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24.(12分)某工厂需制作如图1的竖式与横式两种无盖木箱(单位:cm),制作木箱需要如图2的25cm×25cm的正方形木板和25cm×40cm的长方形木板。现工厂采购这两种木板,采购清单如下表。设正方形木板的单价为m元/块,已知购买的长方形木板的数量正好是正方形木板的2倍。
(1)请将表格填写完整(用含$m$的代数式表示),并求$m$的值。
(2)现将购买的木板制作这两种无盖木箱,求两种木箱各做多少个时恰好将木板用完。
(3)该工厂发现有一批尺寸为25cm×280cm的废旧木板,若用这批废旧木板切割成木箱所需的上述两种木板。
①如何切割才能将每块废旧木板恰好用完(不计损耗)?
②因工厂生产需要,还需制作竖式无盖木箱60个、横式无盖木箱50个,所有废旧木板恰好用完,则这批废旧木板共有多少块?
(1)请将表格填写完整(用含$m$的代数式表示),并求$m$的值。
(2)现将购买的木板制作这两种无盖木箱,求两种木箱各做多少个时恰好将木板用完。
(3)该工厂发现有一批尺寸为25cm×280cm的废旧木板,若用这批废旧木板切割成木箱所需的上述两种木板。
①如何切割才能将每块废旧木板恰好用完(不计损耗)?
②因工厂生产需要,还需制作竖式无盖木箱60个、横式无盖木箱50个,所有废旧木板恰好用完,则这批废旧木板共有多少块?
答案
24.(1)$\dfrac{120}{m}$ $\dfrac{300}{m+3}$ 根据题意得$\dfrac{120}{m}×2=\dfrac{300}{m+3}$,解得$m=12$,经检验,$m=12$是原方程的解,且符合题意。所以$m=12$。
(2)当$m=12$时,正方形木板的数量为$\dfrac{120}{m}=10$(块),长方形木板的数量为$\dfrac{300}{m+3}=20$(块)。设竖式无盖木箱做$x$个,横式无盖木箱做$y$个。根据题意得$\begin{cases} x+2y=10, \\4x+3y=20, \end{cases}$ 解得$\begin{cases} x=2, \\ y=4, \end{cases}$ 所以竖式无盖木箱做2个,横式无盖木箱做4个。
(3)①设每块废旧木板切割正方形木板$a$块,长方形木板$b$块。根据题意得$25a+40b=280$,整理得$b=7-\dfrac{5}{8}a$。因为$a,b$都是非负整数,所以$\begin{cases} a=0, \\ b=7 \end{cases}$ 或 $\begin{cases} a=8, \\ b=2。\end{cases}$ 所以有两种切割方式,第一种切割方式为长方形木板7块,第二种为正方形木板8块和长方形木板2块。②所需正方形木板$60×1+50×2=160$(块),长方形木板$60×4+50×3=390$(块)。所以第二种切割方式的木板为$160÷8=20$(块),第一种切割方式的木板为$(390-2×20)÷7=50$(块)。所以废旧木板共$20+50=70$(块)。
(2)当$m=12$时,正方形木板的数量为$\dfrac{120}{m}=10$(块),长方形木板的数量为$\dfrac{300}{m+3}=20$(块)。设竖式无盖木箱做$x$个,横式无盖木箱做$y$个。根据题意得$\begin{cases} x+2y=10, \\4x+3y=20, \end{cases}$ 解得$\begin{cases} x=2, \\ y=4, \end{cases}$ 所以竖式无盖木箱做2个,横式无盖木箱做4个。
(3)①设每块废旧木板切割正方形木板$a$块,长方形木板$b$块。根据题意得$25a+40b=280$,整理得$b=7-\dfrac{5}{8}a$。因为$a,b$都是非负整数,所以$\begin{cases} a=0, \\ b=7 \end{cases}$ 或 $\begin{cases} a=8, \\ b=2。\end{cases}$ 所以有两种切割方式,第一种切割方式为长方形木板7块,第二种为正方形木板8块和长方形木板2块。②所需正方形木板$60×1+50×2=160$(块),长方形木板$60×4+50×3=390$(块)。所以第二种切割方式的木板为$160÷8=20$(块),第一种切割方式的木板为$(390-2×20)÷7=50$(块)。所以废旧木板共$20+50=70$(块)。
解析
【分析】
本题是结合实际制作木箱的应用问题，分三小问逐步突破：第(1)问需利用总费用、单价与数量的关系，结合“长方形木板数量是正方形木板的2倍”列方程求m；第(2)问要先明确两种木箱的木板用量，再结合第(1)问的木板总数量建立二元一次方程组求解；第(3)问①需根据废旧木板尺寸建立不定方程，求非负整数解得到切割方式；②先计算制作指定木箱的木板需求，再结合两种切割方式的木板产出，计算所需废旧木板总数量。
【解析】
(1) 设正方形木板数量为$\dfrac{120}{m}$块，长方形木板数量为$\dfrac{300}{m+3}$块（长方形单价比正方形多3元）。
根据“长方形木板数量是正方形木板的2倍”，列方程：
$\dfrac{120}{m}×2=\dfrac{300}{m+3}$
解方程：
$240(m+3)=300m$
$240m+720=300m$
$60m=720$，解得$m=12$
经检验，$m=12$是原方程的解，符合题意，故$m=12$。
(2) 当$m=12$时，正方形木板数量为$\dfrac{120}{12}=10$块，长方形木板数量为$\dfrac{300}{12+3}=20$块。
设竖式无盖木箱做$x$个，横式无盖木箱做$y$个（竖式用1个正方形、4个长方形；横式用2个正方形、3个长方形），列方程组：
$\begin{cases} x + 2y =10 \\4x +3y=20 \end{cases}$
解得$\begin{cases} x=2 \\ y=4 \end{cases}$，即竖式木箱2个，横式木箱4个。
(3) ① 设每块废旧木板切割正方形木板$a$块，长方形木板$b$块，根据尺寸关系：
$25a +40b=280$，整理得$b=7-\dfrac{5}{8}a$。
因$a,b$为非负整数，故$\begin{cases} a=0 \\ b=7 \end{cases}$或$\begin{cases} a=8 \\ b=2 \end{cases}$，即两种切割方式：方式一：长方形木板7块；方式二：正方形木板8块、长方形木板2块。
② 制作60个竖式、50个横式木箱，需正方形木板：$60×1+50×2=160$块，需长方形木板：$60×4+50×3=390$块。
设方式二用$k$块废旧木板，方式一用$t$块废旧木板：
正方形需求：$8k=160$ → $k=20$；
长方形需求：$2k+7t=390$，代入$k=20$得$t=50$；
总废旧木板：$20+50=70$块。
【答案】
(1) $m=12$；(2) 竖式无盖木箱2个，横式无盖木箱4个；(3) ①两种切割方式：方式一为长方形木板7块，方式二为正方形木板8块、长方形木板2块；②70块
【知识点】
二元一次方程组应用、一元一次方程应用、不定方程整数解
【点评】
本题结合实际生产场景，需从图形中提取木箱的木板用量信息，关键是找准各问的等量关系，第(3)问的不定方程需注意非负整数解的限制，整体难度适中，考查学生的分析运算能力。
【难度系数】
0.5
本题是结合实际制作木箱的应用问题，分三小问逐步突破：第(1)问需利用总费用、单价与数量的关系，结合“长方形木板数量是正方形木板的2倍”列方程求m；第(2)问要先明确两种木箱的木板用量，再结合第(1)问的木板总数量建立二元一次方程组求解；第(3)问①需根据废旧木板尺寸建立不定方程，求非负整数解得到切割方式；②先计算制作指定木箱的木板需求，再结合两种切割方式的木板产出，计算所需废旧木板总数量。
【解析】
(1) 设正方形木板数量为$\dfrac{120}{m}$块，长方形木板数量为$\dfrac{300}{m+3}$块（长方形单价比正方形多3元）。
根据“长方形木板数量是正方形木板的2倍”，列方程：
$\dfrac{120}{m}×2=\dfrac{300}{m+3}$
解方程：
$240(m+3)=300m$
$240m+720=300m$
$60m=720$，解得$m=12$
经检验，$m=12$是原方程的解，符合题意，故$m=12$。
(2) 当$m=12$时，正方形木板数量为$\dfrac{120}{12}=10$块，长方形木板数量为$\dfrac{300}{12+3}=20$块。
设竖式无盖木箱做$x$个，横式无盖木箱做$y$个（竖式用1个正方形、4个长方形；横式用2个正方形、3个长方形），列方程组：
$\begin{cases} x + 2y =10 \\4x +3y=20 \end{cases}$
解得$\begin{cases} x=2 \\ y=4 \end{cases}$，即竖式木箱2个，横式木箱4个。
(3) ① 设每块废旧木板切割正方形木板$a$块，长方形木板$b$块，根据尺寸关系：
$25a +40b=280$，整理得$b=7-\dfrac{5}{8}a$。
因$a,b$为非负整数，故$\begin{cases} a=0 \\ b=7 \end{cases}$或$\begin{cases} a=8 \\ b=2 \end{cases}$，即两种切割方式：方式一：长方形木板7块；方式二：正方形木板8块、长方形木板2块。
② 制作60个竖式、50个横式木箱，需正方形木板：$60×1+50×2=160$块，需长方形木板：$60×4+50×3=390$块。
设方式二用$k$块废旧木板，方式一用$t$块废旧木板：
正方形需求：$8k=160$ → $k=20$；
长方形需求：$2k+7t=390$，代入$k=20$得$t=50$；
总废旧木板：$20+50=70$块。
【答案】
(1) $m=12$；(2) 竖式无盖木箱2个，横式无盖木箱4个；(3) ①两种切割方式：方式一为长方形木板7块，方式二为正方形木板8块、长方形木板2块；②70块
【知识点】
二元一次方程组应用、一元一次方程应用、不定方程整数解
【点评】
本题结合实际生产场景，需从图形中提取木箱的木板用量信息，关键是找准各问的等量关系，第(3)问的不定方程需注意非负整数解的限制，整体难度适中，考查学生的分析运算能力。
【难度系数】
0.5
