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20. (8分)为激发青少年崇尚科学、探索未知的热情,学校开展“科学小博士”知识竞赛.各班以小组为单位组织初赛,规定满分为10分,9分及以上为优秀.
数据整理:小夏将本班甲、乙两组同学(每组8人)初赛的成绩整理成如图所示的统计图.
数据分析:小夏对这两个小组的成绩进行了如表所示的分析:
请认真阅读上述信息,回答下列问题:
(1)填空:$a=$
(2)小祺认为甲、乙两组成绩的平均数相等,因此两个组成绩一样好.小夏认为小祺的观点比较片面,请结合表中的信息帮小夏说明理由.(写出两条即可)
数据整理:小夏将本班甲、乙两组同学(每组8人)初赛的成绩整理成如图所示的统计图.
数据分析:小夏对这两个小组的成绩进行了如表所示的分析:
请认真阅读上述信息,回答下列问题:
(1)填空:$a=$
7.5
, $b=$7
, $c=$25%
;(2)小祺认为甲、乙两组成绩的平均数相等,因此两个组成绩一样好.小夏认为小祺的观点比较片面,请结合表中的信息帮小夏说明理由.(写出两条即可)
答案
【点拨】本题考查方差、平均数、中位数和众数.
【解析】(1)$a=\dfrac{7+8}{2}=7.5$,$b=7$,
$c=\dfrac{2}{8}×100\%=25\%$.
故答案为 7.5,7,25%.
(2)①甲组成绩的优秀率为 37.5%,高于乙组成绩的优秀率 25%,
∴ 从优秀率的角度看,甲组成绩比乙组好.
②甲组成绩的中位数为 7.5,高于乙组成绩的中位数,
∴ 从中位数的角度看,甲组成绩比乙组好.
因此不能仅从平均数的角度说明两组成绩一样好,可见,小祺的观点比较片面.(答案不唯一)
【解析】(1)$a=\dfrac{7+8}{2}=7.5$,$b=7$,
$c=\dfrac{2}{8}×100\%=25\%$.
故答案为 7.5,7,25%.
(2)①甲组成绩的优秀率为 37.5%,高于乙组成绩的优秀率 25%,
∴ 从优秀率的角度看,甲组成绩比乙组好.
②甲组成绩的中位数为 7.5,高于乙组成绩的中位数,
∴ 从中位数的角度看,甲组成绩比乙组好.
因此不能仅从平均数的角度说明两组成绩一样好,可见,小祺的观点比较片面.(答案不唯一)
解析
【分析】
本题分为两小问，第(1)问需根据甲、乙两组各8人的成绩，确定中位数、众数、优秀率：a为甲组成绩的中位数，8个数据的中位数是排序后第4和第5个数据的平均数；b为乙组成绩的众数，即出现次数最多的数；c为乙组成绩的优秀率，即9分及以上的人数占总人数的百分比。第(2)问需说明仅用平均数判断成绩好坏片面，需结合其他统计量（如优秀率、中位数）分析两组成绩的差异。
【解析】
(1) 甲组共8人，中位数为排序后第4、5个数据的平均数，计算得$a=\frac{7+8}{2}=7.5$；乙组成绩中出现次数最多的数是7，故$b=7$；乙组优秀人数为2，总人数8，优秀率$c=\frac{2}{8}×100\%=25\%$。
(2) 小祺仅以平均数判断两组成绩好坏的观点片面，理由如下：①甲组优秀率为37.5%，高于乙组的25%，说明甲组优秀人数占比更高，整体成绩更优；②甲组成绩的中位数为7.5，高于乙组的7，说明甲组中间水平的成绩更好，因此不能仅通过平均数判定两组成绩一样好。
【答案】
7.5，7，25%；理由：①甲组优秀率高于乙组；②甲组中位数高于乙组（合理即可）
【知识点】
中位数、众数、优秀率
【点评】
本题考查统计量的实际应用，需理解各统计量的意义，避免单一统计量的局限性，培养全面分析数据的能力。
【难度系数】
0.6
本题分为两小问，第(1)问需根据甲、乙两组各8人的成绩，确定中位数、众数、优秀率：a为甲组成绩的中位数，8个数据的中位数是排序后第4和第5个数据的平均数；b为乙组成绩的众数，即出现次数最多的数；c为乙组成绩的优秀率，即9分及以上的人数占总人数的百分比。第(2)问需说明仅用平均数判断成绩好坏片面，需结合其他统计量（如优秀率、中位数）分析两组成绩的差异。
【解析】
(1) 甲组共8人，中位数为排序后第4、5个数据的平均数，计算得$a=\frac{7+8}{2}=7.5$；乙组成绩中出现次数最多的数是7，故$b=7$；乙组优秀人数为2，总人数8，优秀率$c=\frac{2}{8}×100\%=25\%$。
(2) 小祺仅以平均数判断两组成绩好坏的观点片面，理由如下：①甲组优秀率为37.5%，高于乙组的25%，说明甲组优秀人数占比更高，整体成绩更优；②甲组成绩的中位数为7.5，高于乙组的7，说明甲组中间水平的成绩更好，因此不能仅通过平均数判定两组成绩一样好。
【答案】
7.5，7，25%；理由：①甲组优秀率高于乙组；②甲组中位数高于乙组（合理即可）
【知识点】
中位数、众数、优秀率
【点评】
本题考查统计量的实际应用，需理解各统计量的意义，避免单一统计量的局限性，培养全面分析数据的能力。
【难度系数】
0.6
21. (8 分)【问题背景】
2025 年 4 月 23 日是第 30 个“世界读书日”.为给师生提供更加良好的阅读环境,某学校决定扩大图书馆面积,增加藏书数量,现需购进 20 个书架用于摆放书籍.
【素材呈现】
素材一:有 A,B 两种书架可供选择,A 种书架的单价比 B 种书架的单价高 25%；
素材二:购买 3 个 A 种书架和 2 个 B 种书架共需要 2 300 元；
素材三:A 种书架的数量不少于 B 种书架数量的$\frac{1}{3}$.
【问题解决】
(1)求 A,B 两种书架的单价；
(2)设购买$a$个 A 种书架,购买书架的总费用为$w$元,求$w$关于$a$的函数关系式,并求出总费用最少时的购买方案.
2025 年 4 月 23 日是第 30 个“世界读书日”.为给师生提供更加良好的阅读环境,某学校决定扩大图书馆面积,增加藏书数量,现需购进 20 个书架用于摆放书籍.
【素材呈现】
素材一:有 A,B 两种书架可供选择,A 种书架的单价比 B 种书架的单价高 25%；
素材二:购买 3 个 A 种书架和 2 个 B 种书架共需要 2 300 元；
素材三:A 种书架的数量不少于 B 种书架数量的$\frac{1}{3}$.
【问题解决】
(1)求 A,B 两种书架的单价；
(2)设购买$a$个 A 种书架,购买书架的总费用为$w$元,求$w$关于$a$的函数关系式,并求出总费用最少时的购买方案.
答案
【点拨】本题考查二元一次方程组的实际应用、一次函数的应用,解题的关键是读懂题意,理清数量之间的关系和灵活应用一次函数的性质.
【解析】(1)设 A 种书架的单价为 x 元/个,B 种书架的单价为 y 元/个.
由题意得 $\begin{cases}x=(1+25\%)y,\\3x+2y=2300,\end{cases}$ 解得 $\begin{cases}x=500,\\y=400.\end{cases}$
答:A 种书架的单价为 500 元/个,B 种书架的单价为 400 元/个.
(2)由题意得 $w=500a+400(20-a)=100a+8000$,
由题意可得 $a≥\dfrac{1}{3}(20-a)$,解得 a≥5,
∴ w 关于 a 的函数关系式为 w=100a+8000(5≤a≤20,且 a 是整数).
由 100＞0 可知,w 随 a 的增大而增大,
∴ 当 a=5 时,w 取得最小值,此时 w=8500,
∴ B 种书架为 20-5=15(个),
∴ 总费用最少时的购买方案是购买 A 种书架 5 个、B 种书架 15 个.
【解析】(1)设 A 种书架的单价为 x 元/个,B 种书架的单价为 y 元/个.
由题意得 $\begin{cases}x=(1+25\%)y,\\3x+2y=2300,\end{cases}$ 解得 $\begin{cases}x=500,\\y=400.\end{cases}$
答:A 种书架的单价为 500 元/个,B 种书架的单价为 400 元/个.
(2)由题意得 $w=500a+400(20-a)=100a+8000$,
由题意可得 $a≥\dfrac{1}{3}(20-a)$,解得 a≥5,
∴ w 关于 a 的函数关系式为 w=100a+8000(5≤a≤20,且 a 是整数).
由 100＞0 可知,w 随 a 的增大而增大,
∴ 当 a=5 时,w 取得最小值,此时 w=8500,
∴ B 种书架为 20-5=15(个),
∴ 总费用最少时的购买方案是购买 A 种书架 5 个、B 种书架 15 个.
解析
【分析】
本题分为两小问，第(1)问求A、B两种书架的单价，需根据素材一的单价关系和素材二的购买总价，设两个未知数，列二元一次方程组求解；第(2)问求总费用函数及最少费用方案，需先根据总费用的计算方式列出函数关系式，再根据素材三的数量不等关系确定自变量$a$的取值范围，最后利用一次函数的增减性（系数为正，函数随$a$增大而增大），在取值范围内取最小的$a$得到最少费用的购买方案。
【解析】
(1)设A种书架的单价为$ x $元/个，B种书架的单价为$ y $元/个。
根据素材一：A种书架的单价比B种书架的单价高25%，可得$ x=(1+25\%)y $；
根据素材二：购买3个A种书架和2个B种书架共需要2300元，可得$ 3x+2y=2300 $。
联立方程组：$\begin{cases}x=(1+25\%)y \\3x+2y=2300 \end{cases}$，
将$ x=1.25y $代入$ 3x+2y=2300 $，得$ 3×1.25y + 2y = 2300 $，
计算得$ 5.75y = 2300 $，解得$ y=400 $，则$ x=1.25×400=500 $。
答：A种书架的单价为500元/个，B种书架的单价为400元/个。
(2)已知购买$ a $个A种书架，则购买B种书架的数量为$ 20 - a $个，
总费用$ w = 500a + 400(20 - a) = 100a + 8000 $。
根据素材三：A种书架的数量不少于B种书架数量的$\frac{1}{3}$，可得不等式：
$ a ≥ \frac{1}{3}(20 - a) $，
两边乘3得$ 3a ≥ 20 - a $，移项得$ 4a ≥ 20 $，解得$ a ≥ 5 $，
又因为$ a $为整数且不超过20，所以$ w $关于$ a $的函数关系式为$ w = 100a + 8000 $（$ 5 ≤ a ≤ 20 $，且$ a $为整数）。
因为一次函数$ w = 100a + 8000 $中，$ 100 ＞ 0 $，所以$ w $随$ a $的增大而增大，
因此当$ a=5 $时，$ w $取得最小值，此时$ w = 100×5 + 8000 = 8500 $，购买B种书架的数量为$ 20 - 5 = 15 $个。
答：总费用最少时的购买方案是购买A种书架5个、B种书架15个。
【答案】
(1)A种书架单价500元/个，B种书架单价400元/个；
(2)$ w = 100a + 8000 $（$ 5 ≤ a ≤ 20 $且$ a $为整数），总费用最少的方案是购买A种书架5个、B种书架15个。
【知识点】
二元一次方程组的应用，一次函数的应用，一元一次不等式的应用
【点评】
本题以实际购买书架为背景，综合考查方程、函数与不等式的实际应用，解题关键是准确提取素材中的数量关系，合理设元，利用一次函数的增减性求最值，属于中等难度的实际应用问题，能有效考查学生的逻辑分析和运算能力。
【难度系数】
0.6
本题分为两小问，第(1)问求A、B两种书架的单价，需根据素材一的单价关系和素材二的购买总价，设两个未知数，列二元一次方程组求解；第(2)问求总费用函数及最少费用方案，需先根据总费用的计算方式列出函数关系式，再根据素材三的数量不等关系确定自变量$a$的取值范围，最后利用一次函数的增减性（系数为正，函数随$a$增大而增大），在取值范围内取最小的$a$得到最少费用的购买方案。
【解析】
(1)设A种书架的单价为$ x $元/个，B种书架的单价为$ y $元/个。
根据素材一：A种书架的单价比B种书架的单价高25%，可得$ x=(1+25\%)y $；
根据素材二：购买3个A种书架和2个B种书架共需要2300元，可得$ 3x+2y=2300 $。
联立方程组：$\begin{cases}x=(1+25\%)y \\3x+2y=2300 \end{cases}$，
将$ x=1.25y $代入$ 3x+2y=2300 $，得$ 3×1.25y + 2y = 2300 $，
计算得$ 5.75y = 2300 $，解得$ y=400 $，则$ x=1.25×400=500 $。
答：A种书架的单价为500元/个，B种书架的单价为400元/个。
(2)已知购买$ a $个A种书架，则购买B种书架的数量为$ 20 - a $个，
总费用$ w = 500a + 400(20 - a) = 100a + 8000 $。
根据素材三：A种书架的数量不少于B种书架数量的$\frac{1}{3}$，可得不等式：
$ a ≥ \frac{1}{3}(20 - a) $，
两边乘3得$ 3a ≥ 20 - a $，移项得$ 4a ≥ 20 $，解得$ a ≥ 5 $，
又因为$ a $为整数且不超过20，所以$ w $关于$ a $的函数关系式为$ w = 100a + 8000 $（$ 5 ≤ a ≤ 20 $，且$ a $为整数）。
因为一次函数$ w = 100a + 8000 $中，$ 100 ＞ 0 $，所以$ w $随$ a $的增大而增大，
因此当$ a=5 $时，$ w $取得最小值，此时$ w = 100×5 + 8000 = 8500 $，购买B种书架的数量为$ 20 - 5 = 15 $个。
答：总费用最少时的购买方案是购买A种书架5个、B种书架15个。
【答案】
(1)A种书架单价500元/个，B种书架单价400元/个；
(2)$ w = 100a + 8000 $（$ 5 ≤ a ≤ 20 $且$ a $为整数），总费用最少的方案是购买A种书架5个、B种书架15个。
【知识点】
二元一次方程组的应用，一次函数的应用，一元一次不等式的应用
【点评】
本题以实际购买书架为背景，综合考查方程、函数与不等式的实际应用，解题关键是准确提取素材中的数量关系，合理设元，利用一次函数的增减性求最值，属于中等难度的实际应用问题，能有效考查学生的逻辑分析和运算能力。
【难度系数】
0.6
