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20.(8分)如图,在三角形ABC中,点D,E在边AB上,点F,G分别在边BC,CA上,且$DG// BC$,$∠ 1$与$∠ 2$互补。
(1)试判断DC与EF的位置关系,并说明理由。
(2)若$EF⊥ AB$,$∠ 1=50°$,求$∠ ADG$的度数。
(1)试判断DC与EF的位置关系,并说明理由。
(2)若$EF⊥ AB$,$∠ 1=50°$,求$∠ ADG$的度数。
答案
20. (1)$DC//EF$。理由如下:因为$DG//BC$,所以$∠1=∠DCB$。因为$∠1$与$∠2$互补,所以$∠1+∠2=180°$。所以$∠DCB+∠2=180°$。所以$DC//EF$。
(2)因为$EF⊥AB$,所以$∠FEA=90°$。因为$DC//EF$,所以$∠ADC=90°$。因为$∠1=50°$,所以$∠ADG=∠ADC-∠1=90°-50°=40°$。
(2)因为$EF⊥AB$,所以$∠FEA=90°$。因为$DC//EF$,所以$∠ADC=90°$。因为$∠1=50°$,所以$∠ADG=∠ADC-∠1=90°-50°=40°$。
解析
【分析】
要解决这道题，先分析第一问：已知DG//BC，根据平行线的性质可得∠1与∠DCB相等；结合∠1和∠2互补的条件，通过等量代换得到∠DCB与∠2互补，再依据平行线的判定定理即可判断DC和EF的位置关系。第二问：由EF⊥AB可得直角，结合第一问DC//EF的结论，利用平行线的性质得到∠ADC为直角，再结合已知∠1的度数，通过角度差计算出∠ADG的度数。
【解析】
(1) $DC// EF$，理由如下：
$\because DG// BC$（已知），
$\therefore ∠ 1=∠ DCB$（两直线平行，内错角相等）。
又$\because ∠ 1$与$∠ 2$互补（已知），
$\therefore ∠ 1+∠ 2=180°$（互补的定义），
$\therefore ∠ DCB+∠ 2=180°$（等量代换），
$\therefore DC// EF$（同旁内角互补，两直线平行）。
(2) $\because EF⊥ AB$（已知），
$\therefore ∠ FEA=90°$（垂直的定义）。
$\because DC// EF$（已证），
$\therefore ∠ ADC=∠ FEA=90°$（两直线平行，同位角相等）。
又$\because ∠ 1=50°$（已知），
$\therefore ∠ ADG=∠ ADC-∠ 1=90°-50°=40°$。
【答案】
(1) $DC// EF$；(2) $∠ ADG=40°$
【知识点】
平行线的判定与性质、垂直的性质、角度计算
【点评】
本题为几何基础题型，主要考查平行线的性质与判定的应用，以及角度的计算，解题思路清晰，步骤规范，能有效考查学生对基础几何知识的掌握程度。
【难度系数】
0.6
要解决这道题，先分析第一问：已知DG//BC，根据平行线的性质可得∠1与∠DCB相等；结合∠1和∠2互补的条件，通过等量代换得到∠DCB与∠2互补，再依据平行线的判定定理即可判断DC和EF的位置关系。第二问：由EF⊥AB可得直角，结合第一问DC//EF的结论，利用平行线的性质得到∠ADC为直角，再结合已知∠1的度数，通过角度差计算出∠ADG的度数。
【解析】
(1) $DC// EF$，理由如下：
$\because DG// BC$（已知），
$\therefore ∠ 1=∠ DCB$（两直线平行，内错角相等）。
又$\because ∠ 1$与$∠ 2$互补（已知），
$\therefore ∠ 1+∠ 2=180°$（互补的定义），
$\therefore ∠ DCB+∠ 2=180°$（等量代换），
$\therefore DC// EF$（同旁内角互补，两直线平行）。
(2) $\because EF⊥ AB$（已知），
$\therefore ∠ FEA=90°$（垂直的定义）。
$\because DC// EF$（已证），
$\therefore ∠ ADC=∠ FEA=90°$（两直线平行，同位角相等）。
又$\because ∠ 1=50°$（已知），
$\therefore ∠ ADG=∠ ADC-∠ 1=90°-50°=40°$。
【答案】
(1) $DC// EF$；(2) $∠ ADG=40°$
【知识点】
平行线的判定与性质、垂直的性质、角度计算
【点评】
本题为几何基础题型，主要考查平行线的性质与判定的应用，以及角度的计算，解题思路清晰，步骤规范，能有效考查学生对基础几何知识的掌握程度。
【难度系数】
0.6
21.(8分)如图,一张长方形纸片甲可看作由2张正方形纸片A和2张长方形纸片B拼成。小吴同学将其重新剪拼,得到一幅新图形乙。
(1)若甲为正方形,则乙的周长可表示为
(2)若$\frac{S_{甲}}{S_{乙}}=\frac{5}{6}$,猜测$a$与$b$之间的数量关系,并说明理由。
(1)若甲为正方形,则乙的周长可表示为
9a
。(用含a的代数式表示)(2)若$\frac{S_{甲}}{S_{乙}}=\frac{5}{6}$,猜测$a$与$b$之间的数量关系,并说明理由。
答案
21.(1)因为长方形B的长为$2a$,宽为$b$,正方形A的边长为$a$,且$a=2b$,所以长方形乙的长为$2a+a=3a$,宽为$a+b$。所以乙的周长为$(3a+a+b)×2=8a+2b=8a+a=9a$。故答案为:$9a$。
(2)$a=3b$。理由如下:由题意可得,$S_甲=2a(a+2b)$,$S_乙=3a(a+b)$,所以$\dfrac{2a(a+2b)}{3a(a+b)}=\dfrac{5}{6}$。所以$\dfrac{2(a+2b)}{3(a+b)}=\dfrac{5}{6}$,整理得$a=3b$。
(2)$a=3b$。理由如下:由题意可得,$S_甲=2a(a+2b)$,$S_乙=3a(a+b)$,所以$\dfrac{2a(a+2b)}{3a(a+b)}=\dfrac{5}{6}$。所以$\dfrac{2(a+2b)}{3(a+b)}=\dfrac{5}{6}$,整理得$a=3b$。
解析
【分析】
本题围绕甲、乙两个由正方形A和长方形B拼接成的图形展开，需利用图形的边长关系、周长和面积公式求解。第(1)问需先根据甲为正方形的条件得出a与b的关系，再确定乙的长和宽，进而计算周长；第(2)问需分别表示出甲、乙的面积，结合面积比列方程，化简得到a与b的数量关系。
【解析】
(1) 由图形可知，正方形A的边长为$a$，长方形B的长为$2a$、宽为$b$。
因为甲为正方形，所以甲的边长相等：甲的高度为$a+a=2a$，甲的宽度为$2b+2b=4b$，故$2a=4b$，即$a=2b$。
观察乙图，乙的长为$3a$，宽为$a+b$，则乙的周长为：
$2×(长+宽)=2×(3a + a + b)=2×(4a + b)$
将$b=\frac{a}{2}$代入上式，得：
$2×(4a + \frac{a}{2})=9a$
(2) 甲的面积：甲是长方形，长为$a+2b$，宽为$2a$，故$S_甲=2a(a+2b)$；
乙的面积：乙是长方形，长为$3a$，宽为$a+b$，故$S_乙=3a(a+b)$；
已知$\frac{S_甲}{S_乙}=\frac{5}{6}$，代入得：
$\frac{2a(a+2b)}{3a(a+b)}=\frac{5}{6}$
因为$a≠0$，约去$a$，得：
$\frac{2(a+2b)}{3(a+b)}=\frac{5}{6}$
交叉相乘得：$12(a+2b)=15(a+b)$
展开化简得：$a=3b$。
【答案】
(1) $9a$；(2) $a=3b$，理由见解析。
【知识点】
整式的运算、长方形的周长与面积、图形的拼接
【点评】
本题考查图形拼接中的代数关系，需结合图形特征建立边长、面积的表达式，利用方程思想求解，重点考查几何直观与代数运算能力。
【难度系数】
0.4
本题围绕甲、乙两个由正方形A和长方形B拼接成的图形展开，需利用图形的边长关系、周长和面积公式求解。第(1)问需先根据甲为正方形的条件得出a与b的关系，再确定乙的长和宽，进而计算周长；第(2)问需分别表示出甲、乙的面积，结合面积比列方程，化简得到a与b的数量关系。
【解析】
(1) 由图形可知，正方形A的边长为$a$，长方形B的长为$2a$、宽为$b$。
因为甲为正方形，所以甲的边长相等：甲的高度为$a+a=2a$，甲的宽度为$2b+2b=4b$，故$2a=4b$，即$a=2b$。
观察乙图，乙的长为$3a$，宽为$a+b$，则乙的周长为：
$2×(长+宽)=2×(3a + a + b)=2×(4a + b)$
将$b=\frac{a}{2}$代入上式，得：
$2×(4a + \frac{a}{2})=9a$
(2) 甲的面积：甲是长方形，长为$a+2b$，宽为$2a$，故$S_甲=2a(a+2b)$；
乙的面积：乙是长方形，长为$3a$，宽为$a+b$，故$S_乙=3a(a+b)$；
已知$\frac{S_甲}{S_乙}=\frac{5}{6}$，代入得：
$\frac{2a(a+2b)}{3a(a+b)}=\frac{5}{6}$
因为$a≠0$，约去$a$，得：
$\frac{2(a+2b)}{3(a+b)}=\frac{5}{6}$
交叉相乘得：$12(a+2b)=15(a+b)$
展开化简得：$a=3b$。
【答案】
(1) $9a$；(2) $a=3b$，理由见解析。
【知识点】
整式的运算、长方形的周长与面积、图形的拼接
【点评】
本题考查图形拼接中的代数关系，需结合图形特征建立边长、面积的表达式，利用方程思想求解，重点考查几何直观与代数运算能力。
【难度系数】
0.4
22.(10分)电影《哪吒之魔童闹海》上映短短10天就成为中国电影票房榜冠军。小湖为了解大家对该电影的评价情况，开展了一次调查研究，请将下面的过程补全。
【收集数据】
(1)小湖计划从某电影院观影后的观众中随机抽取40名观众对该电影的评分情况作为样本，下面的取样方法中，合理的是
A.抽取40名女性观众对该电影的评分情况组成样本
B.抽取男女性观众各20名对该电影的评分情况组成样本
C.抽取老中青幼各年龄层次的男女性观众各5名对该电影的评分情况组成样本
【整理、描述数据】
抽样方法确定后，小湖获得了40名观众对该电影的评分(满分10分)情况如下：5.5,6.5,6.1,7.7,8.0,8.4,8.2,8.0,9.1,8.3,4.5,7.3,9.9,9.5,8.6,8.1,8.38,8,9.5,8.7,6.3,7.5,8.0,8.1,8.5,9.7,7.4,9.1,9.3,8.7,8.9,7.2,9.8,8.4,9.0,7.1,7.0,9.1,6.6,6.5
分成五组整理数据(每组都包含最小值,不包含最大值),如下表所示：
(2)为直观地展现上述调查结果,小湖想将它们绘制成扇形统计图,求C组所在扇形的圆心角度数。
【分析数据、得出结论】
小湖将统计后的数据与第一部《哪吒之魔童降世》调查的30名观众的评分情况(如图)进行对比分析。
(3)若评分8分及以上表示受观众喜爱。从受观众喜爱的角度看,请用数据说明这两部电影哪部更受欢迎？
【收集数据】
(1)小湖计划从某电影院观影后的观众中随机抽取40名观众对该电影的评分情况作为样本，下面的取样方法中，合理的是
C
。A.抽取40名女性观众对该电影的评分情况组成样本
B.抽取男女性观众各20名对该电影的评分情况组成样本
C.抽取老中青幼各年龄层次的男女性观众各5名对该电影的评分情况组成样本
【整理、描述数据】
抽样方法确定后，小湖获得了40名观众对该电影的评分(满分10分)情况如下：5.5,6.5,6.1,7.7,8.0,8.4,8.2,8.0,9.1,8.3,4.5,7.3,9.9,9.5,8.6,8.1,8.38,8,9.5,8.7,6.3,7.5,8.0,8.1,8.5,9.7,7.4,9.1,9.3,8.7,8.9,7.2,9.8,8.4,9.0,7.1,7.0,9.1,6.6,6.5
分成五组整理数据(每组都包含最小值,不包含最大值),如下表所示：
(2)为直观地展现上述调查结果,小湖想将它们绘制成扇形统计图,求C组所在扇形的圆心角度数。
【分析数据、得出结论】
小湖将统计后的数据与第一部《哪吒之魔童降世》调查的30名观众的评分情况(如图)进行对比分析。
(3)若评分8分及以上表示受观众喜爱。从受观众喜爱的角度看,请用数据说明这两部电影哪部更受欢迎？
答案
22.(1)C
(2)C组所在扇形的圆心角度数为$\dfrac{7}{40}×360°=63°$。
(3)魔童闹海:$(16+10)÷40=\dfrac{13}{20}$,魔童降世:$(9+6)÷30=\dfrac{1}{2}$,因为$\dfrac{13}{20}＞\dfrac{1}{2}$,所以《哪吒之魔童闹海》更受欢迎。
(2)C组所在扇形的圆心角度数为$\dfrac{7}{40}×360°=63°$。
(3)魔童闹海:$(16+10)÷40=\dfrac{13}{20}$,魔童降世:$(9+6)÷30=\dfrac{1}{2}$,因为$\dfrac{13}{20}＞\dfrac{1}{2}$,所以《哪吒之魔童闹海》更受欢迎。
解析
【分析】
本题围绕电影评价的调查统计展开，分三个小问逐步考查统计知识的应用：
1. 第一问是抽样方法的合理性判断，抽样需满足样本具有代表性、广泛性，不能局限于某一群体，需分析各选项的局限性；
2. 第二问是扇形统计图圆心角计算，需先确定C组的频数，再利用“圆心角度数=（该组频数/总样本数）×360°”的公式计算；
3. 第三问是数据对比分析，需分别计算两部电影8分及以上（受喜爱）的观众占比，再比较占比大小得出结论。
【解析】
(1) 抽样调查的样本需具有代表性和广泛性，应覆盖不同特征的群体：
选项A仅抽取女性观众，样本不全面，缺乏代表性；
选项B仅抽取男女性观众，未考虑年龄层次，样本仍有局限性；
选项C覆盖了不同年龄层次的男女性观众，样本具有代表性和广泛性，故选C。
(2) 首先确定C组的频数为7，根据扇形圆心角公式：
C组所在扇形的圆心角度数 = $\dfrac{C组频数}{总样本数}×360° = \dfrac{7}{40}×360° = 63°$。
(3) 分别计算两部电影8分及以上的观众占比：
《哪吒之魔童闹海》：8分及以上人数为$16+10=26$，占比为$\dfrac{26}{40} = \dfrac{13}{20}$；
《哪吒之魔童降世》：8分及以上人数为$9+6=15$，占比为$\dfrac{15}{30} = \dfrac{1}{2}$；
因为$\dfrac{13}{20}＞\dfrac{1}{2}$，所以《哪吒之魔童闹海》更受欢迎。
【答案】
22.(1)C；(2)63°；(3)《哪吒之魔童闹海》更受欢迎，理由是其8分及以上观众占比为$\dfrac{13}{20}$，高于《哪吒之魔童降世》的$\dfrac{1}{2}$。
【知识点】
抽样调查的样本选取、扇形统计图圆心角计算、数据的统计分析
【点评】
本题以热门电影评价调查为背景，将统计知识与实际情境结合，考查抽样的科学性、扇形统计图的计算以及数据对比分析能力，题目难度适中，注重基础统计知识的应用，适合学生巩固统计相关知识点。
【难度系数】
0.5
本题围绕电影评价的调查统计展开，分三个小问逐步考查统计知识的应用：
1. 第一问是抽样方法的合理性判断，抽样需满足样本具有代表性、广泛性，不能局限于某一群体，需分析各选项的局限性；
2. 第二问是扇形统计图圆心角计算，需先确定C组的频数，再利用“圆心角度数=（该组频数/总样本数）×360°”的公式计算；
3. 第三问是数据对比分析，需分别计算两部电影8分及以上（受喜爱）的观众占比，再比较占比大小得出结论。
【解析】
(1) 抽样调查的样本需具有代表性和广泛性，应覆盖不同特征的群体：
选项A仅抽取女性观众，样本不全面，缺乏代表性；
选项B仅抽取男女性观众，未考虑年龄层次，样本仍有局限性；
选项C覆盖了不同年龄层次的男女性观众，样本具有代表性和广泛性，故选C。
(2) 首先确定C组的频数为7，根据扇形圆心角公式：
C组所在扇形的圆心角度数 = $\dfrac{C组频数}{总样本数}×360° = \dfrac{7}{40}×360° = 63°$。
(3) 分别计算两部电影8分及以上的观众占比：
《哪吒之魔童闹海》：8分及以上人数为$16+10=26$，占比为$\dfrac{26}{40} = \dfrac{13}{20}$；
《哪吒之魔童降世》：8分及以上人数为$9+6=15$，占比为$\dfrac{15}{30} = \dfrac{1}{2}$；
因为$\dfrac{13}{20}＞\dfrac{1}{2}$，所以《哪吒之魔童闹海》更受欢迎。
【答案】
22.(1)C；(2)63°；(3)《哪吒之魔童闹海》更受欢迎，理由是其8分及以上观众占比为$\dfrac{13}{20}$，高于《哪吒之魔童降世》的$\dfrac{1}{2}$。
【知识点】
抽样调查的样本选取、扇形统计图圆心角计算、数据的统计分析
【点评】
本题以热门电影评价调查为背景，将统计知识与实际情境结合，考查抽样的科学性、扇形统计图的计算以及数据对比分析能力，题目难度适中，注重基础统计知识的应用，适合学生巩固统计相关知识点。
【难度系数】
0.5
