登录
15.如图，抛物线$y=ax^2+\frac{3}{4}x+3$经过$△ ABC$的三个顶点，点$A,B$在$x$轴上，点$C$在$y$轴上，抛物线的对称轴交$x$轴于点$D$，过点$A$作$AE// BC$交对称轴于点$E$，且$AC=\sqrt{13}$。
(1)求抛物线的表达式；
(2)求$DE$的长。
(1)求抛物线的表达式；
(2)求$DE$的长。
答案
解:(1)$\because y=ax^2+\frac{3}{4}x+3$，
$\therefore OC=3$。
$\because AC=\sqrt{13}$，
$\therefore OA=\sqrt{AC^2-OC^2}=\sqrt{(\sqrt{13})^2-3^2}=2$，
$\therefore A(-2,0)$。
把$(-2,0)$的坐标代入$y=ax^2+\frac{3}{4}x+3$得$0=4a-\frac{3}{2}+3$，
解得$a=-\frac{3}{8}$，
$\therefore$抛物线的表达式为$y=-\frac{3}{8}x^2+\frac{3}{4}x+3$。
(2)$\because$抛物线的对称轴为直线$x=-\frac{b}{2a}=1$，
$\therefore OD=1,AD=2+1=3,DB=3$，
$\therefore OB=4$。
$\because AE// BC,\therefore ∠ DAE=∠ CBO$。
$\because ∠ ADE=∠ COB$，
$\therefore △ ADE ∽ △ BOC$，
$\therefore \frac{DE}{OC}=\frac{AD}{BO}$，
$\therefore \frac{DE}{3}=\frac{3}{4},\therefore DE=\frac{9}{4}$。
$\therefore OC=3$。
$\because AC=\sqrt{13}$，
$\therefore OA=\sqrt{AC^2-OC^2}=\sqrt{(\sqrt{13})^2-3^2}=2$，
$\therefore A(-2,0)$。
把$(-2,0)$的坐标代入$y=ax^2+\frac{3}{4}x+3$得$0=4a-\frac{3}{2}+3$，
解得$a=-\frac{3}{8}$，
$\therefore$抛物线的表达式为$y=-\frac{3}{8}x^2+\frac{3}{4}x+3$。
(2)$\because$抛物线的对称轴为直线$x=-\frac{b}{2a}=1$，
$\therefore OD=1,AD=2+1=3,DB=3$，
$\therefore OB=4$。
$\because AE// BC,\therefore ∠ DAE=∠ CBO$。
$\because ∠ ADE=∠ COB$，
$\therefore △ ADE ∽ △ BOC$，
$\therefore \frac{DE}{OC}=\frac{AD}{BO}$，
$\therefore \frac{DE}{3}=\frac{3}{4},\therefore DE=\frac{9}{4}$。
解析
【分析】
（1）要确定抛物线的表达式，已知解析式中仅参数$a$未知，只需得到抛物线上一个除$C$外的点坐标代入即可求解。首先由抛物线解析式的常数项可知$y$轴上点$C$的纵坐标为3，即$OC=3$，结合$AC$的长度，在$Rt△ AOC$中用勾股定理可求出$OA$的长度，得到点$A$的坐标，代入解析式即可求出$a$的值。
（2）要求$DE$的长，先根据二次函数对称轴公式求出抛物线的对称轴，得到点$D$的位置，算出$AD$、$OB$的长度；再由$AE// BC$得到对应角相等，证明$△ ADE∽△ BOC$，利用相似三角形对应边成比例的性质，代入数值即可求出$DE$的长度。
【解析】
(1) 对于抛物线$y=ax^2+\frac{3}{4}x+3$，当$x=0$时，$y=3$，因此点$C$坐标为$(0,3)$，即$OC=3$。
在$Rt△ AOC$中，$AC=\sqrt{13}$，由勾股定理得：
$OA=\sqrt{AC^2-OC^2}=\sqrt{(\sqrt{13})^2-3^2}=\sqrt{13-9}=2$，
因为点$A$在$x$轴负半轴，所以$A(-2,0)$。
将$A(-2,0)$代入抛物线解析式得：
$0=a×(-2)^2+\frac{3}{4}×(-2)+3$，即$0=4a-\frac{3}{2}+3$，
解得$a=-\frac{3}{8}$，
因此抛物线的表达式为$y=-\frac{3}{8}x^2+\frac{3}{4}x+3$。
(2) 对于二次函数$y=ax^2+bx+c$，对称轴为直线$x=-\frac{b}{2a}$，代入$a=-\frac{3}{8}$，$b=\frac{3}{4}$得：
对称轴为直线$x=-\frac{\frac{3}{4}}{2×(-\frac{3}{8})}=1$，因此点$D(1,0)$，$OD=1$。
则$AD=OA+OD=2+1=3$，
令$y=0$，即$-\frac{3}{8}x^2+\frac{3}{4}x+3=0$，解得$x_1=-2$，$x_2=4$，因此点$B(4,0)$，$OB=4$。
因为$AE// BC$，所以$∠ DAE=∠ CBO$，
又因为$∠ ADE=∠ BOC=90°$，
所以$△ ADE ∽ △ BOC$，
根据相似三角形对应边成比例得：$\frac{DE}{OC}=\frac{AD}{BO}$，
代入$OC=3$，$AD=3$，$BO=4$得：$\frac{DE}{3}=\frac{3}{4}$，
解得$DE=\frac{9}{4}$。
【答案】
(1) $y=-\frac{3}{8}x^2+\frac{3}{4}x+3$；(2) $\frac{9}{4}$
【知识点】
二次函数解析式的确定；相似三角形的判定与性质；勾股定理
【点评】
本题是二次函数与几何的基础综合题，将二次函数的性质、勾股定理、相似三角形的知识相结合，解题的关键是先求出对应点的坐标，再利用相似三角形的性质求解线段长度，侧重考查基础知识点的综合运用能力。
【难度系数】
0.7
（1）要确定抛物线的表达式，已知解析式中仅参数$a$未知，只需得到抛物线上一个除$C$外的点坐标代入即可求解。首先由抛物线解析式的常数项可知$y$轴上点$C$的纵坐标为3，即$OC=3$，结合$AC$的长度，在$Rt△ AOC$中用勾股定理可求出$OA$的长度，得到点$A$的坐标，代入解析式即可求出$a$的值。
（2）要求$DE$的长，先根据二次函数对称轴公式求出抛物线的对称轴，得到点$D$的位置，算出$AD$、$OB$的长度；再由$AE// BC$得到对应角相等，证明$△ ADE∽△ BOC$，利用相似三角形对应边成比例的性质，代入数值即可求出$DE$的长度。
【解析】
(1) 对于抛物线$y=ax^2+\frac{3}{4}x+3$，当$x=0$时，$y=3$，因此点$C$坐标为$(0,3)$，即$OC=3$。
在$Rt△ AOC$中，$AC=\sqrt{13}$，由勾股定理得：
$OA=\sqrt{AC^2-OC^2}=\sqrt{(\sqrt{13})^2-3^2}=\sqrt{13-9}=2$，
因为点$A$在$x$轴负半轴，所以$A(-2,0)$。
将$A(-2,0)$代入抛物线解析式得：
$0=a×(-2)^2+\frac{3}{4}×(-2)+3$，即$0=4a-\frac{3}{2}+3$，
解得$a=-\frac{3}{8}$，
因此抛物线的表达式为$y=-\frac{3}{8}x^2+\frac{3}{4}x+3$。
(2) 对于二次函数$y=ax^2+bx+c$，对称轴为直线$x=-\frac{b}{2a}$，代入$a=-\frac{3}{8}$，$b=\frac{3}{4}$得：
对称轴为直线$x=-\frac{\frac{3}{4}}{2×(-\frac{3}{8})}=1$，因此点$D(1,0)$，$OD=1$。
则$AD=OA+OD=2+1=3$，
令$y=0$，即$-\frac{3}{8}x^2+\frac{3}{4}x+3=0$，解得$x_1=-2$，$x_2=4$，因此点$B(4,0)$，$OB=4$。
因为$AE// BC$，所以$∠ DAE=∠ CBO$，
又因为$∠ ADE=∠ BOC=90°$，
所以$△ ADE ∽ △ BOC$，
根据相似三角形对应边成比例得：$\frac{DE}{OC}=\frac{AD}{BO}$，
代入$OC=3$，$AD=3$，$BO=4$得：$\frac{DE}{3}=\frac{3}{4}$，
解得$DE=\frac{9}{4}$。
【答案】
(1) $y=-\frac{3}{8}x^2+\frac{3}{4}x+3$；(2) $\frac{9}{4}$
【知识点】
二次函数解析式的确定；相似三角形的判定与性质；勾股定理
【点评】
本题是二次函数与几何的基础综合题，将二次函数的性质、勾股定理、相似三角形的知识相结合，解题的关键是先求出对应点的坐标，再利用相似三角形的性质求解线段长度，侧重考查基础知识点的综合运用能力。
【难度系数】
0.7
16.阅读:我们约定,在平面直角坐标系中,经过某点且平行于坐标轴或平行于两坐标轴夹角平分线的直线,叫该点的“特征线”。例如,点M(1,3)的特征线有:直线$x=1,y=3,y=x+2,y=-x+4$。如图,在平面直角坐标系中有正方形OABC,点B在第一象限,点A,C分别在x轴和y轴上,抛物线$y=\frac{1}{4}(x-a)^2+b$经过B,C两点,顶点D在正方形内部。
(1)写出点M(2,3)的任意两条特征线;
(2)若点D有一条特征线是$y=x+1$,求此抛物线的表达式。
(1)写出点M(2,3)的任意两条特征线;
(2)若点D有一条特征线是$y=x+1$,求此抛物线的表达式。
答案
解:(1)点$M(2,3)$的任意两条特征线为$y=3$，$y=x+1$。(答案不唯一)
(2)$\because$抛物线的表达式为$y=\frac{1}{4}(x-a)^2+b$，
$\therefore$点$D$的坐标为$(a,b)$。
$\because$点$D$有一条特征线是$y=x+1$，
$\therefore b=a+1$，
$\therefore y=\frac{1}{4}(x-a)^2+a+1$。
$\because$四边形$OABC$是正方形,且过点$D$垂直于$x$轴的直线为正方形的对称轴，
$\therefore B(2a,2a)$，
$\therefore \frac{1}{4}(2a-a)^2+a+1=2a$，
解得$a=2$，$\therefore b=3$，
$\therefore$抛物线的表达式为$y=\frac{1}{4}(x-2)^2+3$。
(2)$\because$抛物线的表达式为$y=\frac{1}{4}(x-a)^2+b$，
$\therefore$点$D$的坐标为$(a,b)$。
$\because$点$D$有一条特征线是$y=x+1$，
$\therefore b=a+1$，
$\therefore y=\frac{1}{4}(x-a)^2+a+1$。
$\because$四边形$OABC$是正方形,且过点$D$垂直于$x$轴的直线为正方形的对称轴，
$\therefore B(2a,2a)$，
$\therefore \frac{1}{4}(2a-a)^2+a+1=2a$，
解得$a=2$，$\therefore b=3$，
$\therefore$抛物线的表达式为$y=\frac{1}{4}(x-2)^2+3$。
解析
【分析】
(1) 首先明确“特征线”的定义：过某点且平行于坐标轴、或平行于两坐标轴夹角平分线（即直线$y=x$、$y=-x$）的直线。求点$M(2,3)$的特征线时，分别按四类特征线推导即可：平行$x$轴的直线纵坐标固定为3，得$y=3$；平行$y$轴的直线横坐标固定为2，得$x=2$；平行于$y=x$（斜率为1）的直线代入点坐标可求得表达式为$y=x+1$；平行于$y=-x$（斜率为-1）的直线代入点坐标可求得表达式为$y=-x+5$，任选两条即可。
(2) 先根据抛物线顶点式直接得顶点$D$的坐标为$(a,b)$，结合特征线$y=x+1$可得$b$与$a$的关系$b=a+1$；再利用正方形的对称性和抛物线的对称性：抛物线对称轴为$x=a$，也是正方形$OABC$的对称轴，因此点$B$的横坐标为$2a$，正方形边长为$2a$，可得$B$点坐标为$(2a,2a)$；最后将$B$点坐标代入抛物线表达式，解方程求出$a$的值，即可得到抛物线的解析式。
【解析】
(1) 根据特征线的定义，点$M(2,3)$的特征线可写为：$x=2$，$y=3$，$y=x+1$，$y=-x+5$，任选两条即可。
(2) $\because$ 抛物线的表达式为$y=\frac{1}{4}(x-a)^2+b$，
$\therefore$ 抛物线顶点$D$的坐标为$(a,b)$。
$\because$ 点$D$有一条特征线是$y=x+1$，说明点$D$在直线$y=x+1$上，
$\therefore b=a+1$，
则抛物线表达式可写为$y=\frac{1}{4}(x-a)^2+a+1$。
$\because$ 四边形$OABC$是正方形，抛物线对称轴为直线$x=a$，且对称轴是正方形的对称轴，
$\therefore$ 点$B$的横坐标为$2a$，正方形边长为$2a$，即$B(2a,2a)$。
将$B(2a,2a)$代入抛物线表达式得：
$\frac{1}{4}(2a-a)^2+a+1=2a$，
整理得$\frac{1}{4}a^2 -a +1=0$，
解得$a=2$，
$\therefore b=a+1=3$，
$\therefore$ 抛物线的表达式为$y=\frac{1}{4}(x-2)^2+3$。
【答案】
(1) 示例：$y=3$，$y=x+1$（答案不唯一）；
(2) $y=\frac{1}{4}(x-2)^2+3$
【知识点】
新定义问题，二次函数的性质，正方形的性质
【点评】
本题是新定义结合二次函数与几何的综合题，解题的核心是准确理解“特征线”的定义，再结合二次函数的对称性和正方形的性质找到点的坐标关系，代入解析式求解即可，注重考查学生的知识迁移能力和数形结合思想的应用。
【难度系数】
0.7
(1) 首先明确“特征线”的定义：过某点且平行于坐标轴、或平行于两坐标轴夹角平分线（即直线$y=x$、$y=-x$）的直线。求点$M(2,3)$的特征线时，分别按四类特征线推导即可：平行$x$轴的直线纵坐标固定为3，得$y=3$；平行$y$轴的直线横坐标固定为2，得$x=2$；平行于$y=x$（斜率为1）的直线代入点坐标可求得表达式为$y=x+1$；平行于$y=-x$（斜率为-1）的直线代入点坐标可求得表达式为$y=-x+5$，任选两条即可。
(2) 先根据抛物线顶点式直接得顶点$D$的坐标为$(a,b)$，结合特征线$y=x+1$可得$b$与$a$的关系$b=a+1$；再利用正方形的对称性和抛物线的对称性：抛物线对称轴为$x=a$，也是正方形$OABC$的对称轴，因此点$B$的横坐标为$2a$，正方形边长为$2a$，可得$B$点坐标为$(2a,2a)$；最后将$B$点坐标代入抛物线表达式，解方程求出$a$的值，即可得到抛物线的解析式。
【解析】
(1) 根据特征线的定义，点$M(2,3)$的特征线可写为：$x=2$，$y=3$，$y=x+1$，$y=-x+5$，任选两条即可。
(2) $\because$ 抛物线的表达式为$y=\frac{1}{4}(x-a)^2+b$，
$\therefore$ 抛物线顶点$D$的坐标为$(a,b)$。
$\because$ 点$D$有一条特征线是$y=x+1$，说明点$D$在直线$y=x+1$上，
$\therefore b=a+1$，
则抛物线表达式可写为$y=\frac{1}{4}(x-a)^2+a+1$。
$\because$ 四边形$OABC$是正方形，抛物线对称轴为直线$x=a$，且对称轴是正方形的对称轴，
$\therefore$ 点$B$的横坐标为$2a$，正方形边长为$2a$，即$B(2a,2a)$。
将$B(2a,2a)$代入抛物线表达式得：
$\frac{1}{4}(2a-a)^2+a+1=2a$，
整理得$\frac{1}{4}a^2 -a +1=0$，
解得$a=2$，
$\therefore b=a+1=3$，
$\therefore$ 抛物线的表达式为$y=\frac{1}{4}(x-2)^2+3$。
【答案】
(1) 示例：$y=3$，$y=x+1$（答案不唯一）；
(2) $y=\frac{1}{4}(x-2)^2+3$
【知识点】
新定义问题，二次函数的性质，正方形的性质
【点评】
本题是新定义结合二次函数与几何的综合题，解题的核心是准确理解“特征线”的定义，再结合二次函数的对称性和正方形的性质找到点的坐标关系，代入解析式求解即可，注重考查学生的知识迁移能力和数形结合思想的应用。
【难度系数】
0.7
