
取符合$a＞1$的具体数值，例如令$a=2$，
则$|a|=|2|=2$，$-a=-2$，$\frac{1}{a}=\frac{1}{2}=0.5$，
比较得$2＞0.5＞-2$，即$|a|＞\frac{1}{a}＞-a$。
因此选C选项。
【答案】
C
【知识点】
绝对值化简，有理数大小比较，倒数的性质
【点评】
本题考查有理数相关性质的应用，既可以通过性质推导得出结果，也可以使用赋值法快速求解，赋值法是解决这类带范围条件的选择题的常用技巧，能降低解题难度，提高正确率。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，我们可以用两种思路：第一种是利用有理数的相关性质，根据已知a＞1的范围，分别推导三个式子的取值区间后比较大小；第二种是选择题常用的赋值法，给a取一个符合条件的具体数值，代入计算三个式子的结果再比较，操作更简单直观。首先我们需要明确：正数的绝对值是它本身，正数的相反数是负数，大于1的正数的倒数是介于0和1之间的正数，且所有正数都大于负数，同号数可直接比较数值大小。
【解析】
方法一：性质推导
已知$a＞1$，
1. 正数的绝对值是它本身，因此$|a|=a＞1$；
2. 正数的相反数是负数，因此$-a＜0$；
3. 大于1的正数的倒数大于0且小于1，因此$0＜\frac{1}{a}＜1$。
结合以上结论可得大小关系：$|a|＞\frac{1}{a}＞-a$。
方法二：赋值法
取符合$a＞1$的具体数值，例如令$a=2$，
则$|a|=|2|=2$，$-a=-2$，$\frac{1}{a}=\frac{1}{2}=0.5$，
比较得$2＞0.5＞-2$，即$|a|＞\frac{1}{a}＞-a$。
因此选C选项。
【答案】
C
【知识点】
绝对值化简，有理数大小比较，倒数的性质
【点评】
本题考查有理数相关性质的应用，既可以通过性质推导得出结果，也可以使用赋值法快速求解，赋值法是解决这类带范围条件的选择题的常用技巧，能降低解题难度，提高正确率。
【难度系数】
0.8
6. 对于实数 $ p $，我们规定：用 $[\sqrt{p}]$ 表示不小于 $\sqrt{p}$ 的最小整数。例如：$[\sqrt{4}]=2$，$[\sqrt{3}]=2$。现在对72进行如下操作：72 第一次 $[\sqrt{72}]=9$ 第二次 $[\sqrt{9}]=3$ 第三次 $[\sqrt{3}]=2$。即对72进行3次操作后可得到2。按照上述操作，要得到2，需对512进行操作的次数是（
A.3
B.4
C.5
D.6
B
）A.3
B.4
C.5
D.6
答案
6. B
解析
【分析】
首先要准确理解题目给出的新定义：$[\sqrt{p}]$表示不小于$\sqrt{p}$的最小整数，也就是对$\sqrt{p}$向上取整。解题时只需按照操作规则，从512开始逐次计算每次操作的结果，直到结果为2，统计操作的总次数即可。计算时需要先估算出当前数的算术平方根处于哪两个相邻整数之间，再确定不小于它的最小整数。
【解析】
我们按照规定逐次对512进行操作：
1. 第一次操作：先估算$\sqrt{512}$的大小，因为$22^2=484$，$23^2=529$，所以$22＜\sqrt{512}＜23$，不小于$\sqrt{512}$的最小整数是23，即$[\sqrt{512}]=23$；
2. 第二次操作：估算$\sqrt{23}$的大小，因为$4^2=16$，$5^2=25$，所以$4＜\sqrt{23}＜5$，不小于$\sqrt{23}$的最小整数是5，即$[\sqrt{23}]=5$；
3. 第三次操作：估算$\sqrt{5}$的大小，因为$2^2=4$，$3^2=9$，所以$2＜\sqrt{5}＜3$，不小于$\sqrt{5}$的最小整数是3，即$[\sqrt{5}]=3$；
4. 第四次操作：估算$\sqrt{3}$的大小，因为$1^2=1$，$2^2=4$，所以$1＜\sqrt{3}＜2$，不小于$\sqrt{3}$的最小整数是2，即$[\sqrt{3}]=2$。
综上，对512进行4次操作后可得到2。
【答案】
B
【知识点】
新定义运算，无理数估算，算术平方根计算
【点评】
本题属于新定义类题型，核心是准确理解给定的运算规则，结合算术平方根的估算逐步计算即可，解题时注意不要混淆“不小于”的含义，避免估算错误。
【难度系数】
0.7
首先要准确理解题目给出的新定义：$[\sqrt{p}]$表示不小于$\sqrt{p}$的最小整数，也就是对$\sqrt{p}$向上取整。解题时只需按照操作规则，从512开始逐次计算每次操作的结果，直到结果为2，统计操作的总次数即可。计算时需要先估算出当前数的算术平方根处于哪两个相邻整数之间，再确定不小于它的最小整数。
【解析】
我们按照规定逐次对512进行操作：
1. 第一次操作：先估算$\sqrt{512}$的大小，因为$22^2=484$，$23^2=529$，所以$22＜\sqrt{512}＜23$，不小于$\sqrt{512}$的最小整数是23，即$[\sqrt{512}]=23$；
2. 第二次操作：估算$\sqrt{23}$的大小，因为$4^2=16$，$5^2=25$，所以$4＜\sqrt{23}＜5$，不小于$\sqrt{23}$的最小整数是5，即$[\sqrt{23}]=5$；
3. 第三次操作：估算$\sqrt{5}$的大小，因为$2^2=4$，$3^2=9$，所以$2＜\sqrt{5}＜3$，不小于$\sqrt{5}$的最小整数是3，即$[\sqrt{5}]=3$；
4. 第四次操作：估算$\sqrt{3}$的大小，因为$1^2=1$，$2^2=4$，所以$1＜\sqrt{3}＜2$，不小于$\sqrt{3}$的最小整数是2，即$[\sqrt{3}]=2$。
综上，对512进行4次操作后可得到2。
【答案】
B
【知识点】
新定义运算，无理数估算，算术平方根计算
【点评】
本题属于新定义类题型，核心是准确理解给定的运算规则，结合算术平方根的估算逐步计算即可，解题时注意不要混淆“不小于”的含义，避免估算错误。
【难度系数】
0.7
