8. 如图，∠1，∠2，∠3，∠4的关系正确的是().

A.$∠1+∠2=∠3+∠4$
B.$∠1+∠2=∠4-∠3$
C.$∠1-∠3=∠2-∠4$
D.$∠1+∠3=∠2+∠4$

8. B

【分析】
解题时可通过引入中间过渡角，结合三角形外角性质与三角形内角和定理推导四个角的数量关系。第一步先利用外角性质得到∠4与∠3、过渡角的等量关系，第二步利用三角形内角和得到过渡角与∠1、∠2的等量关系，最后联立两个式子即可得到∠1、∠2、∠3、∠4的关系，匹配对应选项。
【解析】
设含∠3的小三角形中，与∠3不相邻的内角为∠5。
1. 根据三角形外角的性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和，∠4是该小三角形的外角，因此可得：
$∠ 4 = ∠ 3 + ∠ 5$，变形得$∠ 5 = ∠ 4 - ∠ 3$。
2. 观察含∠1、∠2的三角形，其第三个内角与∠5互为邻补角，根据三角形内角和为$180°$，可得：
$∠ 1 + ∠ 2 + (180° - ∠ 5) = 180°$，化简后得$∠ 1 + ∠ 2 = ∠ 5$。
3. 将$∠ 5 = ∠ 4 - ∠ 3$代入$∠ 1 + ∠ 2 = ∠ 5$，可得：
$∠ 1 + ∠ 2 = ∠ 4 - ∠ 3$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
三角形外角性质；三角形内角和定理
【点评】
本题重点考查三角形角相关性质的灵活运用，解题的核心是找到连接两组角的中间过渡角，避免混淆外角对应的不相邻内角即可顺利推导。
【难度系数】
0.7

二、填空题(共4小题,每小题3分,共12分)
9. 已知$a,b,c$是一个三角形的三条边长.化简$|a+b-c|-|a-b+c|+|a-b-c|=$.

9. $-a+3b-c$

【分析】
要化简含绝对值的式子，首先需要判断每个绝对值内部表达式的正负性，再根据绝对值的性质去掉绝对值符号，最后合并同类项得到结果。判断符号时需用到三角形的三边关系：三角形任意两边之和大于第三边。我们先逐个分析三个绝对值内表达式的正负，再代入原式化简即可。
【解析】
根据三角形三边关系“任意两边之和大于第三边”，可得：
1. $a + b ＞ c$，因此$a + b - c ＞ 0$，故$|a+b-c|=a+b-c$；
2. $a + c ＞ b$，因此$a - b + c = (a + c) - b ＞ 0$，故$|a-b+c|=a-b+c$；
3. $b + c ＞ a$，因此$a - b - c = a - (b + c) ＜ 0$，故$|a-b-c|=-(a-b-c)=-a+b+c$。
将上述结果代入原式计算：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=(a+b-c) - (a-b+c) + (-a+b+c)\\&=a+b-c -a +b -c -a +b +c\\&=-a + 3b -c\end{aligned}$
【答案】
$-a+3b-c$
【知识点】
三角形三边关系；绝对值的性质；整式的加减
【点评】
本题是三角形三边关系与绝对值化简、整式运算的结合类基础题，解题核心是利用三角形三边关系准确判断绝对值内表达式的正负，去括号时要注意符号变化，避免因符号错误失分。
【难度系数】
0.7

10. 如图,经测量,B处在A处的南偏西$60°$方向,C处在A处的南偏东$20°$方向,BE为正北方向,AD为正南方向,$∠ CBE=100°$,则$∠ ACB$的度数是.

（第10题图）
（第11题图）
（第12题图）

10. $60°$

【分析】
解题时先明确正北、正南方向线互相平行，先利用平行线的内错角相等求出∠ABE的度数，结合已知的∠CBE计算出∠ABC的度数；再根据A处的两个方向角求出△ABC中∠BAC的度数，最后用三角形内角和定理即可求出∠ACB的度数。
【解析】
∵BE为正北方向，AD为正南方向，
∴$BE// AD$，
∵B处在A处的南偏西$60°$方向，
∴$∠ BAD=60°$，根据两直线平行，内错角相等，得$∠ ABE=∠ BAD=60°$，
∵$∠ CBE=100°$，
∴$∠ ABC=∠ CBE-∠ ABE=100°-60°=40°$，
∵C处在A处的南偏东$20°$方向，
∴$∠ CAD=20°$，
∴$∠ BAC=∠ BAD+∠ CAD=60°+20°=80°$，
在$△ ABC$中，由三角形内角和为$180°$得：
$∠ ACB=180°-∠ BAC-∠ ABC=180°-80°-40°=60°$。
【答案】
$60°$
【知识点】
方向角的识别，平行线的性质，三角形内角和定理
【点评】
本题是方向角与几何计算的结合类题目，核心是准确理解方向角的定义，找到平行直线的角的关系，再结合三角形内角和公式求解，属于几何基础应用题。
【难度系数】
0.7

11.如图,已知AD是$△ ABC$的中线,BE是$△ ABD$的中线,若$△ ABC$的面积为16,则$△ ABE$的面积为.

11. 4

【分析】
解题时利用三角形中线的性质：三角形的中线将三角形分成两个等底同高、面积相等的小三角形。首先根据AD是△ABC的中线，求出△ABD的面积，再根据BE是△ABD的中线，求出△ABE的面积即可。
【解析】
解：
∵AD是△ABC的中线，
∴BD=CD，△ABD与△ACD等底同高，
∴$S_{△ ABD}=\frac{1}{2}S_{△ ABC}$，
已知$S_{△ ABC}=16$，
∴$S_{△ ABD}=\frac{1}{2}×16=8$。
又
∵BE是△ABD的中线，
∴AE=DE，△ABE与△DBE等底同高，
∴$S_{△ ABE}=\frac{1}{2}S_{△ ABD}$，
∴$S_{△ ABE}=\frac{1}{2}×8=4$。
【答案】
4
【知识点】
三角形中线的性质；等底同高三角形面积相等；三角形面积计算
【点评】
本题属于基础题型，核心是理解三角形中线能将原三角形分成两个面积相等的小三角形，多次运用该性质即可快速得到结果。
【难度系数】
0.8

12.如图,已知 EF 与 BD 的延长线相交于点 P,AB//CD,∠P=15°,∠CFP=100°,则∠ABP 的大小为.

12. $85°$

【分析】
要求∠ABP的度数，已知AB//CD，可先利用平行线的性质将∠ABP转化为与之相等的同位角∠CDP（即∠PDF）。接下来结合已知角度，先由邻补角的性质求出△PDF中∠PFD的度数，再根据三角形内角和定理计算出∠PDF的度数，即可得到∠ABP的大小。
【解析】
解：
∵∠CFP与∠PFD互为邻补角，∠CFP=100°
∴∠PFD=180°-∠CFP=180°-100°=80°
在△PDF中，∠P=15°，∠PFD=80°，根据三角形内角和为180°可得：
∠PDF=180°-∠P-∠PFD=180°-15°-80°=85°
又
∵AB//CD
∴∠ABP=∠PDF=85°（两直线平行，同位角相等）
【答案】
85°
【知识点】
平行线的性质，三角形内角和定理，邻补角的性质
【点评】
本题是几何基础计算题，解题核心是通过平行线的性质实现角度的转化，再结合三角形内角和、邻补角的性质求解，掌握基础几何性质就能顺利解题。
【难度系数】
0.7

三、解答题(共6小题,共64分)
13.(本小题满分7分)如图,在$△ ABC$中,$∠ A=60°$,$BP$平分$∠ ABC$,$CP$平分$∠ ACB$,求$∠ BPC$的度数.

13. 解
∵在$△ ABC$ 中,$∠ A=60°$,
$\therefore∠ ABC+∠ ACB=120°$.
$\because BP$ 平分$∠ ABC$,$CP$ 平分$∠ ACB$,
$\therefore∠ PBC+∠ PCB=\frac{1}{2}(∠ ABC+∠ ACB)=60°$.
$\because∠ PBC+∠ PCB+∠ BPC=180°$,
$\therefore∠ BPC=180°-60°=120°$.

【分析】
要计算∠BPC的度数，可按以下思路推导：首先利用三角形内角和定理，结合已知∠A的度数，先求出△ABC中∠ABC与∠ACB的度数和；再根据角平分线的定义，得出∠PBC、∠PCB分别是∠ABC、∠ACB的一半，进而求出△PBC中两个内角∠PBC+∠PCB的和；最后再次利用三角形内角和定理，在△PBC中即可求出∠BPC的度数。
【解析】
解：
∵在△ABC中，∠A=60°，三角形内角和为180°
∴∠ABC+∠ACB=180°-∠A=180°-60°=120°
∵BP平分∠ABC，CP平分∠ACB
∴∠PBC=$\frac{1}{2}$∠ABC，∠PCB=$\frac{1}{2}$∠ACB
∴∠PBC+∠PCB=$\frac{1}{2}$(∠ABC+∠ACB)=$\frac{1}{2}$×120°=60°
∵在△PBC中，∠PBC+∠PCB+∠BPC=180°
∴∠BPC=180°-(∠PBC+∠PCB)=180°-60°=120°
【答案】
120°
【知识点】
三角形内角和定理；角平分线的定义
【点评】
本题是三角形性质的基础综合题，解题时采用整体思想计算∠PBC与∠PCB的和，无需单独求解两个角的度数，可简化运算，熟练掌握基础定理即可快速解答。
【难度系数】
0.8