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7. 有一列数按一定规律排列：$-\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{4}$，$-\frac{\sqrt{5}}{8}$，$\frac{\sqrt{7}}{16}$，$-\frac{3}{32}$，…，则第$n$个数是（
A.$(-1)^{n+1}\frac{\sqrt{2n+1}}{2n}$
B.$(-1)^{n+1}\frac{\sqrt{2n}}{2^{n+1}}$
C.$(-1)^n\frac{\sqrt{2n-1}}{2^n}$
D.$(-1)^n\frac{\sqrt{3n-2}}{n^2}$
C
）A.$(-1)^{n+1}\frac{\sqrt{2n+1}}{2n}$
B.$(-1)^{n+1}\frac{\sqrt{2n}}{2^{n+1}}$
C.$(-1)^n\frac{\sqrt{2n-1}}{2^n}$
D.$(-1)^n\frac{\sqrt{3n-2}}{n^2}$
答案
7. C
解析
【分析】
解决这类数列规律题，可将数列拆分为符号、分子、分母三部分分别探究规律：①先看符号：数列正负交替，第1项为负，第2项为正，可判断符号的表达式；②再看分子：把所有分子统一为带根号的形式，会发现根号内是连续的奇数，可推导第n项的分子；③最后看分母：分母都是2的幂次，对应第n项的分母是2的n次方。将三部分组合后对应选项即可得到答案。
【解析】
我们分别分析数列的符号、分子、分母的规律：
1. 符号规律：第1个数为负，第2个数为正，第3个数为负……，即n为奇数时符号为负，n为偶数时符号为正，因此符号部分为$\boldsymbol{(-1)^n}$；
2. 分子规律：将各数的分子统一写成带根号的形式：$\sqrt{1}$、$\sqrt{3}$、$\sqrt{5}$、$\sqrt{7}$、$\sqrt{9}$（$\sqrt{9}=3$，对应第5项的分子），根号内是从1开始的连续奇数，第n个奇数为$2n-1$，因此分子部分为$\boldsymbol{\sqrt{2n-1}}$；
3. 分母规律：分母依次为$2、4、8、16、32$，对应$2^1、2^2、2^3、2^4、2^5$，因此分母部分为$\boldsymbol{2^n}$。
将三部分组合可得第n个数为$(-1)^n\frac{\sqrt{2n-1}}{2^n}$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
数列找规律，乘方运算，根式化简
【点评】
本题是规律探究类的典型题目，解题核心是将复杂的数列拆分后逐个找规律，再组合验证结果，能有效提升观察能力和归纳推理能力。
【难度系数】
0.7
解决这类数列规律题，可将数列拆分为符号、分子、分母三部分分别探究规律：①先看符号：数列正负交替，第1项为负，第2项为正，可判断符号的表达式；②再看分子：把所有分子统一为带根号的形式，会发现根号内是连续的奇数，可推导第n项的分子；③最后看分母：分母都是2的幂次，对应第n项的分母是2的n次方。将三部分组合后对应选项即可得到答案。
【解析】
我们分别分析数列的符号、分子、分母的规律：
1. 符号规律：第1个数为负，第2个数为正，第3个数为负……，即n为奇数时符号为负，n为偶数时符号为正，因此符号部分为$\boldsymbol{(-1)^n}$；
2. 分子规律：将各数的分子统一写成带根号的形式：$\sqrt{1}$、$\sqrt{3}$、$\sqrt{5}$、$\sqrt{7}$、$\sqrt{9}$（$\sqrt{9}=3$，对应第5项的分子），根号内是从1开始的连续奇数，第n个奇数为$2n-1$，因此分子部分为$\boldsymbol{\sqrt{2n-1}}$；
3. 分母规律：分母依次为$2、4、8、16、32$，对应$2^1、2^2、2^3、2^4、2^5$，因此分母部分为$\boldsymbol{2^n}$。
将三部分组合可得第n个数为$(-1)^n\frac{\sqrt{2n-1}}{2^n}$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
数列找规律，乘方运算，根式化简
【点评】
本题是规律探究类的典型题目，解题核心是将复杂的数列拆分后逐个找规律，再组合验证结果，能有效提升观察能力和归纳推理能力。
【难度系数】
0.7
8. 若 $ m ＜ \sqrt{19} + 2 ＜ m + 1 $，且 $ m $ 为整数，则 $ m $ 的值为
6
。答案
8. 6
解析
【分析】
要确定整数m的值，首先需要估算出$\sqrt{19}$的取值范围，再通过不等式的运算得到$\sqrt{19}+2$的取值范围，最后结合题目给出的$m＜\sqrt{19}+2＜m+1$的关系，就能求出对应的整数m。
【解析】
首先找到与19相邻的两个完全平方数：
∵ $16＜19＜25$
∴ 对三个数同时开平方可得：$\sqrt{16}＜\sqrt{19}＜\sqrt{25}$，即$4＜\sqrt{19}＜5$
再给不等式的三边同时加2，不等号方向不变：
$4+2＜\sqrt{19}+2＜5+2$，即$6＜\sqrt{19}+2＜7$
又已知$m＜\sqrt{19}+2＜m+1$，且m为整数，对比可得$m=6$
【答案】
6
【知识点】
无理数的估算；不等式的基本性质
【点评】
本题核心考查无理数的估算，解题的关键是先找到被开方数相邻的两个完全平方数，确定无理部分的范围，再通过简单的不等式运算得到所求式子的范围，进而求出对应整数，属于基础题型。
【难度系数】
0.8
要确定整数m的值，首先需要估算出$\sqrt{19}$的取值范围，再通过不等式的运算得到$\sqrt{19}+2$的取值范围，最后结合题目给出的$m＜\sqrt{19}+2＜m+1$的关系，就能求出对应的整数m。
【解析】
首先找到与19相邻的两个完全平方数：
∵ $16＜19＜25$
∴ 对三个数同时开平方可得：$\sqrt{16}＜\sqrt{19}＜\sqrt{25}$，即$4＜\sqrt{19}＜5$
再给不等式的三边同时加2，不等号方向不变：
$4+2＜\sqrt{19}+2＜5+2$，即$6＜\sqrt{19}+2＜7$
又已知$m＜\sqrt{19}+2＜m+1$，且m为整数，对比可得$m=6$
【答案】
6
【知识点】
无理数的估算；不等式的基本性质
【点评】
本题核心考查无理数的估算，解题的关键是先找到被开方数相邻的两个完全平方数，确定无理部分的范围，再通过简单的不等式运算得到所求式子的范围，进而求出对应整数，属于基础题型。
【难度系数】
0.8
9. 如图，每个小正方形的边长为1，可通过“剪一剪”“拼一拼”，将10个小正方形拼成1个大正方形。若10个小正方形的面积之和等于大正方形的面积，则这个大正方形的边长是
$\sqrt{10}$
。答案
9. $\sqrt{10}$
解析
【分析】
解题时先抓住拼接前后图形总面积不变的特点，第一步先算出10个小正方形的总面积，也就是拼成的大正方形的面积；第二步结合正方形面积公式，已知正方形面积求正数边长，就是求该面积的算术平方根，按这个思路就能算出大正方形的边长。
【解析】
1. 计算单个小正方形的面积：
已知小正方形边长为1，根据正方形面积公式，单个小正方形面积=边长×边长=1×1=1。
2. 计算10个小正方形的总面积：
总面积=10×1=10，由题意可知拼接后大正方形的面积和10个小正方形总面积相等，即大正方形面积为10。
3. 求大正方形的边长：
设大正方形边长为$a$（$a＞0$），根据正方形面积公式可得$a^2=10$，因为边长为正数，所以$a$是10的算术平方根，即$a=\sqrt{10}$。
【答案】
$\sqrt{10}$
【知识点】
正方形面积计算，算术平方根，等积变换
【点评】
本题依托图形拼接的场景，考查基础的几何性质和代数概念，解题的核心是抓住拼接前后总面积不变的规律，结合算术平方根的定义即可求解，属于基础类题目。
【难度系数】
0.8
解题时先抓住拼接前后图形总面积不变的特点，第一步先算出10个小正方形的总面积，也就是拼成的大正方形的面积；第二步结合正方形面积公式，已知正方形面积求正数边长，就是求该面积的算术平方根，按这个思路就能算出大正方形的边长。
【解析】
1. 计算单个小正方形的面积：
已知小正方形边长为1，根据正方形面积公式，单个小正方形面积=边长×边长=1×1=1。
2. 计算10个小正方形的总面积：
总面积=10×1=10，由题意可知拼接后大正方形的面积和10个小正方形总面积相等，即大正方形面积为10。
3. 求大正方形的边长：
设大正方形边长为$a$（$a＞0$），根据正方形面积公式可得$a^2=10$，因为边长为正数，所以$a$是10的算术平方根，即$a=\sqrt{10}$。
【答案】
$\sqrt{10}$
【知识点】
正方形面积计算，算术平方根，等积变换
【点评】
本题依托图形拼接的场景，考查基础的几何性质和代数概念，解题的核心是抓住拼接前后总面积不变的规律，结合算术平方根的定义即可求解，属于基础类题目。
【难度系数】
0.8
10. 根据表中的信息判断，下列结论错误的是
①$\sqrt{228.01}=15.1$；②235的算术平方根比15.3小；③$\sqrt{231040}=1520$.
②③
.（填序号）①$\sqrt{228.01}=15.1$；②235的算术平方根比15.3小；③$\sqrt{231040}=1520$.
答案
10. ②③
解析
【分析】
解题时需结合表格给出的x与x²的对应关系，依据算术平方根的定义、算术平方根与被开方数的变化规律，逐个判断三个结论的正误即可。
【解析】
我们对三个结论逐一分析：
1. 判断结论①：由表格可知$15.1^2=228.01$，根据算术平方根的定义，可得$\sqrt{228.01}=15.1$，故①正确，不符合题意。
2. 判断结论②：由表格可得$15.3^2=234.09$，因为$235＞234.09$，且被开方数越大，对应的算术平方根也越大，所以$\sqrt{235}＞\sqrt{234.09}=15.3$，即235的算术平方根比15.3大，故②错误，符合题意。
3. 判断结论③：由表格得$15.2^2=231.04$，根据平方的运算性质，$(15.2×100)^2=15.2^2×100^2=231.04×10000=2310400$，即$\sqrt{2310400}=1520$，而题目中被开方数是231040，和2310400不相等，故$\sqrt{231040}≠1520$，③错误，符合题意。
综上，错误的结论是②③。
【答案】
②③
【知识点】
算术平方根的定义，算术平方根的变化规律
【点评】
本题核心考查算术平方根的相关性质，解题的关键是结合表格信息，正确运用算术平方根的定义和变化规律判断，注意运算时要准确对应被开方数和算术平方根的小数点移动位数。
【难度系数】
0.7
解题时需结合表格给出的x与x²的对应关系，依据算术平方根的定义、算术平方根与被开方数的变化规律，逐个判断三个结论的正误即可。
【解析】
我们对三个结论逐一分析：
1. 判断结论①：由表格可知$15.1^2=228.01$，根据算术平方根的定义，可得$\sqrt{228.01}=15.1$，故①正确，不符合题意。
2. 判断结论②：由表格可得$15.3^2=234.09$，因为$235＞234.09$，且被开方数越大，对应的算术平方根也越大，所以$\sqrt{235}＞\sqrt{234.09}=15.3$，即235的算术平方根比15.3大，故②错误，符合题意。
3. 判断结论③：由表格得$15.2^2=231.04$，根据平方的运算性质，$(15.2×100)^2=15.2^2×100^2=231.04×10000=2310400$，即$\sqrt{2310400}=1520$，而题目中被开方数是231040，和2310400不相等，故$\sqrt{231040}≠1520$，③错误，符合题意。
综上，错误的结论是②③。
【答案】
②③
【知识点】
算术平方根的定义，算术平方根的变化规律
【点评】
本题核心考查算术平方根的相关性质，解题的关键是结合表格信息，正确运用算术平方根的定义和变化规律判断，注意运算时要准确对应被开方数和算术平方根的小数点移动位数。
【难度系数】
0.7
三、解答题
11. 观察下面的表格，发现平方根和立方根的规律，并运用规律解决问题.
（1）表格中的$ m = $
（2）从表格中可以发现：在开算术平方根时，被开方数的小数点每向左（或向右）移动两位，它的算术平方根的小数点随即向左（或向右）移动一位. 请用文字表述立方根的变化规律：
（3）若$\sqrt{200} \approx a$，$\sqrt[3]{700} \approx b$，求$a + b$的值. （参考数据：$\sqrt{2} \approx 1.414\ 2$，$\sqrt{20} \approx 4.472\ 1$，$\sqrt[3]{7} \approx 1.912\ 9$，$\sqrt[3]{0.7} \approx 0.887\ 9$）
11. 观察下面的表格，发现平方根和立方根的规律，并运用规律解决问题.
（1）表格中的$ m = $
80
，$ n = $0.4
；（2）从表格中可以发现：在开算术平方根时，被开方数的小数点每向左（或向右）移动两位，它的算术平方根的小数点随即向左（或向右）移动一位. 请用文字表述立方根的变化规律：
在开立方时，被开方数的小数点每向左（或向右）移动三位，它的立方根的小数点随即向左（或向右）移动一位
；（3）若$\sqrt{200} \approx a$，$\sqrt[3]{700} \approx b$，求$a + b$的值. （参考数据：$\sqrt{2} \approx 1.414\ 2$，$\sqrt{20} \approx 4.472\ 1$，$\sqrt[3]{7} \approx 1.912\ 9$，$\sqrt[3]{0.7} \approx 0.887\ 9$）
答案
11. 解：(1) 80 0.4
(2) 在开立方时，被开方数的小数点每向左（或向右）移动三位，它的立方根的小数点随即向左（或向右）移动一位
(3) 依题意，$a = 14.142$，$b = 8.879$，所以$a + b = 14.142 + 8.879 = 23.021$.
(2) 在开立方时，被开方数的小数点每向左（或向右）移动三位，它的立方根的小数点随即向左（或向右）移动一位
(3) 依题意，$a = 14.142$，$b = 8.879$，所以$a + b = 14.142 + 8.879 = 23.021$.
解析
【分析】
本题考查算术平方根和立方根的小数点移动规律，解题思路如下：
（1）求m、n：先观察被开方数的小数点移动位数，结合已知的算术平方根变化规律、立方根的隐含规律求解。求m时，对比x=64和x=6400的小数点移动位数，按照算术平方根的移动规律即可得到结果；求n时，对比x=64和x=0.064的小数点移动位数，按照立方根的移动规律计算即可。
（2）总结立方根规律：对比算术平方根的规律，观察表格中立方根和对应被开方数的小数点移动关系，用规范文字表述即可。
（3）计算a+b：先将√200拆分为含√2的形式，将∛700拆分为含∛0.7的形式，再结合已知参考数据和小数点移动规律求出a、b的值，最后求和即可。
【解析】
（1）求m：观察表格，x=64时√x=8，x变为6400时，被开方数64的小数点向右移动2位，根据算术平方根的变化规律，算术平方根的小数点向右移动1位，因此$m=8×10=80$；
求n：x=64时∛x=4，x变为0.064时，被开方数64的小数点向左移动3位，根据立方根的变化规律，立方根的小数点向左移动1位，因此$n=4÷10=0.4$。
（2）观察表格中立方根的变化：被开方数每向左或向右移动3位，对应立方根的小数点同向移动1位，因此规律为：在开立方时，被开方数的小数点每向左（或向右）移动三位，它的立方根的小数点随即向左（或向右）移动一位。
（3）计算a的值：$\sqrt{200}=\sqrt{2×100}=\sqrt{2}×\sqrt{100}$，已知$\sqrt{2}≈1.4142$，$\sqrt{100}=10$，因此$a≈1.4142×10=14.142$；
计算b的值：$\sqrt[3]{700}=\sqrt[3]{0.7×1000}=\sqrt[3]{0.7}×\sqrt[3]{1000}$，已知$\sqrt[3]{0.7}≈0.8879$，$\sqrt[3]{1000}=10$，因此$b≈0.8879×10=8.879$；
因此$a+b≈14.142+8.879=23.021$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{80}$，$\boldsymbol{0.4}$
(2) 在开立方时，被开方数的小数点每向左（或向右）移动三位，它的立方根的小数点随即向左（或向右）移动一位
(3) $\boldsymbol{23.021}$
【知识点】
1. 算术平方根的性质
2. 立方根的性质
3. 根式近似计算
【点评】
本题侧重考查平方根、立方根变化规律的理解和应用，解题核心是找准被开方数和对应方根的小数点移动位数的对应关系，熟练掌握规律就能快速解题，也为后续根式的化简计算打下基础。
【难度系数】
0.7
本题考查算术平方根和立方根的小数点移动规律，解题思路如下：
（1）求m、n：先观察被开方数的小数点移动位数，结合已知的算术平方根变化规律、立方根的隐含规律求解。求m时，对比x=64和x=6400的小数点移动位数，按照算术平方根的移动规律即可得到结果；求n时，对比x=64和x=0.064的小数点移动位数，按照立方根的移动规律计算即可。
（2）总结立方根规律：对比算术平方根的规律，观察表格中立方根和对应被开方数的小数点移动关系，用规范文字表述即可。
（3）计算a+b：先将√200拆分为含√2的形式，将∛700拆分为含∛0.7的形式，再结合已知参考数据和小数点移动规律求出a、b的值，最后求和即可。
【解析】
（1）求m：观察表格，x=64时√x=8，x变为6400时，被开方数64的小数点向右移动2位，根据算术平方根的变化规律，算术平方根的小数点向右移动1位，因此$m=8×10=80$；
求n：x=64时∛x=4，x变为0.064时，被开方数64的小数点向左移动3位，根据立方根的变化规律，立方根的小数点向左移动1位，因此$n=4÷10=0.4$。
（2）观察表格中立方根的变化：被开方数每向左或向右移动3位，对应立方根的小数点同向移动1位，因此规律为：在开立方时，被开方数的小数点每向左（或向右）移动三位，它的立方根的小数点随即向左（或向右）移动一位。
（3）计算a的值：$\sqrt{200}=\sqrt{2×100}=\sqrt{2}×\sqrt{100}$，已知$\sqrt{2}≈1.4142$，$\sqrt{100}=10$，因此$a≈1.4142×10=14.142$；
计算b的值：$\sqrt[3]{700}=\sqrt[3]{0.7×1000}=\sqrt[3]{0.7}×\sqrt[3]{1000}$，已知$\sqrt[3]{0.7}≈0.8879$，$\sqrt[3]{1000}=10$，因此$b≈0.8879×10=8.879$；
因此$a+b≈14.142+8.879=23.021$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{80}$，$\boldsymbol{0.4}$
(2) 在开立方时，被开方数的小数点每向左（或向右）移动三位，它的立方根的小数点随即向左（或向右）移动一位
(3) $\boldsymbol{23.021}$
【知识点】
1. 算术平方根的性质
2. 立方根的性质
3. 根式近似计算
【点评】
本题侧重考查平方根、立方根变化规律的理解和应用，解题核心是找准被开方数和对应方根的小数点移动位数的对应关系，熟练掌握规律就能快速解题，也为后续根式的化简计算打下基础。
【难度系数】
0.7
