11.已知二次函数$y=ax^2+bx+c$的图象的顶点坐标为$(-2,3)$，且过点$(-1,5)$，则二次函数的表达式为。

$y=2x^2+8x+11$

【分析】
已知二次函数的顶点坐标，求解解析式时优先选用顶点式计算更简便。首先回忆二次函数顶点式的形式为$y=a(x-h)^2+k$（$a≠0$），其中$(h,k)$是顶点坐标，我们先将已知的顶点坐标代入顶点式，得到只含参数$a$的表达式，再将函数经过的点的坐标代入，即可求出$a$的值，最后将顶点式展开为一般式就能得到所求的二次函数表达式。
【解析】
解：
∵二次函数的顶点坐标为$(-2,3)$
∴设该二次函数的顶点式为$y=a(x+2)^2+3$（$a≠0$）
将点$(-1,5)$代入解析式得：
$5=a×(-1+2)^2+3$
$5=a×1^2+3$
解得$a=2$
将$a=2$代入顶点式，展开为一般式：
$y=2(x+2)^2+3$
$=2(x^2+4x+4)+3$
$=2x^2+8x+8+3$
$=2x^2+8x+11$
【答案】
$y=2x^2+8x+11$
【知识点】
1.二次函数顶点式 2.待定系数法求解析式
【点评】
本题考查二次函数解析式的求解，当已知顶点坐标时选择顶点式求解可大幅简化计算，属于基础题型，熟练掌握不同形式的二次函数解析式的适用场景是解题的核心。
【难度系数】
0.8

12.已知$P(m,n)$为抛物线$y=ax^2 - 4ax + b(a≠0)$上一动点。当$1≤m≤4$时，$n$的取值范围是$1≤n≤4$，则抛物线的表达式为。

$y=\frac{3}{4}x^2-3x+4$ 或 $y=-\frac{3}{4}x^2+3x+1$

【分析】
首先将抛物线解析式配方，求出对称轴和顶点坐标，可发现对称轴x=2恰好落在给定的自变量取值范围1≤m≤4内。由于二次函数的最值与开口方向有关，因此分a＞0（开口向上）和a＜0（开口向下）两种情况讨论：开口向上时，顶点处取最小值，离对称轴最远的区间端点处取最大值；开口向下时，顶点处取最大值，离对称轴最远的区间端点处取最小值。分别将对应点的坐标代入解析式列方程，求解a、b的值即可得到抛物线表达式。
【解析】
先将抛物线解析式配方：
$y=ax^2-4ax+b=a(x-2)^2 + b-4a$
∴抛物线的对称轴为直线$x=2$，顶点坐标为$(2, b-4a)$，对称轴落在$1≤x≤4$范围内。
分两种情况讨论：
1. 当$a＞0$时，抛物线开口向上：
此时函数在顶点处取得最小值，在离对称轴最远的端点$x=4$处取得最大值。
由题意得最小值为1，最大值为4，因此：
$\begin{cases} b-4a=1 \\ 当x=4时，y=a(4-2)^2 + b-4a = b =4 \end{cases}$
将$b=4$代入$b-4a=1$，得$4-4a=1$，解得$a=\frac{3}{4}$
∴此时抛物线表达式为$y=\frac{3}{4}x^2-3x+4$。
2. 当$a＜0$时，抛物线开口向下：
此时函数在顶点处取得最大值，在离对称轴最远的端点$x=4$处取得最小值。
由题意得最大值为4，最小值为1，因此：
$\begin{cases} b-4a=4 \\ 当x=4时，y=b=1 \end{cases}$
将$b=1$代入$b-4a=4$，得$1-4a=4$，解得$a=-\frac{3}{4}$
∴此时抛物线表达式为$y=-\frac{3}{4}x^2+3x+1$。
【答案】
$y=\frac{3}{4}x^2-3x+4$ 或 $y=-\frac{3}{4}x^2+3x+1$
【知识点】
二次函数的图象与性质；待定系数法求解析式；二次函数区间最值
【点评】
本题是二次函数区间最值的典型题型，解题核心是先确定对称轴与给定自变量区间的位置关系，再结合开口方向判断最值的对应点，注意分类讨论避免漏解。
【难度系数】
0.6

13.已知二次函数$y=x^2+bx+c$。
(1)当$b=2,c=-5$时，
①求该函数图象的顶点坐标；
②当$y≥-2$时，求$x$的取值范围。
(2)当$x＜0$时，$y$的最小值为$-2$；当$x≥0$时，$y$的最小值为3，求二次函数的表达式。

解:(1)①当$b=2,c=-5$时，函数的表达式为$y=x^2+2x-5=(x+1)^2-6$，
该函数图象的顶点坐标为$(-1,-6)$。
②二次函数$y=(x+1)^2-6$的图象开口向上，对称轴为直线$x=-1$，
当$y=-2$时，即$(x+1)^2-6=-2$，
解得$x_1=1,x_2=-3$，
由二次函数图象的性质可知，当$y≥-2$时，$x$的取值范围为$x≥1$或$x≤-3$。
(2)$\because$二次函数$y=x^2+bx+c$的图象开口向上，当$x＜0$时，$y$的最小值为$-2$；当$x≥0$时，$y$的最小值为3，
$\therefore$当$x=0$时，$y=3$，代入得$c=3$；
当$x=-\frac{b}{2}$时，$y_{最小值}=-2$，代入$y=x^2+bx+3$得$\frac{b^2}{4}+b·(-\frac{b}{2})+3=-2$，
整理得$-\frac{b^2}{4}=-5$，
解得$b=2\sqrt{5}$或$b=-2\sqrt{5}$。
$\because$对称轴在$y$轴左侧，$\therefore a,b$同号。
又$\because a＞0$，$\therefore b＞0$，
$\therefore b=2\sqrt{5}$。
故二次函数的表达式为$y=x^2+2\sqrt{5}x+3$。

【分析】
(1)①已知b、c的取值，先将其代入二次函数一般式，再通过配方法转化为顶点式，即可直接读出顶点坐标；②要求y≥-2时x的取值范围，先令y=-2求解对应的一元二次方程得到两个根，结合二次函数开口向上的性质，y≥指定函数值的解集为两根之外的区域，即可得到取值范围。
(2)首先由二次函数开口向上，结合x＜0和x≥0时的最小值差异，可判断对称轴在y轴左侧，因此x≥0时函数随x增大而增大，最小值在x=0处取得，代入可求出c的值；再根据x＜0时的最小值为顶点的纵坐标，代入顶点横坐标公式求出b的值，结合对称轴在y轴左侧判断b的符号，舍去不符合的解，即可得到二次函数表达式。
【解析】
(1)①当$b=2,c=-5$时，代入二次函数得$y=x^2+2x-5$，配方得：
$y=x^2+2x+1-1-5=(x+1)^2-6$
因此该函数图象的顶点坐标为$(-1,-6)$。
②由①得函数解析式为$y=(x+1)^2-6$，开口向上，对称轴为直线$x=-1$，
令$y=-2$，得$(x+1)^2-6=-2$，
整理得$(x+1)^2=4$，解得$x_1=1,x_2=-3$，
结合二次函数图象性质，开口向上时$y≥-2$的区域为两根外侧，即$x≥1$或$x≤-3$。
(2)已知二次函数$y=x^2+bx+c$开口向上，
∵当$x≥0$时y的最小值为3，若对称轴在$x≥0$区域，则顶点为最小值点，最小值应小于x＜0时的最小值，与题设矛盾，因此对称轴在$x＜0$区域，x≥0时函数单调递增，
∴当$x=0$时取得最小值3，代入得$0+0+c=3$，解得$c=3$；
又
∵x＜0时y的最小值为顶点的纵坐标，顶点横坐标为$x=-\frac{b}{2}$，代入函数得：
$(-\frac{b}{2})^2 + b·(-\frac{b}{2}) + 3 = -2$
整理得$\frac{b^2}{4}-\frac{b^2}{2}+3=-2$，即$-\frac{b^2}{4}=-5$，解得$b=±2\sqrt{5}$，
∵对称轴$x=-\frac{b}{2}＜0$，且$a=1＞0$，
∴$b＞0$，故$b=2\sqrt{5}$，
因此二次函数的表达式为$y=x^2+2\sqrt{5}x+3$。
【答案】
(1)①顶点坐标为$\boldsymbol{(-1,-6)}$；②x的取值范围为$\boldsymbol{x≥1}$或$\boldsymbol{x≤-3}$；
(2)二次函数表达式为$\boldsymbol{y=x^2+2\sqrt{5}x+3}$。
【知识点】
二次函数的性质；二次函数与不等式；待定系数法求解析式
【点评】
本题围绕二次函数的核心性质展开考查，涵盖了顶点坐标求解、函数与不等式的转化、最值与对称轴位置的分析，需要学生结合图象性质进行逻辑推理，能有效检验对二次函数基础知识的掌握和应用能力。
【难度系数】
0.65

14.如图,在$2×2$的网格(每个小正方形的边长为1)中,有A,O,B,C,D,E,F,H,G九个格点。
(1)抛物线L的表达式为$y=\frac{1}{2}x^2+bx+c$。
①若抛物线L经过点O(0,0)和B(1,0),则$b=$,$c=$;
②若抛物线L经过点H(-1,1)和G(0,1),该抛物线的表达式为。
(2)若抛物线经过这九个格点中的三个,求出所有满足条件的抛物线的表达式。

解:(1)①$-\frac{1}{2}$ $0$
②$y=\frac{1}{2}x^2+\frac{1}{2}x+1$
(2)①将顶点是$O$,经过点$H$和点$C$的抛物线的表达式设为$y=ax^2$,把$(-1,1)$的坐标代入得$a=1$,则抛物线的表达式是$y=x^2$。
②把抛物线$y=x^2$向上平移1个单位长度,可得到顶点是$G$,经过点$F$和点$D$的抛物线,其表达式是$y=x^2+1$。
③将顶点是$O$,经过点$F$和点$D$的抛物线的表达式设为$y=bx^2$,把$(-1,2)$的坐标代入得$b=2$,则抛物线的表达式是$y=2x^2$。
④将顶点是$E$,且经过点$H$和点$C$的抛物线的表达式设为$y=cx^2+2$,把$(-1,1)$的坐标代入得$c=-1$,则抛物线的表达式是$y=-x^2+2$。
⑤把抛物线$y=-x^2+2$向下平移1个单位长度,可得到顶点是$G$,经过点$A$和点$B$的抛物线,其表达式是$y=-x^2+1$。
⑥将顶点是$E$,且经过点$A$和点$B$的抛物线的表达式设为$y=dx^2+2$,把$(1,0)$的坐标代入得$d=-2$,则抛物线的表达式是$y=-2x^2+2$。
综上所述,满足条件的抛物线有6条,分别是:
$y=x^2,y=x^2+1,y=2x^2,y=-x^2+2,y=-x^2+1,y=-2x^2+2$。

【分析】
（1）的两小问均可采用待定系数法求解：将已知点的坐标代入抛物线表达式，得到关于未知系数的方程（组），解方程（组）即可求出系数值，进而得到抛物线表达式。
（2）首先确定九个格点的坐标分别为$A(-1,0)$、$O(0,0)$、$B(1,0)$、$H(-1,1)$、$G(0,1)$、$C(1,1)$、$F(-1,2)$、$E(0,2)$、$D(1,2)$，观察坐标特征可知，过其中三个格点的抛物线对称轴为$y$轴，因此可设抛物线表达式为$y=ax^2+k$（$a≠0$），再分类讨论顶点位置（在$y$轴的三个格点$O$、$G$、$E$上），结合开口方向分别代入点的坐标求解，验证是否过三个格点，最后汇总所有符合条件的表达式即可。
【解析】
(1)①把$O(0,0)$代入$y=\frac{1}{2}x^2+bx+c$，得$c=0$；
再把$B(1,0)$和$c=0$代入表达式，得$\frac{1}{2}×1^2 + b×1 + 0 = 0$，
解得$b=-\frac{1}{2}$。
②把$G(0,1)$代入$y=\frac{1}{2}x^2+bx+c$，得$c=1$；
再把$H(-1,1)$和$c=1$代入表达式，得$\frac{1}{2}×(-1)^2 + b×(-1) + 1 = 1$，
化简得$\frac{1}{2} - b + 1 = 1$，解得$b=\frac{1}{2}$，
因此抛物线的表达式为$y=\frac{1}{2}x^2+\frac{1}{2}x+1$。
(2)九个格点的坐标为：$A(-1,0)$、$O(0,0)$、$B(1,0)$、$H(-1,1)$、$G(0,1)$、$C(1,1)$、$F(-1,2)$、$E(0,2)$、$D(1,2)$，过三个格点的抛物线对称轴为$y$轴，设表达式为$y=ax^2+k(a≠0)$：
①当顶点为$O(0,0)$时，$k=0$，表达式为$y=ax^2$：
代入$H(-1,1)$，得$1=a×(-1)^2$，$a=1$，此时抛物线$y=x^2$过$O$、$H$、$C$三个格点，符合条件；
代入$F(-1,2)$，得$2=a×(-1)^2$，$a=2$，此时抛物线$y=2x^2$过$O$、$F$、$D$三个格点，符合条件；
②当顶点为$G(0,1)$时，$k=1$，表达式为$y=ax^2+1$：
代入$F(-1,2)$，得$2=a×(-1)^2+1$，$a=1$，此时抛物线$y=x^2+1$过$G$、$F$、$D$三个格点，符合条件；
代入$A(-1,0)$，得$0=a×(-1)^2+1$，$a=-1$，此时抛物线$y=-x^2+1$过$G$、$A$、$B$三个格点，符合条件；
③当顶点为$E(0,2)$时，$k=2$，表达式为$y=ax^2+2$：
代入$H(-1,1)$，得$1=a×(-1)^2+2$，$a=-1$，此时抛物线$y=-x^2+2$过$E$、$H$、$C$三个格点，符合条件；
代入$A(-1,0)$，得$0=a×(-1)^2+2$，$a=-2$，此时抛物线$y=-2x^2+2$过$E$、$A$、$B$三个格点，符合条件。
【答案】
(1)①$-\frac{1}{2}$；$0$
②$y=\frac{1}{2}x^2+\frac{1}{2}x+1$
(2)$y=x^2$，$y=x^2+1$，$y=2x^2$，$y=-x^2+2$，$y=-x^2+1$，$y=-2x^2+2$
【知识点】
待定系数法求二次函数解析式；二次函数的性质；二次函数的平移
【点评】
本题围绕二次函数解析式的确定展开，既考查了基础的待定系数法应用，也要求结合格点的坐标特征进行分类讨论，解题时需注意不要遗漏符合条件的情况，养成有序枚举的习惯。
【难度系数】
0.6