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5. 某雨伞的轴截面如图所示，伞骨$AB=AC$，支撑杆$OE=OF$，$AE=\frac{1}{3}AB$，$AF=\frac{1}{3}AC$。当点$O$沿$AD$滑动时，雨伞开闭。问：雨伞开闭过程中，$∠ BAD$与$∠ CAD$有何关系？请说明理由。
答案
5. $∠ BAD=∠ CAD$。理由如下:因为$AB=AC,AE=\frac{1}{3}AB,AF=\frac{1}{3}AC$,所以$AE=AF$。因为$OE=OF,AO=AO$,所以$△ AOE≌△ AOF$,所以$∠ BAD=∠ CAD$。
解析
【分析】
要判断∠BAD和∠CAD的关系，可通过证明两角所在的三角形全等求解。首先根据已知的AB=AC，以及AE、AF分别与AB、AC的数量关系，先推导得到AE=AF；再结合已知的OE=OF，以及两个三角形的公共边AO，可通过“边边边”判定△AOE和△AOF全等，最后根据全等三角形对应角相等即可得到两角的关系。
【解析】
解：∠BAD=∠CAD，理由如下：
∵ $AB=AC$，$AE=\frac{1}{3}AB$，$AF=\frac{1}{3}AC$
∴ $AE=AF$
在$△ AOE$和$△ AOF$中：
$\begin{cases}AE=AF\\OE=OF\\AO=AO \quad (\mathrm{公共边})\end{cases}$
∴ $△ AOE≌△ AOF$（SSS）
∴ $∠BAD=∠CAD$
【答案】
$∠BAD=∠CAD$
【知识点】
1. SSS判定三角形全等
2. 全等三角形的性质
【点评】
本题结合生活中雨伞开闭的实际场景，考查三角形全等的判定与性质的应用，解题的关键是根据已知边的关系推出证明全等所需的对应边相等，进而通过全等得到对应角相等，能够锻炼将实际问题转化为几何模型的能力。
【难度系数】
0.8
要判断∠BAD和∠CAD的关系，可通过证明两角所在的三角形全等求解。首先根据已知的AB=AC，以及AE、AF分别与AB、AC的数量关系，先推导得到AE=AF；再结合已知的OE=OF，以及两个三角形的公共边AO，可通过“边边边”判定△AOE和△AOF全等，最后根据全等三角形对应角相等即可得到两角的关系。
【解析】
解：∠BAD=∠CAD，理由如下：
∵ $AB=AC$，$AE=\frac{1}{3}AB$，$AF=\frac{1}{3}AC$
∴ $AE=AF$
在$△ AOE$和$△ AOF$中：
$\begin{cases}AE=AF\\OE=OF\\AO=AO \quad (\mathrm{公共边})\end{cases}$
∴ $△ AOE≌△ AOF$（SSS）
∴ $∠BAD=∠CAD$
【答案】
$∠BAD=∠CAD$
【知识点】
1. SSS判定三角形全等
2. 全等三角形的性质
【点评】
本题结合生活中雨伞开闭的实际场景，考查三角形全等的判定与性质的应用，解题的关键是根据已知边的关系推出证明全等所需的对应边相等，进而通过全等得到对应角相等，能够锻炼将实际问题转化为几何模型的能力。
【难度系数】
0.8
6. 如图,在△ABC和△BDE中,点C在边BD上,边AC交边BE于点F。若AC=BD,AB=ED,BC=BE,则∠ACB等于(
A.∠EDB
B.∠BED
C.$\frac{1}{2}$∠AFB
D.2∠ABF
C
)。A.∠EDB
B.∠BED
C.$\frac{1}{2}$∠AFB
D.2∠ABF
答案
6. C
解析
【分析】
首先观察题干给出的三组边对应相等的条件，可优先通过SSS判定定理证明△ABC与△DEB全等，得到对应角相等的关系；再结合三角形外角的性质，推导∠ACB与其他角的数量关系，最后匹配选项即可得出答案。
【解析】
在△ABC和△DEB中：
$\{\begin{array}{l}AC=BD(\mathrm{已知})\\ AB=ED(\mathrm{已知})\\ BC=BE(\mathrm{已知})\end{array} $
∴$△ ABC≌△ DEB(\mathrm{SSS})$
∴$∠ ACB=∠ DBE$（全等三角形的对应角相等）
∵$∠ AFB$是$△ BFC$的外角，根据三角形外角的性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和
∴$∠ AFB=∠ ACB+∠ DBE$
将$∠ DBE=∠ ACB$代入上式得：$∠ AFB=∠ ACB+∠ ACB=2∠ ACB$
整理得$∠ ACB=\frac{1}{2}∠ AFB$，故选C。
【答案】
C
【知识点】
SSS判定三角形全等、全等三角形的性质、三角形外角的性质
【点评】
本题是三角形全等与外角性质的综合应用题，解题的核心是先通过三边相等证明三角形全等，得到角的等量关系后结合外角性质推导角的倍数关系，是全等三角形章节的典型基础综合题。
【难度系数】
0.6
首先观察题干给出的三组边对应相等的条件，可优先通过SSS判定定理证明△ABC与△DEB全等，得到对应角相等的关系；再结合三角形外角的性质，推导∠ACB与其他角的数量关系，最后匹配选项即可得出答案。
【解析】
在△ABC和△DEB中：
$\{\begin{array}{l}AC=BD(\mathrm{已知})\\ AB=ED(\mathrm{已知})\\ BC=BE(\mathrm{已知})\end{array} $
∴$△ ABC≌△ DEB(\mathrm{SSS})$
∴$∠ ACB=∠ DBE$（全等三角形的对应角相等）
∵$∠ AFB$是$△ BFC$的外角，根据三角形外角的性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和
∴$∠ AFB=∠ ACB+∠ DBE$
将$∠ DBE=∠ ACB$代入上式得：$∠ AFB=∠ ACB+∠ ACB=2∠ ACB$
整理得$∠ ACB=\frac{1}{2}∠ AFB$，故选C。
【答案】
C
【知识点】
SSS判定三角形全等、全等三角形的性质、三角形外角的性质
【点评】
本题是三角形全等与外角性质的综合应用题，解题的核心是先通过三边相等证明三角形全等，得到角的等量关系后结合外角性质推导角的倍数关系，是全等三角形章节的典型基础综合题。
【难度系数】
0.6
7. 已知:如图,点B,C,B₁,C₁在同一条直线上,AC与A₁B₁的延长线相交于点D,AB=A₁B₁,AC=A₁C₁,BB₁=CC₁。求证:∠A=∠D。
答案
7. 由$BB_1=CC_1$,得$BC=B_1C_1$。又$AB=A_1B_1,AC=A_1C_1$,所以$△ ABC≌△ A_1B_1C_1$(SSS),所以$∠ B=∠ A_1B_1C_1$,从而得$AB// A_1B_1$,所以$∠ A=∠ D$。
解析
【分析】
要证明∠A=∠D，可通过证明AB//A₁B₁，利用平行线的内错角相等得到结论。要证两直线平行，需先证同位角∠B=∠A₁B₁C₁，这就需要证明△ABC≌△A₁B₁C₁。已知AB=A₁B₁、AC=A₁C₁，只需证第三条边BC=B₁C₁即可，结合已知BB₁=CC₁，根据等式的性质，两边同时减去公共线段CB₁就能得到BC=B₁C₁，进而用SSS判定三角形全等，后续逐步推导即可得到待证结论。
【解析】
证明：
∵ $BB_1=CC_1$（已知）
∴ $BB_1 - CB_1 = CC_1 - CB_1$（等式的性质），即$BC=B_1C_1$
在$△ ABC$和$△ A_1B_1C_1$中：
$\begin{cases}AB=A_1B_1（已知）\\AC=A_1C_1（已知）\\BC=B_1C_1（已证）\end{cases}$
∴ $△ ABC≌△ A_1B_1C_1$（SSS）
∴ $∠B=∠A_1B_1C_1$（全等三角形的对应角相等）
∴ $AB// A_1B_1$（同位角相等，两直线平行）
∴ $∠A=∠D$（两直线平行，内错角相等）
【答案】
∠A=∠D，得证
【知识点】
SSS判定三角形全等，全等三角形的性质，平行线的判定与性质
【点评】
本题属于基础几何证明题，解题核心是先通过线段的和差关系得到三角形全等所需的等边，再结合全等性质和平行线的性质推导待证角相等，逻辑链条清晰，主要考查基础的几何推理能力。
【难度系数】
0.7
要证明∠A=∠D，可通过证明AB//A₁B₁，利用平行线的内错角相等得到结论。要证两直线平行，需先证同位角∠B=∠A₁B₁C₁，这就需要证明△ABC≌△A₁B₁C₁。已知AB=A₁B₁、AC=A₁C₁，只需证第三条边BC=B₁C₁即可，结合已知BB₁=CC₁，根据等式的性质，两边同时减去公共线段CB₁就能得到BC=B₁C₁，进而用SSS判定三角形全等，后续逐步推导即可得到待证结论。
【解析】
证明：
∵ $BB_1=CC_1$（已知）
∴ $BB_1 - CB_1 = CC_1 - CB_1$（等式的性质），即$BC=B_1C_1$
在$△ ABC$和$△ A_1B_1C_1$中：
$\begin{cases}AB=A_1B_1（已知）\\AC=A_1C_1（已知）\\BC=B_1C_1（已证）\end{cases}$
∴ $△ ABC≌△ A_1B_1C_1$（SSS）
∴ $∠B=∠A_1B_1C_1$（全等三角形的对应角相等）
∴ $AB// A_1B_1$（同位角相等，两直线平行）
∴ $∠A=∠D$（两直线平行，内错角相等）
【答案】
∠A=∠D，得证
【知识点】
SSS判定三角形全等，全等三角形的性质，平行线的判定与性质
【点评】
本题属于基础几何证明题，解题核心是先通过线段的和差关系得到三角形全等所需的等边，再结合全等性质和平行线的性质推导待证角相等，逻辑链条清晰，主要考查基础的几何推理能力。
【难度系数】
0.7
