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分式的混合运算
式与数有相同的混合运算顺序，涉及分式的混合运算，也要先
式与数有相同的混合运算顺序，涉及分式的混合运算，也要先
乘方
，再乘除
，然后加减
。答案
乘方 乘除 加减
解析
【分析】
解题时先回忆已学的有理数混合运算顺序，题目明确说明式与数的混合运算顺序相同，因此可以直接将数的运算顺序迁移到分式运算中，按照运算优先级从高到低的规律对应填空即可。
【解析】
我们已经学过有理数的混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号内的运算。题干明确分式混合运算与数的混合运算顺序一致，因此三个空依次对应填写乘方、乘除、加减。
【答案】
乘方 乘除 加减
【知识点】
1. 分式混合运算顺序
2. 有理数混合运算顺序
【点评】
本题是基础概念识记题，主要考查分式混合运算的基本规则，是开展复杂分式运算的基础，需要学生熟练掌握相关结论。
【难度系数】
0.9
解题时先回忆已学的有理数混合运算顺序，题目明确说明式与数的混合运算顺序相同，因此可以直接将数的运算顺序迁移到分式运算中，按照运算优先级从高到低的规律对应填空即可。
【解析】
我们已经学过有理数的混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号内的运算。题干明确分式混合运算与数的混合运算顺序一致，因此三个空依次对应填写乘方、乘除、加减。
【答案】
乘方 乘除 加减
【知识点】
1. 分式混合运算顺序
2. 有理数混合运算顺序
【点评】
本题是基础概念识记题，主要考查分式混合运算的基本规则，是开展复杂分式运算的基础，需要学生熟练掌握相关结论。
【难度系数】
0.9
1. 分式的混合运算
[典例1]计算: $\frac{2x^2 + 2}{x^2 - 2x + 1} ÷ (x - 1 + \frac{x^2 + 2x + 1}{x - 1})$。
规律方法 (1)对于分式的混合运算，应先将除法运算转化为乘法运算，异分母分式相加减转化为同分母分式相加减。
(2)在运算过程中，既要注意正确运用运算法则，又要灵活运用交换律、结合律、分配律，注意运算技巧。
[举一反三]计算: $(x - 4 + \frac{9}{x + 2}) ÷ \frac{(x - 1)^2}{x^2 - 4}$。
[典例1]计算: $\frac{2x^2 + 2}{x^2 - 2x + 1} ÷ (x - 1 + \frac{x^2 + 2x + 1}{x - 1})$。
规律方法 (1)对于分式的混合运算，应先将除法运算转化为乘法运算，异分母分式相加减转化为同分母分式相加减。
(2)在运算过程中，既要注意正确运用运算法则，又要灵活运用交换律、结合律、分配律，注意运算技巧。
[举一反三]计算: $(x - 4 + \frac{9}{x + 2}) ÷ \frac{(x - 1)^2}{x^2 - 4}$。
答案
解 $(x - 4 + \frac{9}{x + 2}) ÷ \frac{(x - 1)^2}{x^2 - 4}$
$=(\frac{x^2 - 2x - 8}{x + 2} + \frac{9}{x + 2}) ÷ \frac{(x - 1)^2}{x^2 - 4}$
$=\frac{x^2 - 2x + 1}{x + 2} · \frac{x^2 - 4}{(x - 1)^2}$
$=\frac{(x - 1)^2}{x + 2} · \frac{(x + 2)(x - 2)}{(x - 1)^2}$
$=x - 2.$
$=(\frac{x^2 - 2x - 8}{x + 2} + \frac{9}{x + 2}) ÷ \frac{(x - 1)^2}{x^2 - 4}$
$=\frac{x^2 - 2x + 1}{x + 2} · \frac{x^2 - 4}{(x - 1)^2}$
$=\frac{(x - 1)^2}{x + 2} · \frac{(x + 2)(x - 2)}{(x - 1)^2}$
$=x - 2.$
解析
【分析】
这是分式的混合运算题，按运算顺序逐步推导即可：①先处理括号内的运算：括号内是整式与分式相加，先通分，把整式转化为分母为$(x+2)$的分式，再按照同分母分式加减法则计算；②再处理除法运算：将除法转化为乘以除数的倒数，同时对分子、分母中能因式分解的多项式（完全平方式、平方差形式）进行因式分解；③最后约去分子分母的公因式，得到最简结果。
【解析】
$\begin{aligned}&(x - 4 + \frac{9}{x + 2}) ÷ \frac{(x - 1)^2}{x^2 - 4}\\=&(\frac{x^2 - 2x - 8}{x + 2} + \frac{9}{x + 2}) ÷ \frac{(x - 1)^2}{x^2 - 4}\\=&\frac{x^2 - 2x + 1}{x + 2} · \frac{x^2 - 4}{(x - 1)^2}\\=&\frac{(x - 1)^2}{x + 2} · \frac{(x + 2)(x - 2)}{(x - 1)^2}\\=&x - 2\end{aligned}$
【答案】
$x-2$
【知识点】
1.分式的混合运算
2.因式分解
3.分式约分
【点评】
本题是分式混合运算的基础题型，核心是遵循“先括号内、后括号外，先乘除、后加减”的运算规则，运算前先对多项式因式分解能简化约分步骤，降低出错概率。
【难度系数】
0.75
这是分式的混合运算题，按运算顺序逐步推导即可：①先处理括号内的运算：括号内是整式与分式相加，先通分，把整式转化为分母为$(x+2)$的分式，再按照同分母分式加减法则计算；②再处理除法运算：将除法转化为乘以除数的倒数，同时对分子、分母中能因式分解的多项式（完全平方式、平方差形式）进行因式分解；③最后约去分子分母的公因式，得到最简结果。
【解析】
$\begin{aligned}&(x - 4 + \frac{9}{x + 2}) ÷ \frac{(x - 1)^2}{x^2 - 4}\\=&(\frac{x^2 - 2x - 8}{x + 2} + \frac{9}{x + 2}) ÷ \frac{(x - 1)^2}{x^2 - 4}\\=&\frac{x^2 - 2x + 1}{x + 2} · \frac{x^2 - 4}{(x - 1)^2}\\=&\frac{(x - 1)^2}{x + 2} · \frac{(x + 2)(x - 2)}{(x - 1)^2}\\=&x - 2\end{aligned}$
【答案】
$x-2$
【知识点】
1.分式的混合运算
2.因式分解
3.分式约分
【点评】
本题是分式混合运算的基础题型，核心是遵循“先括号内、后括号外，先乘除、后加减”的运算规则，运算前先对多项式因式分解能简化约分步骤，降低出错概率。
【难度系数】
0.75
[典例2]为了促进旅游业的发展，某度假村计划修一条1 000 m的观光隧道.现有甲、乙两个工程队，若甲工程队单独做需要x天完成；若乙工程队单独做需要$y(0＜x＜y)$天完成.
(1)求甲工程队与乙工程队的工作效率之差；
(2)若甲、乙两工程队一起完成这项工程，则需要多长时间？
(1)求甲工程队与乙工程队的工作效率之差；
(2)若甲、乙两工程队一起完成这项工程，则需要多长时间？
答案
解：
(1) 甲工程队的工作效率为$\frac{1000}{x}$ 米/天，
乙工程队的工作效率为$\frac{1000}{y}$ 米/天，
两队工作效率之差为：
$\begin{aligned}\frac{1000}{x} - \frac{1000}{y} &= \frac{1000y}{xy} - \frac{1000x}{xy} \\&= \frac{1000(y-x)}{xy} \ (\mathrm{米/天})\end{aligned}$
(2) 甲、乙两工程队合作的总工作效率为：
$\frac{1000}{x} + \frac{1000}{y} = \frac{1000(x+y)}{xy} \ (\mathrm{米/天})$
合作完成工程所需时间为：
$\begin{aligned}1000 ÷ \frac{1000(x+y)}{xy} &= 1000 · \frac{xy}{1000(x+y)} \\&= \frac{xy}{x+y} \ (\mathrm{天})\end{aligned}$
答：(1) 甲工程队与乙工程队的工作效率之差为$\frac{1000(y-x)}{xy}$米/天；(2) 两队一起完成这项工程需要$\frac{xy}{x+y}$天。
(1) 甲工程队的工作效率为$\frac{1000}{x}$ 米/天，
乙工程队的工作效率为$\frac{1000}{y}$ 米/天，
两队工作效率之差为：
$\begin{aligned}\frac{1000}{x} - \frac{1000}{y} &= \frac{1000y}{xy} - \frac{1000x}{xy} \\&= \frac{1000(y-x)}{xy} \ (\mathrm{米/天})\end{aligned}$
(2) 甲、乙两工程队合作的总工作效率为：
$\frac{1000}{x} + \frac{1000}{y} = \frac{1000(x+y)}{xy} \ (\mathrm{米/天})$
合作完成工程所需时间为：
$\begin{aligned}1000 ÷ \frac{1000(x+y)}{xy} &= 1000 · \frac{xy}{1000(x+y)} \\&= \frac{xy}{x+y} \ (\mathrm{天})\end{aligned}$
答：(1) 甲工程队与乙工程队的工作效率之差为$\frac{1000(y-x)}{xy}$米/天；(2) 两队一起完成这项工程需要$\frac{xy}{x+y}$天。
解析
【分析】
本题属于工程类分式应用问题，解题思路如下：
1. 牢记工程问题基本数量关系：工作效率=工作总量÷工作时间，工作时间=工作总量÷总工作效率。
2. 解决第(1)问：先根据数量关系分别求出甲、乙两队的工作效率，已知$0＜x＜y$，说明甲队效率更高，用甲队效率减去乙队效率，再通过通分化简即可得到效率差。
3. 解决第(2)问：先计算甲乙两队合作的总工作效率（即两队效率之和），再用工作总量1000m除以总效率，最后化简得到合作所需时间。
【解析】
(1) 由工作效率=工作总量÷工作时间可得：
甲工程队的工作效率为$\frac{1000}{x}$ 米/天，
乙工程队的工作效率为$\frac{1000}{y}$ 米/天，
两队工作效率之差为：
$\begin{aligned}\frac{1000}{x} - \frac{1000}{y} &= \frac{1000y}{xy} - \frac{1000x}{xy} \\&= \frac{1000(y-x)}{xy} \ (\mathrm{米/天})\end{aligned}$
(2) 甲、乙两工程队合作的总工作效率为两队效率之和：
$\frac{1000}{x} + \frac{1000}{y} = \frac{1000(x+y)}{xy} \ (\mathrm{米/天})$
根据工作时间=工作总量÷总工作效率，合作完成工程所需时间为：
$\begin{aligned}1000 ÷ \frac{1000(x+y)}{xy} &= 1000 · \frac{xy}{1000(x+y)} \\&= \frac{xy}{x+y} \ (\mathrm{天})\end{aligned}$
【答案】
(1) 甲工程队与乙工程队的工作效率之差为$\frac{1000(y-x)}{xy}$米/天；
(2) 甲、乙两工程队一起完成这项工程需要$\frac{xy}{x+y}$天。
【知识点】
工程问题数量关系、分式的加减运算、分式的乘除运算
【点评】
本题侧重考察分式运算在实际问题中的应用，解题核心是熟练掌握工程问题三类基本量的换算关系，同时能准确进行分式的通分、约分运算，保证最终结果为最简分式。
【难度系数】
0.8
本题属于工程类分式应用问题，解题思路如下：
1. 牢记工程问题基本数量关系：工作效率=工作总量÷工作时间，工作时间=工作总量÷总工作效率。
2. 解决第(1)问：先根据数量关系分别求出甲、乙两队的工作效率，已知$0＜x＜y$，说明甲队效率更高，用甲队效率减去乙队效率，再通过通分化简即可得到效率差。
3. 解决第(2)问：先计算甲乙两队合作的总工作效率（即两队效率之和），再用工作总量1000m除以总效率，最后化简得到合作所需时间。
【解析】
(1) 由工作效率=工作总量÷工作时间可得：
甲工程队的工作效率为$\frac{1000}{x}$ 米/天，
乙工程队的工作效率为$\frac{1000}{y}$ 米/天，
两队工作效率之差为：
$\begin{aligned}\frac{1000}{x} - \frac{1000}{y} &= \frac{1000y}{xy} - \frac{1000x}{xy} \\&= \frac{1000(y-x)}{xy} \ (\mathrm{米/天})\end{aligned}$
(2) 甲、乙两工程队合作的总工作效率为两队效率之和：
$\frac{1000}{x} + \frac{1000}{y} = \frac{1000(x+y)}{xy} \ (\mathrm{米/天})$
根据工作时间=工作总量÷总工作效率，合作完成工程所需时间为：
$\begin{aligned}1000 ÷ \frac{1000(x+y)}{xy} &= 1000 · \frac{xy}{1000(x+y)} \\&= \frac{xy}{x+y} \ (\mathrm{天})\end{aligned}$
【答案】
(1) 甲工程队与乙工程队的工作效率之差为$\frac{1000(y-x)}{xy}$米/天；
(2) 甲、乙两工程队一起完成这项工程需要$\frac{xy}{x+y}$天。
【知识点】
工程问题数量关系、分式的加减运算、分式的乘除运算
【点评】
本题侧重考察分式运算在实际问题中的应用，解题核心是熟练掌握工程问题三类基本量的换算关系，同时能准确进行分式的通分、约分运算，保证最终结果为最简分式。
【难度系数】
0.8
[举一反三]已知A,B两地相距s km,小刚从A地到B地需要m h,小军从B地到A地,需要n h,若他们同时出发相向而行,需要多长时间才能相遇?
答案
解 根据题意知,小刚的速度为$\frac{s}{m}$(km/h),小军的速度为$\frac{s}{n}$(km/h),所以两人相遇需要的时间为$\frac{s}{\frac{s}{m}+\frac{s}{n}}=\frac{mn}{m+n}$(h)。
解析
【分析】
要计算两人相向而行的相遇时间，首先回忆相遇问题的核心数量关系：相遇时间=总路程÷两人速度和。我们首先需要根据“速度=路程÷时间”的关系，分别求出小刚和小军的行驶速度，再计算两人的速度和，最后将总路程和速度和代入相遇时间公式，对得到的分式进行化简即可求出结果。
【解析】
解：根据速度、路程、时间的关系可得：
小刚的速度为 $\frac{s}{m}$ km/h，
小军的速度为 $\frac{s}{n}$ km/h，
两人的速度和为 $(\frac{s}{m}+\frac{s}{n})$ km/h，
结合相遇时间公式，可得相遇时间为：
$\begin{aligned}\frac{s}{\frac{s}{m}+\frac{s}{n}}&=\frac{s}{\frac{sn+sm}{mn}}\\&=s×\frac{mn}{s(m+n)}\\&=\frac{mn}{m+n}\ (\mathrm{h})\end{aligned}$
【答案】
$\frac{mn}{m+n}$ h
【知识点】
行程相遇问题，分式的混合运算
【点评】
本题是结合行程场景的分式运算基础题，解题核心是熟练掌握行程问题的数量关系，计算分式时要注意通分、约分的规则，保证化简过程正确。
【难度系数】
0.8
要计算两人相向而行的相遇时间，首先回忆相遇问题的核心数量关系：相遇时间=总路程÷两人速度和。我们首先需要根据“速度=路程÷时间”的关系，分别求出小刚和小军的行驶速度，再计算两人的速度和，最后将总路程和速度和代入相遇时间公式，对得到的分式进行化简即可求出结果。
【解析】
解：根据速度、路程、时间的关系可得：
小刚的速度为 $\frac{s}{m}$ km/h，
小军的速度为 $\frac{s}{n}$ km/h，
两人的速度和为 $(\frac{s}{m}+\frac{s}{n})$ km/h，
结合相遇时间公式，可得相遇时间为：
$\begin{aligned}\frac{s}{\frac{s}{m}+\frac{s}{n}}&=\frac{s}{\frac{sn+sm}{mn}}\\&=s×\frac{mn}{s(m+n)}\\&=\frac{mn}{m+n}\ (\mathrm{h})\end{aligned}$
【答案】
$\frac{mn}{m+n}$ h
【知识点】
行程相遇问题，分式的混合运算
【点评】
本题是结合行程场景的分式运算基础题，解题核心是熟练掌握行程问题的数量关系，计算分式时要注意通分、约分的规则，保证化简过程正确。
【难度系数】
0.8
