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23.(10分)如图,AB,CD和EF被BD所截,已知∠1=∠2,EG平分∠AEC交BD于点G。
(1)如图1,∠BAE=140°,∠FEG=15°,∠DCE=110°,试判断EF与CD的位置关系,并说明理由。
(2)如图2,已知AB//CD。
①若∠BAE=35°,∠FEG=30°,求∠C的度数。
②试探索∠BAE,∠FEG与∠C之间的数量关系。
(1)如图1,∠BAE=140°,∠FEG=15°,∠DCE=110°,试判断EF与CD的位置关系,并说明理由。
(2)如图2,已知AB//CD。
①若∠BAE=35°,∠FEG=30°,求∠C的度数。
②试探索∠BAE,∠FEG与∠C之间的数量关系。
答案
23.(1)$EF//CD$。理由如下:因为$∠1=∠2$,所以$AB//EF$。所以$∠AEF+∠BAE=180°$。因为$∠BAE=140°$,所以$∠AEF=180°-140°=40°$。因为$∠FEG=15°$,所以$∠AEG=40°+15°=55°$。因为$EG$平分$∠AEC$,所以$∠CEG=∠AEG=55°$。所以$∠CEF=∠CEG+∠FEG=70°$。又因为$∠DCE=110°$,所以$∠DCE+∠CEF=180°$。所以$EF//CD$。
(2)①因为$∠1=∠2$,所以$AB//EF$。所以$∠FEA=∠BAE=35°$。因为$∠FEG=30°$,所以$∠AEG=65°$。因为$EG$平分$∠AEC$,所以$∠CEG=∠AEG=65°$。所以$∠FEC=95°$。因为$AB//CD,AB//EF$,所以$EF//CD$。所以$∠C+∠FEC=180°$。所以$∠C=85°$。②因为$∠1=∠2$,所以$AB//EF$。所以$∠BAE=∠FEA$。因为$EG$平分$∠AEC$,所以$∠GEC=∠AEG=∠FEA+∠FEG$。所以$∠FEC=∠GEC+∠FEG=∠FEA+2∠FEG=∠BAE+2∠FEG$。因为$AB//CD,AB//EF$,所以$EF//CD$。所以$∠FEC+∠C=180°$。所以$∠BAE+2∠FEG+∠C=180°$。
(2)①因为$∠1=∠2$,所以$AB//EF$。所以$∠FEA=∠BAE=35°$。因为$∠FEG=30°$,所以$∠AEG=65°$。因为$EG$平分$∠AEC$,所以$∠CEG=∠AEG=65°$。所以$∠FEC=95°$。因为$AB//CD,AB//EF$,所以$EF//CD$。所以$∠C+∠FEC=180°$。所以$∠C=85°$。②因为$∠1=∠2$,所以$AB//EF$。所以$∠BAE=∠FEA$。因为$EG$平分$∠AEC$,所以$∠GEC=∠AEG=∠FEA+∠FEG$。所以$∠FEC=∠GEC+∠FEG=∠FEA+2∠FEG=∠BAE+2∠FEG$。因为$AB//CD,AB//EF$,所以$EF//CD$。所以$∠FEC+∠C=180°$。所以$∠BAE+2∠FEG+∠C=180°$。
解析
【分析】
要判断EF与CD的位置关系，先根据∠1=∠2，利用平行线的判定得到AB//EF；再结合已知的∠BAE，利用平行线的性质求出∠AEF，结合∠FEG算出∠AEG，由EG平分∠AEC得到∠CEG，进而求出∠CEF；最后通过∠DCE与∠CEF的和是否为180°，判断EF与CD是否平行。对于第二问，已知AB//CD，先由∠1=∠2得AB//EF，从而推出AB//EF//CD，再利用平行线的性质和角平分线的定义，通过角的和差关系计算角度或推导∠BAE、∠FEG与∠C的数量关系。
【解析】
(1) EF//CD，理由如下：
∵∠1=∠2，
∴AB//EF（同位角相等，两直线平行），
∴∠AEF + ∠BAE = 180°（两直线平行，同旁内角互补），
∵∠BAE=140°，
∴∠AEF=180°-140°=40°，
∵∠FEG=15°，
∴∠AEG=∠AEF + ∠FEG=40°+15°=55°，
∵EG平分∠AEC，
∴∠CEG=∠AEG=55°，
∴∠CEF=∠CEG + ∠FEG=55°+15°=70°，
又
∵∠DCE=110°，
∴∠DCE + ∠CEF=110°+70°=180°，
∴EF//CD（同旁内角互补，两直线平行）。
(2) ①
∵∠1=∠2，
∴AB//EF，
∴∠FEA=∠BAE=35°（两直线平行，内错角相等），
∵∠FEG=30°，
∴∠AEG=∠FEA + ∠FEG=35°+30°=65°，
∵EG平分∠AEC，
∴∠CEG=∠AEG=65°，
∴∠FEC=∠CEG + ∠FEG=65°+30°=95°，
∵AB//CD，AB//EF，
∴EF//CD，
∴∠C + ∠FEC=180°（两直线平行，同旁内角互补），
∴∠C=180°-95°=85°。
②
∵∠1=∠2，
∴AB//EF，
∴∠BAE=∠FEA（两直线平行，内错角相等），
∵EG平分∠AEC，
∴∠GEC=∠AEG=∠FEA + ∠FEG，
∴∠FEC=∠GEC + ∠FEG=∠FEA + 2∠FEG=∠BAE + 2∠FEG，
∵AB//CD，AB//EF，
∴EF//CD，
∴∠FEC + ∠C=180°（两直线平行，同旁内角互补），
∴∠BAE + 2∠FEG + ∠C=180°。
【答案】
(1) EF//CD；(2) ① ∠C=85°；② ∠BAE + 2∠FEG + ∠C=180°
【知识点】
平行线的判定与性质、角平分线的定义
【点评】
本题综合考查平行线的判定与性质、角平分线的定义，解题关键是熟练运用平行线定理，通过角的等量关系推导线的平行，或由线的平行推导角的关系，需理清角的和差关系，难度适中，适合中等水平学生解答。
【难度系数】
0.6
要判断EF与CD的位置关系，先根据∠1=∠2，利用平行线的判定得到AB//EF；再结合已知的∠BAE，利用平行线的性质求出∠AEF，结合∠FEG算出∠AEG，由EG平分∠AEC得到∠CEG，进而求出∠CEF；最后通过∠DCE与∠CEF的和是否为180°，判断EF与CD是否平行。对于第二问，已知AB//CD，先由∠1=∠2得AB//EF，从而推出AB//EF//CD，再利用平行线的性质和角平分线的定义，通过角的和差关系计算角度或推导∠BAE、∠FEG与∠C的数量关系。
【解析】
(1) EF//CD，理由如下：
∵∠1=∠2，
∴AB//EF（同位角相等，两直线平行），
∴∠AEF + ∠BAE = 180°（两直线平行，同旁内角互补），
∵∠BAE=140°，
∴∠AEF=180°-140°=40°，
∵∠FEG=15°，
∴∠AEG=∠AEF + ∠FEG=40°+15°=55°，
∵EG平分∠AEC，
∴∠CEG=∠AEG=55°，
∴∠CEF=∠CEG + ∠FEG=55°+15°=70°，
又
∵∠DCE=110°，
∴∠DCE + ∠CEF=110°+70°=180°，
∴EF//CD（同旁内角互补，两直线平行）。
(2) ①
∵∠1=∠2，
∴AB//EF，
∴∠FEA=∠BAE=35°（两直线平行，内错角相等），
∵∠FEG=30°，
∴∠AEG=∠FEA + ∠FEG=35°+30°=65°，
∵EG平分∠AEC，
∴∠CEG=∠AEG=65°，
∴∠FEC=∠CEG + ∠FEG=65°+30°=95°，
∵AB//CD，AB//EF，
∴EF//CD，
∴∠C + ∠FEC=180°（两直线平行，同旁内角互补），
∴∠C=180°-95°=85°。
②
∵∠1=∠2，
∴AB//EF，
∴∠BAE=∠FEA（两直线平行，内错角相等），
∵EG平分∠AEC，
∴∠GEC=∠AEG=∠FEA + ∠FEG，
∴∠FEC=∠GEC + ∠FEG=∠FEA + 2∠FEG=∠BAE + 2∠FEG，
∵AB//CD，AB//EF，
∴EF//CD，
∴∠FEC + ∠C=180°（两直线平行，同旁内角互补），
∴∠BAE + 2∠FEG + ∠C=180°。
【答案】
(1) EF//CD；(2) ① ∠C=85°；② ∠BAE + 2∠FEG + ∠C=180°
【知识点】
平行线的判定与性质、角平分线的定义
【点评】
本题综合考查平行线的判定与性质、角平分线的定义，解题关键是熟练运用平行线定理，通过角的等量关系推导线的平行，或由线的平行推导角的关系，需理清角的和差关系，难度适中，适合中等水平学生解答。
【难度系数】
0.6
