12. 某小区准备修建一个面积为 $75 \, \mathrm{m}^2$ 的花坛，甲、乙两个工程队给出如下两个施工方案.
甲：花坛为长方形，且长与宽的比为 $3:1$.
乙：花坛为正方形.
（1）求长方形花坛的宽；
（2）嘉琪说：“正方形花坛的边长肯定比长方形花坛的宽长 $3 \, \mathrm{m}$.” 请你判断嘉琪的说法是否正确，并通过计算说明.

12. 解：(1) 设长方形花坛的宽为 $x \ \mathrm{m}$，则长为 $3x \ \mathrm{m}$. 依题意，$3x^2 = 75$. 解得 $x = \pm 5$. 根据实际意义可知 $x＞0$，所以 $x = 5$. 所以长方形花坛的宽为 $5 \ \mathrm{m}$.
(2) 嘉琪的说法不正确. 理由如下：
设正方形的边长为 $y \ \mathrm{m}$. 依题意，$y^2 = 75$. 解得 $y = \pm \sqrt{75}$. 根据实际意义可知 $y＞0$，所以 $y = \sqrt{75}$. 因为 $5 + 3 = 8 ≠ \sqrt{75}$，所以嘉琪的说法不正确.

【分析】
（1）求长方形花坛的宽时，已知长和宽的比为3:1，可设宽为$x \ \mathrm{m}$，则长为$3x \ \mathrm{m}$，再结合长方形面积公式（面积=长×宽）和已知的面积数值列方程求解即可，注意长度为正数，需舍去负的解。（2）判断嘉琪的说法是否正确，首先要根据正方形面积公式求出正方形花坛的边长，再将边长和“长方形宽+3m”作对比，若二者相等则说法正确，否则说法错误。
【解析】
(1) 设长方形花坛的宽为 $x \ \mathrm{m}$，则长为 $3x \ \mathrm{m}$。
依题意列方程：$3x · x = 75$，即 $3x^2 = 75$。
化简得$x^2=25$，解得 $x = \pm 5$。
结合实际意义，宽度为正数，因此舍去$x=-5$，得$x=5$。
(2) 嘉琪的说法不正确，理由如下：
设正方形花坛的边长为 $y \ \mathrm{m}$。
依题意列方程：$y^2 = 75$。
解得 $y = \pm \sqrt{75}$，结合实际意义，边长为正数，因此舍去$y=-\sqrt{75}$，得$y=\sqrt{75}$。
已知长方形花坛的宽为$5\mathrm{m}$，$5+3=8$，而$8^2=64≠75$，即$8≠\sqrt{75}$，因此嘉琪的说法不正确。
【答案】
（1）长方形花坛的宽为$5 \ \mathrm{m}$；（2）嘉琪的说法不正确。
【知识点】
一元二次方程的应用，算术平方根的实际意义，图形面积计算
【点评】
本题结合生活场景考查方程与几何知识的结合应用，解题时要注意结合实际意义舍去不符合要求的负根，判断结论是否正确时需通过严谨计算验证，避免主观臆断。
【难度系数】
0.8