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17. (6分)如图,在平行四边形ABCD中,E,F分别是AD,BC的中点.求证:四边形AECF是平行四边形.
答案
【点拨】本题考查平行四边形的判定与性质,解题的关键是熟练掌握平行四边形的判定方法.
【解析】证明:
∵ 四边形 ABCD 是平行四边形,
∴ AD=BC,AD//BC.
∵ E,F 分别是 AD,BC 的中点,
∴ $AE=\dfrac{1}{2}AD$,$CF=\dfrac{1}{2}BC$,
∴ AE=CF.
又
∵ AE//CF,
∴ 四边形 AECF 是平行四边形.
【解析】证明:
∵ 四边形 ABCD 是平行四边形,
∴ AD=BC,AD//BC.
∵ E,F 分别是 AD,BC 的中点,
∴ $AE=\dfrac{1}{2}AD$,$CF=\dfrac{1}{2}BC$,
∴ AE=CF.
又
∵ AE//CF,
∴ 四边形 AECF 是平行四边形.
解析
【分析】要证明四边形AECF是平行四边形，可利用“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”这一判定定理。首先根据平行四边形ABCD的性质得到AD与BC的关系，再结合E、F是AD、BC中点，推导AE与CF的关系，进而完成证明。
【解析】证明：
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ AD = BC，AD // BC（平行四边形对边平行且相等）。
∵ E，F分别是AD，BC的中点，
∴ $AE=\dfrac{1}{2}AD$，$CF=\dfrac{1}{2}BC$，
∴ AE = CF。
又
∵ AE // CF（由AD // BC可得），
∴ 四边形AECF是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）。
【答案】四边形AECF是平行四边形。
【知识点】平行四边形的性质，平行四边形的判定
【点评】本题是平行四边形性质与判定的基础应用，核心是利用平行四边形对边的关系，结合中点推出所需的边的等量关系，进而依据判定定理完成证明，属于基础题型。
【难度系数】0.7
【解析】证明：
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ AD = BC，AD // BC（平行四边形对边平行且相等）。
∵ E，F分别是AD，BC的中点，
∴ $AE=\dfrac{1}{2}AD$，$CF=\dfrac{1}{2}BC$，
∴ AE = CF。
又
∵ AE // CF（由AD // BC可得），
∴ 四边形AECF是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）。
【答案】四边形AECF是平行四边形。
【知识点】平行四边形的性质，平行四边形的判定
【点评】本题是平行四边形性质与判定的基础应用，核心是利用平行四边形对边的关系，结合中点推出所需的边的等量关系，进而依据判定定理完成证明，属于基础题型。
【难度系数】0.7
18.（6分）学校内有一块如图所示的三角形空地，计划开辟为生物园，测得$AC = 10$米，$BC = 24$米，$AB = 26$米. 如果沿$CD$修一条水渠且点$D$在$AB$边上，水渠的造价为130元/米，当水渠的造价最低时，$CD$的长为多少米？最低造价是多少元？
答案
【点拨】本题考查等面积法、垂线段最短,解题的关键是熟练掌握等面积法计算直角三角形斜边上的高线的方法.
【解析】
∵ AC=10 米,BC=24 米,AB=26 米,
∴ AC²+BC²=AB²,
∴ ∠ACB=90°.
当 CD⊥AB 时,水渠的造价最低.
∵ $S_{△ABC}=\dfrac{1}{2}AB·CD=\dfrac{1}{2}AC·BC$,
∴ $CD=\dfrac{AC·BC}{AB}=\dfrac{10×24}{26}=\dfrac{120}{13}$(米),
最低造价为 $\dfrac{120}{13}×130=1200$(元).
答:当水渠的造价最低时,CD 的长为 $\dfrac{120}{13}$ 米,最低造价是 1200 元.
【解析】
∵ AC=10 米,BC=24 米,AB=26 米,
∴ AC²+BC²=AB²,
∴ ∠ACB=90°.
当 CD⊥AB 时,水渠的造价最低.
∵ $S_{△ABC}=\dfrac{1}{2}AB·CD=\dfrac{1}{2}AC·BC$,
∴ $CD=\dfrac{AC·BC}{AB}=\dfrac{10×24}{26}=\dfrac{120}{13}$(米),
最低造价为 $\dfrac{120}{13}×130=1200$(元).
答:当水渠的造价最低时,CD 的长为 $\dfrac{120}{13}$ 米,最低造价是 1200 元.
解析
【分析】首先根据三角形三边长度，利用勾股定理的逆定理判断△ABC为直角三角形；由于水渠造价与CD长度成正比，要使造价最低需CD最短，依据“垂线段最短”可知当CD⊥AB时CD最短；再利用直角三角形面积的两种计算方式，通过等面积法求出CD的长度，最后计算最低造价。
【解析】
∵ AC=10米，BC=24米，AB=26米，
∴ $AC^2 + BC^2 = 10^2 + 24^2 = 676$，$AB^2 = 26^2 = 676$，
∴ $AC^2 + BC^2 = AB^2$，
∴ △ABC是直角三角形，∠ACB=90°。
因为水渠造价与CD长度成正比，所以CD最短时造价最低，根据“垂线段最短”，当CD⊥AB时CD最短。
又
∵ $S_{△ ABC} = \dfrac{1}{2}AC·BC = \dfrac{1}{2}AB·CD$，
∴ $CD = \dfrac{AC·BC}{AB} = \dfrac{10×24}{26} = \dfrac{120}{13}$（米），
最低造价为：$\dfrac{120}{13}×130 = 1200$（元）。
答：当水渠的造价最低时，CD的长为$\dfrac{120}{13}$米，最低造价是1200元。
【答案】CD的长为$\dfrac{120}{13}$米，最低造价是1200元。
【知识点】勾股定理的逆定理、垂线段最短、等面积法
【点评】本题将几何知识与实际造价问题结合，核心是利用垂线段最短确定最短路径，再通过勾股定理逆定理判断直角三角形，用等面积法求高，是基础几何应用题型，难度适中。
【难度系数】0.5
【解析】
∵ AC=10米，BC=24米，AB=26米，
∴ $AC^2 + BC^2 = 10^2 + 24^2 = 676$，$AB^2 = 26^2 = 676$，
∴ $AC^2 + BC^2 = AB^2$，
∴ △ABC是直角三角形，∠ACB=90°。
因为水渠造价与CD长度成正比，所以CD最短时造价最低，根据“垂线段最短”，当CD⊥AB时CD最短。
又
∵ $S_{△ ABC} = \dfrac{1}{2}AC·BC = \dfrac{1}{2}AB·CD$，
∴ $CD = \dfrac{AC·BC}{AB} = \dfrac{10×24}{26} = \dfrac{120}{13}$（米），
最低造价为：$\dfrac{120}{13}×130 = 1200$（元）。
答：当水渠的造价最低时，CD的长为$\dfrac{120}{13}$米，最低造价是1200元。
【答案】CD的长为$\dfrac{120}{13}$米，最低造价是1200元。
【知识点】勾股定理的逆定理、垂线段最短、等面积法
【点评】本题将几何知识与实际造价问题结合，核心是利用垂线段最短确定最短路径，再通过勾股定理逆定理判断直角三角形，用等面积法求高，是基础几何应用题型，难度适中。
【难度系数】0.5
19. (8分)德国心理学家艾宾浩斯研究发现,遗忘在学习之后立即开始,而且遗忘的进程并不是均匀的.如果把学习后的时间记为x(时),记忆留存率记为y(%),则根据实验数据可绘制出曲线(如图所示),即著名的“艾宾浩斯遗忘曲线”.该曲线对人类记忆认知研究产生了重大影响.请认真观察图象,回答下列问题:
(1)y
(2)请说明点D的实际意义;
(3)由图可知,知识记忆遗忘先
(4)根据图中信息,对新事物学习提出一条合理的建议.
(1)y
是
关于x的函数;(填“是”或“不是”)(2)请说明点D的实际意义;
(3)由图可知,知识记忆遗忘先
快
后 慢
;(填“快”或“慢”)(4)根据图中信息,对新事物学习提出一条合理的建议.
答案
【点拨】本题考查函数的图象,解题的关键是理解函数图象的横坐标与纵坐标的实际意义.
【解析】(1)根据题图知,对于自变量 x 的每一个值,y 都有唯一的值与它对应,
∴ y 是关于 x 的函数.
故答案为是.
(2)点 D 的实际意义是学习后 24 小时,记忆留存率为 33.7%.
(3)由题图知,知识记忆遗忘先快后慢. 故答案为快,慢.
(4)建议学习新事物、新知识后要及时复习,做到温故而知新.(答案不唯一)
【解析】(1)根据题图知,对于自变量 x 的每一个值,y 都有唯一的值与它对应,
∴ y 是关于 x 的函数.
故答案为是.
(2)点 D 的实际意义是学习后 24 小时,记忆留存率为 33.7%.
(3)由题图知,知识记忆遗忘先快后慢. 故答案为快,慢.
(4)建议学习新事物、新知识后要及时复习,做到温故而知新.(答案不唯一)
解析
【分析】
本题考查函数的概念及函数图象的实际应用，解题思路如下：
1. 问题(1)：根据函数定义，判断对于自变量x的每一个值，是否有唯一确定的y值对应，即可确定y是否为x的函数；
2. 问题(2)：点的实际意义需结合横纵坐标的含义，横坐标代表学习后的时间，纵坐标代表记忆留存率，据此解读点D的意义；
3. 问题(3)：观察图象的下降趋势，前期曲线陡峭说明留存率下降快，后期曲线平缓说明下降慢，由此判断遗忘的快慢变化；
4. 问题(4)：结合遗忘先快后慢的特点，提出符合记忆规律的合理建议即可。
【解析】
(1) 根据函数的定义：对于自变量x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与之对应。观察题图可知，每个x值都对应唯一的y值，因此y是关于x的函数。
(2) 点D的横坐标为24，纵坐标为33.7，其实际意义是：学习后24小时，记忆留存率为33.7%。
(3) 观察图象，记忆留存率在学习后初期下降速度快，后期下降速度变缓，因此知识记忆遗忘先快后慢。
(4) 由于遗忘先快后慢，建议：学习新知识后要及时复习，巩固记忆（答案不唯一，合理即可）。
【答案】
(1)是；(2)学习后24小时，记忆留存率为33.7%；(3)快，慢；(4)学习新知识后要及时复习，巩固记忆（合理即可）
【知识点】
函数的概念，函数图象的应用
【点评】
本题结合艾宾浩斯遗忘曲线考查函数的相关知识，将数学知识与实际记忆规律结合，注重培养学生应用数学解决实际问题的能力，难度适中。
【难度系数】
0.6
本题考查函数的概念及函数图象的实际应用，解题思路如下：
1. 问题(1)：根据函数定义，判断对于自变量x的每一个值，是否有唯一确定的y值对应，即可确定y是否为x的函数；
2. 问题(2)：点的实际意义需结合横纵坐标的含义，横坐标代表学习后的时间，纵坐标代表记忆留存率，据此解读点D的意义；
3. 问题(3)：观察图象的下降趋势，前期曲线陡峭说明留存率下降快，后期曲线平缓说明下降慢，由此判断遗忘的快慢变化；
4. 问题(4)：结合遗忘先快后慢的特点，提出符合记忆规律的合理建议即可。
【解析】
(1) 根据函数的定义：对于自变量x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与之对应。观察题图可知，每个x值都对应唯一的y值，因此y是关于x的函数。
(2) 点D的横坐标为24，纵坐标为33.7，其实际意义是：学习后24小时，记忆留存率为33.7%。
(3) 观察图象，记忆留存率在学习后初期下降速度快，后期下降速度变缓，因此知识记忆遗忘先快后慢。
(4) 由于遗忘先快后慢，建议：学习新知识后要及时复习，巩固记忆（答案不唯一，合理即可）。
【答案】
(1)是；(2)学习后24小时，记忆留存率为33.7%；(3)快，慢；(4)学习新知识后要及时复习，巩固记忆（合理即可）
【知识点】
函数的概念，函数图象的应用
【点评】
本题结合艾宾浩斯遗忘曲线考查函数的相关知识，将数学知识与实际记忆规律结合，注重培养学生应用数学解决实际问题的能力，难度适中。
【难度系数】
0.6
