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14.(本小题满分10分)如图.
(1)图中共有多少个三角形？把它们写出来.
(2)以BC为边的三角形共有几个？把它们写出来.
(3)$∠ A$是哪些三角形的内角？把它们写出来.
(4)若$BD=BE=EC$，则图中的等腰三角形有哪些？把它们写出来.
(1)图中共有多少个三角形？把它们写出来.
(2)以BC为边的三角形共有几个？把它们写出来.
(3)$∠ A$是哪些三角形的内角？把它们写出来.
(4)若$BD=BE=EC$，则图中的等腰三角形有哪些？把它们写出来.
答案
14. 解 (1)7 个.$△ ADC$,$△ BDE$,$△ CEF$,$△ BCF$,$△ BCE$,$△ BCD$,$△ ABC$.
(2)4 个.$△ BCF$,$△ BCE$,$△ BCD$,$△ ABC$.
(3)$△ ADC$,$△ ABC$.
(4)$△ BDE$,$△ BEC$.
(2)4 个.$△ BCF$,$△ BCE$,$△ BCD$,$△ ABC$.
(3)$△ ADC$,$△ ABC$.
(4)$△ BDE$,$△ BEC$.
解析
【分析】
（1）数三角形个数时，要按有序的规则计数，可先数单个小三角形，再数由多部分组成的大三角形，避免重复或遗漏。
（2）找以BC为边的三角形，只需固定边BC，查找不同的第三个顶点即可得到对应三角形。
（3）找∠A为内角的三角形，只需筛选三个顶点包含A，且另外两个顶点分别在∠A的两条边AB、AC上的三角形即可。
（4）根据等腰三角形“有两条边相等的三角形是等腰三角形”的判定，结合已知BD=BE=EC的条件，逐一匹配符合条件的三角形即可。
【解析】
(1) 按从小到大的顺序计数：单个小三角形有△ADC、△BDE、△CEF、△BCF共4个；两部分组成的三角形有△BCE共1个；三部分组成的三角形有△BCD共1个；最大的三角形为△ABC共1个，总共有$4+1+1+1=7$个，分别是△ADC,△BDE,△CEF,△BCF,△BCE,△BCD,△ABC。
(2) 固定边BC，第三个顶点依次为F、E、D、A，因此以BC为边的三角形共4个，分别是△BCF,△BCE,△BCD,△ABC。
(3) 包含顶点A且以∠A为内角的三角形，需另外两个顶点分别在AB、AC边上，符合条件的是△ADC和△ABC。
(4) 根据等腰三角形的判定：已知$BD=BE$，因此△BDE是等腰三角形；又$BE=EC$，因此△BEC是等腰三角形。
【答案】
(1)7 个.$△ ADC$,$△ BDE$,$△ CEF$,$△ BCF$,$△ BCE$,$△ BCD$,$△ ABC$.
(2)4 个.$△ BCF$,$△ BCE$,$△ BCD$,$△ ABC$.
(3)$△ ADC$,$△ ABC$.
(4)$△ BDE$,$△ BEC$.
【知识点】
三角形的识别；等腰三角形的判定；三角形内角定义
【点评】
本题属于基础概念考察题，解题的核心是计数时遵循有序原则，避免重复或遗漏，熟练掌握三角形、等腰三角形的相关基础定义即可正确解答。
【难度系数】
0.8
（1）数三角形个数时，要按有序的规则计数，可先数单个小三角形，再数由多部分组成的大三角形，避免重复或遗漏。
（2）找以BC为边的三角形，只需固定边BC，查找不同的第三个顶点即可得到对应三角形。
（3）找∠A为内角的三角形，只需筛选三个顶点包含A，且另外两个顶点分别在∠A的两条边AB、AC上的三角形即可。
（4）根据等腰三角形“有两条边相等的三角形是等腰三角形”的判定，结合已知BD=BE=EC的条件，逐一匹配符合条件的三角形即可。
【解析】
(1) 按从小到大的顺序计数：单个小三角形有△ADC、△BDE、△CEF、△BCF共4个；两部分组成的三角形有△BCE共1个；三部分组成的三角形有△BCD共1个；最大的三角形为△ABC共1个，总共有$4+1+1+1=7$个，分别是△ADC,△BDE,△CEF,△BCF,△BCE,△BCD,△ABC。
(2) 固定边BC，第三个顶点依次为F、E、D、A，因此以BC为边的三角形共4个，分别是△BCF,△BCE,△BCD,△ABC。
(3) 包含顶点A且以∠A为内角的三角形，需另外两个顶点分别在AB、AC边上，符合条件的是△ADC和△ABC。
(4) 根据等腰三角形的判定：已知$BD=BE$，因此△BDE是等腰三角形；又$BE=EC$，因此△BEC是等腰三角形。
【答案】
(1)7 个.$△ ADC$,$△ BDE$,$△ CEF$,$△ BCF$,$△ BCE$,$△ BCD$,$△ ABC$.
(2)4 个.$△ BCF$,$△ BCE$,$△ BCD$,$△ ABC$.
(3)$△ ADC$,$△ ABC$.
(4)$△ BDE$,$△ BEC$.
【知识点】
三角形的识别；等腰三角形的判定；三角形内角定义
【点评】
本题属于基础概念考察题，解题的核心是计数时遵循有序原则，避免重复或遗漏，熟练掌握三角形、等腰三角形的相关基础定义即可正确解答。
【难度系数】
0.8
15.(本小题满分10分)在$△ ABC$中，$AB=AC$，$AC$边上的中线$BD$把$△ ABC$的周长分为24 cm和30 cm的两部分，求$△ ABC$各边的长.
答案
15. 解 设$AB=AC=2x$ cm,$BC=y$ cm,
$\because D$ 是$AC$ 的中点,$\therefore AD=CD=\frac{1}{2}AC=x$ cm.
$\because BD$ 把$△ ABC$ 的周长分为 24 cm 和 30 cm 的两部分,
$\therefore$①$\begin{cases}2x+x=24,\\x+y=30,\end{cases}$ 解得$\begin{cases}x=8,\\y=22.\end{cases}$
$\therefore AB=AC=2x=16$ cm,$BC=22$ cm,能构成三角形.
②$\begin{cases}2x+x=30,\\x+y=24,\end{cases}$ 解得$\begin{cases}x=10,\\y=14.\end{cases}$
$\therefore AB=AC=2x=20$ cm,$BC=14$ cm,能构成三角形.
综上,$△ ABC$ 的各边是 16 cm,16 cm,22 cm 或 20 cm,20 cm,14 cm.
$\because D$ 是$AC$ 的中点,$\therefore AD=CD=\frac{1}{2}AC=x$ cm.
$\because BD$ 把$△ ABC$ 的周长分为 24 cm 和 30 cm 的两部分,
$\therefore$①$\begin{cases}2x+x=24,\\x+y=30,\end{cases}$ 解得$\begin{cases}x=8,\\y=22.\end{cases}$
$\therefore AB=AC=2x=16$ cm,$BC=22$ cm,能构成三角形.
②$\begin{cases}2x+x=30,\\x+y=24,\end{cases}$ 解得$\begin{cases}x=10,\\y=14.\end{cases}$
$\therefore AB=AC=2x=20$ cm,$BC=14$ cm,能构成三角形.
综上,$△ ABC$ 的各边是 16 cm,16 cm,22 cm 或 20 cm,20 cm,14 cm.
解析
【分析】
本题是等腰三角形与周长结合的问题，解题思路如下：首先根据AB=AC可知△ABC是等腰三角形，BD是AC边上的中线，因此AD=CD。题目仅说明BD将周长分为24cm和30cm两部分，未明确哪一部分包含AB边，因此需要分两种情况讨论：①AB+AD的和为24cm，BC+CD的和为30cm；②AB+AD的和为30cm，BC+CD的和为24cm。设未知数列出方程组求解后，必须根据三角形三边关系检验所得的三边长能否构成三角形，排除不符合条件的解。
【解析】
设$AB=AC=2x$ cm，$BC=y$ cm，
$\because D$是$AC$的中点，$\therefore AD=CD=\frac{1}{2}AC=x$ cm。
$\because BD$把$△ ABC$的周长分为24 cm和30 cm的两部分，分两种情况讨论：
① 当$AB+AD=24$ cm，$BC+CD=30$ cm时，
列方程组得$\begin{cases}2x+x=24\\x+y=30\end{cases}$，
解得$\begin{cases}x=8\\y=22\end{cases}$，
此时$AB=AC=2×8=16$ cm，$BC=22$ cm，
经检验，$16+16＞22$，满足三角形三边关系，可构成三角形。
② 当$AB+AD=30$ cm，$BC+CD=24$ cm时，
列方程组得$\begin{cases}2x+x=30\\x+y=24\end{cases}$，
解得$\begin{cases}x=10\\y=14\end{cases}$，
此时$AB=AC=2×10=20$ cm，$BC=14$ cm，
经检验，$20+20＞14$，满足三角形三边关系，可构成三角形。
【答案】
$△ ABC$的各边的长为16 cm，16 cm，22 cm或20 cm，20 cm，14 cm。
【知识点】
等腰三角形的性质；三角形三边关系；分类讨论思想
【点评】
本题属于等腰三角形相关的常规易错题，解题的关键是明确周长被分成的两部分的对应情况，避免漏解，同时要养成解出边长后验证三边关系的习惯，排除不符合题意的增解。
【难度系数】
0.6
本题是等腰三角形与周长结合的问题，解题思路如下：首先根据AB=AC可知△ABC是等腰三角形，BD是AC边上的中线，因此AD=CD。题目仅说明BD将周长分为24cm和30cm两部分，未明确哪一部分包含AB边，因此需要分两种情况讨论：①AB+AD的和为24cm，BC+CD的和为30cm；②AB+AD的和为30cm，BC+CD的和为24cm。设未知数列出方程组求解后，必须根据三角形三边关系检验所得的三边长能否构成三角形，排除不符合条件的解。
【解析】
设$AB=AC=2x$ cm，$BC=y$ cm，
$\because D$是$AC$的中点，$\therefore AD=CD=\frac{1}{2}AC=x$ cm。
$\because BD$把$△ ABC$的周长分为24 cm和30 cm的两部分，分两种情况讨论：
① 当$AB+AD=24$ cm，$BC+CD=30$ cm时，
列方程组得$\begin{cases}2x+x=24\\x+y=30\end{cases}$，
解得$\begin{cases}x=8\\y=22\end{cases}$，
此时$AB=AC=2×8=16$ cm，$BC=22$ cm，
经检验，$16+16＞22$，满足三角形三边关系，可构成三角形。
② 当$AB+AD=30$ cm，$BC+CD=24$ cm时，
列方程组得$\begin{cases}2x+x=30\\x+y=24\end{cases}$，
解得$\begin{cases}x=10\\y=14\end{cases}$，
此时$AB=AC=2×10=20$ cm，$BC=14$ cm，
经检验，$20+20＞14$，满足三角形三边关系，可构成三角形。
【答案】
$△ ABC$的各边的长为16 cm，16 cm，22 cm或20 cm，20 cm，14 cm。
【知识点】
等腰三角形的性质；三角形三边关系；分类讨论思想
【点评】
本题属于等腰三角形相关的常规易错题，解题的关键是明确周长被分成的两部分的对应情况，避免漏解，同时要养成解出边长后验证三边关系的习惯，排除不符合题意的增解。
【难度系数】
0.6
16.(本小题满分12分)如图,在△ABC中,点D在BC上,点E在AC上,AD交BE于点F.已知EG//AD交BC于点G,EH⊥BE交BC于点H,∠HEG=50°.
(1)求∠BFD的度数;
(2)若∠BAD=∠EBC,∠C=41°,求∠BAC的度数.
(1)求∠BFD的度数;
(2)若∠BAD=∠EBC,∠C=41°,求∠BAC的度数.
答案
16. 解 (1)$\because EH⊥ BE$,
$\therefore∠ BEH=90°$.
$\because∠ HEG=50°$,
$\therefore∠ BEG=40°$.
$\because EG// AD$,
$\therefore∠ BFD=∠ BEG=40°$.
(2)$\because∠ BFD=∠ BAD+∠ ABE$,$∠ BAD=∠ EBC$,
$\therefore∠ BFD=∠ EBC+∠ ABE=∠ ABC=40°$,
$\because∠ C=41°$,
$\therefore∠ BAC=180°-∠ ABC-∠ C=180°-40°-41°=99°$.
$\therefore∠ BEH=90°$.
$\because∠ HEG=50°$,
$\therefore∠ BEG=40°$.
$\because EG// AD$,
$\therefore∠ BFD=∠ BEG=40°$.
(2)$\because∠ BFD=∠ BAD+∠ ABE$,$∠ BAD=∠ EBC$,
$\therefore∠ BFD=∠ EBC+∠ ABE=∠ ABC=40°$,
$\because∠ C=41°$,
$\therefore∠ BAC=180°-∠ ABC-∠ C=180°-40°-41°=99°$.
解析
【分析】
(1) 求∠BFD度数时，先从已知垂直条件入手：由EH⊥BE得到∠BEH=90°，结合已知∠HEG=50°先算出∠BEG的度数；再利用EG和AD平行的性质，通过同位角相等即可得到∠BFD的度数。
(2) 求∠BAC度数时，首先利用三角形外角的性质，得到∠BFD等于△ABF中两个不相邻内角∠BAD、∠ABE的和；再结合∠BAD=∠EBC的条件，将角替换后可推出∠BFD=∠ABC，得到∠ABC的度数后，最后根据三角形内角和为180°，减去∠ABC和∠C的度数，即可求出∠BAC。
【解析】
(1) $\because EH⊥ BE$，
$\therefore ∠ BEH=90°$，
$\because ∠ HEG=50°$，
$\therefore ∠ BEG=∠ BEH-∠ HEG=90°-50°=40°$，
又$\because EG// AD$，
$\therefore ∠ BFD=∠ BEG=40°$（两直线平行，同位角相等）。
(2) $\because ∠ BFD$是$△ ABF$的外角，
$\therefore ∠ BFD=∠ BAD+∠ ABE$，
又$\because ∠ BAD=∠ EBC$，
$\therefore ∠ BFD=∠ EBC+∠ ABE=∠ ABC=40°$，
在$△ ABC$中，$∠ BAC+∠ ABC+∠ C=180°$，且$∠ C=41°$，
$\therefore ∠ BAC=180°-∠ ABC-∠ C=180°-40°-41°=99°$。
【答案】
(1) $\boxed{40°}$
(2) $\boxed{99°}$
【知识点】
平行线的性质；三角形外角的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题属于几何基础综合题，解题核心是准确梳理图形中角的位置与数量关系，灵活运用相关性质定理完成角的转化和计算，能较好地锻炼几何逻辑推理能力。
【难度系数】
0.7
(1) 求∠BFD度数时，先从已知垂直条件入手：由EH⊥BE得到∠BEH=90°，结合已知∠HEG=50°先算出∠BEG的度数；再利用EG和AD平行的性质，通过同位角相等即可得到∠BFD的度数。
(2) 求∠BAC度数时，首先利用三角形外角的性质，得到∠BFD等于△ABF中两个不相邻内角∠BAD、∠ABE的和；再结合∠BAD=∠EBC的条件，将角替换后可推出∠BFD=∠ABC，得到∠ABC的度数后，最后根据三角形内角和为180°，减去∠ABC和∠C的度数，即可求出∠BAC。
【解析】
(1) $\because EH⊥ BE$，
$\therefore ∠ BEH=90°$，
$\because ∠ HEG=50°$，
$\therefore ∠ BEG=∠ BEH-∠ HEG=90°-50°=40°$，
又$\because EG// AD$，
$\therefore ∠ BFD=∠ BEG=40°$（两直线平行，同位角相等）。
(2) $\because ∠ BFD$是$△ ABF$的外角，
$\therefore ∠ BFD=∠ BAD+∠ ABE$，
又$\because ∠ BAD=∠ EBC$，
$\therefore ∠ BFD=∠ EBC+∠ ABE=∠ ABC=40°$，
在$△ ABC$中，$∠ BAC+∠ ABC+∠ C=180°$，且$∠ C=41°$，
$\therefore ∠ BAC=180°-∠ ABC-∠ C=180°-40°-41°=99°$。
【答案】
(1) $\boxed{40°}$
(2) $\boxed{99°}$
【知识点】
平行线的性质；三角形外角的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题属于几何基础综合题，解题核心是准确梳理图形中角的位置与数量关系，灵活运用相关性质定理完成角的转化和计算，能较好地锻炼几何逻辑推理能力。
【难度系数】
0.7
