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7.已知二次函数$y=x^2 -4x -m$的最小值是1，则$m=$
$-5$
。答案
$-5$
解析
【分析】
二次函数$y=ax^2+bx+c$（$a≠0$）中，当$a＞0$时开口向上，函数最小值为顶点的纵坐标。本题可先通过配方法将给定的二次函数化为顶点式，直接得到最小值的表达式，再结合题目给出的最小值为1的条件列方程，即可求出$m$的值；也可直接代入二次函数最值公式求解。
【解析】
解：已知二次函数$y=x^2-4x-m$，其中二次项系数$a=1＞0$，因此函数开口向上，最小值为顶点的纵坐标。
对函数进行配方：
$\begin{aligned}y&=x^2-4x-m\\&=(x^2-4x+4)-4-m\\&=(x-2)^2-(4+m)\end{aligned}$
因此函数的最小值为$-(4+m)$，根据题意最小值为1，列方程：
$-(4+m)=1$
解得：$m=-5$
【答案】
$-5$
【知识点】
二次函数的最值；配方法化顶点式；一元一次方程求解
【点评】
本题是二次函数的基础应用题，核心考查二次函数最值的性质，熟练掌握配方法或二次函数最值公式即可快速解题，解题时需注意符号运算，避免出错。
【难度系数】
0.7
二次函数$y=ax^2+bx+c$（$a≠0$）中，当$a＞0$时开口向上，函数最小值为顶点的纵坐标。本题可先通过配方法将给定的二次函数化为顶点式，直接得到最小值的表达式，再结合题目给出的最小值为1的条件列方程，即可求出$m$的值；也可直接代入二次函数最值公式求解。
【解析】
解：已知二次函数$y=x^2-4x-m$，其中二次项系数$a=1＞0$，因此函数开口向上，最小值为顶点的纵坐标。
对函数进行配方：
$\begin{aligned}y&=x^2-4x-m\\&=(x^2-4x+4)-4-m\\&=(x-2)^2-(4+m)\end{aligned}$
因此函数的最小值为$-(4+m)$，根据题意最小值为1，列方程：
$-(4+m)=1$
解得：$m=-5$
【答案】
$-5$
【知识点】
二次函数的最值；配方法化顶点式；一元一次方程求解
【点评】
本题是二次函数的基础应用题，核心考查二次函数最值的性质，熟练掌握配方法或二次函数最值公式即可快速解题，解题时需注意符号运算，避免出错。
【难度系数】
0.7
8.已知二次函数$y=ax^2+bx+c(a≠0)$的顶点坐标$(-1,-3.2)$及部分图象(如图),由图象可知关于$x$的方程$ax^2+bx+c=0$的两个根分别是$x_1=1.3$和$x_2=$
$-3.3$
。答案
$-3.3$
解析
【分析】
要解决这道题，需结合二次函数的性质和一元二次方程的关系分析：①一元二次方程$ax^2+bx+c=0$的根对应二次函数$y=ax^2+bx+c$图象与x轴交点的横坐标；②二次函数的图象是轴对称图形，其对称轴为过顶点且垂直于x轴的直线，抛物线与x轴的两个交点关于对称轴对称，即两个根到对称轴的距离相等。我们先由顶点坐标确定对称轴，再利用对称性即可求出未知的根。
【解析】
解：
∵二次函数$y=ax^2+bx+c$的顶点坐标为$(-1,-3.2)$，
∴该抛物线的对称轴为直线$x=-1$。
∵方程$ax^2+bx+c=0$的两个根是抛物线与x轴两个交点的横坐标，且两个交点关于直线$x=-1$对称，
∴两个根的平均数等于对称轴对应的x值，即$\frac{x_1+x_2}{2}=-1$。
将$x_1=1.3$代入得：$\frac{1.3+x_2}{2}=-1$，
解得$x_2=-2-1.3=-3.3$。
【答案】
$-3.3$
【知识点】
二次函数的对称性；二次函数与一元二次方程的联系
【点评】
本题无需求解二次函数的解析式，只需利用二次函数的对称性即可快速求得方程的另一个根，体现了数形结合思想在解题中的应用，解题的关键是明确抛物线与x轴的交点关于对称轴对称。
【难度系数】
0.7
要解决这道题，需结合二次函数的性质和一元二次方程的关系分析：①一元二次方程$ax^2+bx+c=0$的根对应二次函数$y=ax^2+bx+c$图象与x轴交点的横坐标；②二次函数的图象是轴对称图形，其对称轴为过顶点且垂直于x轴的直线，抛物线与x轴的两个交点关于对称轴对称，即两个根到对称轴的距离相等。我们先由顶点坐标确定对称轴，再利用对称性即可求出未知的根。
【解析】
解：
∵二次函数$y=ax^2+bx+c$的顶点坐标为$(-1,-3.2)$，
∴该抛物线的对称轴为直线$x=-1$。
∵方程$ax^2+bx+c=0$的两个根是抛物线与x轴两个交点的横坐标，且两个交点关于直线$x=-1$对称，
∴两个根的平均数等于对称轴对应的x值，即$\frac{x_1+x_2}{2}=-1$。
将$x_1=1.3$代入得：$\frac{1.3+x_2}{2}=-1$，
解得$x_2=-2-1.3=-3.3$。
【答案】
$-3.3$
【知识点】
二次函数的对称性；二次函数与一元二次方程的联系
【点评】
本题无需求解二次函数的解析式，只需利用二次函数的对称性即可快速求得方程的另一个根，体现了数形结合思想在解题中的应用，解题的关键是明确抛物线与x轴的交点关于对称轴对称。
【难度系数】
0.7
9. 在平面直角坐标系 $ xOy $ 中，直线 $ y = x - \frac{3}{2} $ 与 $ y $ 轴交于点 $ A $，抛物线 $ y = ax^2 + 2ax + c $ 经过点 $ A $。
(1) 求抛物线的对称轴；
(2) 若抛物线 $ y = -\frac{1}{2}x^2 $ 是由抛物线 $ y = ax^2 + 2ax + c $ 经过平移得到的，求抛物线 $ y = ax^2 + 2ax + c $ 的表达式；
(3) 在(2)的条件下，已知点 $ (1, y_1), (-2, y_2), (4, y_3) $ 都在抛物线 $ y = ax^2 + 2ax + c $ 上，比较 $ y_1, y_2, y_3 $ 的大小，并说明理由。
(1) 求抛物线的对称轴；
(2) 若抛物线 $ y = -\frac{1}{2}x^2 $ 是由抛物线 $ y = ax^2 + 2ax + c $ 经过平移得到的，求抛物线 $ y = ax^2 + 2ax + c $ 的表达式；
(3) 在(2)的条件下，已知点 $ (1, y_1), (-2, y_2), (4, y_3) $ 都在抛物线 $ y = ax^2 + 2ax + c $ 上，比较 $ y_1, y_2, y_3 $ 的大小，并说明理由。
答案
解:(1)由题意可知$-\frac{2a}{2a}=-1$，抛物线的对称轴是直线$x=-1$。
(2)$\because$平移前后抛物线表达式中二次项的系数不变，
$\therefore a=-\frac{1}{2}$。
将$x=0$代入$y=x-\frac{3}{2}$得$y=-\frac{3}{2}$，
则点$A$的坐标为$(0,-\frac{3}{2})$。
将点$A$的坐标代入抛物线表达式，得
$c=-\frac{3}{2}$，
所以抛物线的表达式为$y=-\frac{1}{2}x^2 -x -\frac{3}{2}$。
(3)$y_3＜y_1＜y_2$。理由如下：
$\because 1-(-1)=2,-1-(-2)=1,4-(-1)=5$，
$5＞2＞1$，
且抛物线的开口向下，
$\therefore$抛物线上离对称轴越远的点函数值越小，
则$y_3＜y_1＜y_2$。
(2)$\because$平移前后抛物线表达式中二次项的系数不变，
$\therefore a=-\frac{1}{2}$。
将$x=0$代入$y=x-\frac{3}{2}$得$y=-\frac{3}{2}$，
则点$A$的坐标为$(0,-\frac{3}{2})$。
将点$A$的坐标代入抛物线表达式，得
$c=-\frac{3}{2}$，
所以抛物线的表达式为$y=-\frac{1}{2}x^2 -x -\frac{3}{2}$。
(3)$y_3＜y_1＜y_2$。理由如下：
$\because 1-(-1)=2,-1-(-2)=1,4-(-1)=5$，
$5＞2＞1$，
且抛物线的开口向下，
$\therefore$抛物线上离对称轴越远的点函数值越小，
则$y_3＜y_1＜y_2$。
解析
【分析】
(1) 求抛物线对称轴可直接利用二次函数对称轴公式$x=-\frac{b}{2a}$，结合抛物线$y=ax^2+2ax+c$可得$b=2a$，代入公式即可直接计算出对称轴；
(2) 抛物线平移前后二次项系数$a$不变，先根据平移关系确定$a$的取值，再求出直线与$y$轴交点$A$的坐标，将$A$代入抛物线表达式求出$c$，即可得到抛物线解析式；
(3) 开口向下的抛物线中，抛物线上的点到对称轴的距离越远，对应的函数值越小，先计算三个点到对称轴$x=-1$的距离，比较距离大小即可判断$y_1,y_2,y_3$的大小关系。
【解析】
(1) 对于抛物线$y=ax^2+2ax+c$，根据对称轴公式可得：$x=-\frac{2a}{2a}=-1$，即抛物线的对称轴是直线$x=-1$。
(2) $\because$抛物线平移前后二次项系数不变，抛物线$y=ax^2+2ax+c$平移后得到$y=-\frac{1}{2}x^2$，$\therefore a=-\frac{1}{2}$。
将$x=0$代入$y=x-\frac{3}{2}$，得$y=-\frac{3}{2}$，即点$A$的坐标为$(0,-\frac{3}{2})$。
将$A(0,-\frac{3}{2})$代入抛物线表达式，得$c=-\frac{3}{2}$，因此抛物线的表达式为$y=-\frac{1}{2}x^2 -x -\frac{3}{2}$。
(3) $y_3＜y_1＜y_2$，理由如下：
抛物线开口向下，对称轴为直线$x=-1$，计算三个点到对称轴的距离：
$\vert1-(-1)\vert=2$，$\vert-2-(-1)\vert=1$，$\vert4-(-1)\vert=5$，可得$5＞2＞1$。
$\because$开口向下的抛物线上的点离对称轴越远，函数值越小，$\therefore y_3＜y_1＜y_2$。
【答案】
(1) 直线$x=-1$
(2) $y=-\frac{1}{2}x^2 -x -\frac{3}{2}$
(3) $y_3＜y_1＜y_2$
【知识点】
1. 二次函数对称轴计算
2. 二次函数平移性质
3. 二次函数增减性
【点评】
本题是二次函数基础题型，涵盖了二次函数核心的基础考点，解题的关键是熟练掌握二次函数对称轴公式、平移规律和增减性的应用，属于常规得分题型。
【难度系数】
0.7
(1) 求抛物线对称轴可直接利用二次函数对称轴公式$x=-\frac{b}{2a}$，结合抛物线$y=ax^2+2ax+c$可得$b=2a$，代入公式即可直接计算出对称轴；
(2) 抛物线平移前后二次项系数$a$不变，先根据平移关系确定$a$的取值，再求出直线与$y$轴交点$A$的坐标，将$A$代入抛物线表达式求出$c$，即可得到抛物线解析式；
(3) 开口向下的抛物线中，抛物线上的点到对称轴的距离越远，对应的函数值越小，先计算三个点到对称轴$x=-1$的距离，比较距离大小即可判断$y_1,y_2,y_3$的大小关系。
【解析】
(1) 对于抛物线$y=ax^2+2ax+c$，根据对称轴公式可得：$x=-\frac{2a}{2a}=-1$，即抛物线的对称轴是直线$x=-1$。
(2) $\because$抛物线平移前后二次项系数不变，抛物线$y=ax^2+2ax+c$平移后得到$y=-\frac{1}{2}x^2$，$\therefore a=-\frac{1}{2}$。
将$x=0$代入$y=x-\frac{3}{2}$，得$y=-\frac{3}{2}$，即点$A$的坐标为$(0,-\frac{3}{2})$。
将$A(0,-\frac{3}{2})$代入抛物线表达式，得$c=-\frac{3}{2}$，因此抛物线的表达式为$y=-\frac{1}{2}x^2 -x -\frac{3}{2}$。
(3) $y_3＜y_1＜y_2$，理由如下：
抛物线开口向下，对称轴为直线$x=-1$，计算三个点到对称轴的距离：
$\vert1-(-1)\vert=2$，$\vert-2-(-1)\vert=1$，$\vert4-(-1)\vert=5$，可得$5＞2＞1$。
$\because$开口向下的抛物线上的点离对称轴越远，函数值越小，$\therefore y_3＜y_1＜y_2$。
【答案】
(1) 直线$x=-1$
(2) $y=-\frac{1}{2}x^2 -x -\frac{3}{2}$
(3) $y_3＜y_1＜y_2$
【知识点】
1. 二次函数对称轴计算
2. 二次函数平移性质
3. 二次函数增减性
【点评】
本题是二次函数基础题型，涵盖了二次函数核心的基础考点，解题的关键是熟练掌握二次函数对称轴公式、平移规律和增减性的应用，属于常规得分题型。
【难度系数】
0.7
10. 在平面直角坐标系$xOy$中，已知抛物线$y=ax^2 - 2ax + 4(a＞0)$。
(1)抛物线的对称轴为直线$x=\_\_\_\_\_\_$，抛物线与$y$轴的交点坐标为________；
(2)若抛物线的顶点在$x$轴上，写出抛物线的顶点坐标，并求它的表达式；
(3)若$A(m-1,y_1),B(m,y_2),C(m+2,y_3)$为抛物线上三点，且总有$y_1＞y_3＞y_2$，结合图象，求$m$的取值范围。
(1)抛物线的对称轴为直线$x=\_\_\_\_\_\_$，抛物线与$y$轴的交点坐标为________；
(2)若抛物线的顶点在$x$轴上，写出抛物线的顶点坐标，并求它的表达式；
(3)若$A(m-1,y_1),B(m,y_2),C(m+2,y_3)$为抛物线上三点，且总有$y_1＞y_3＞y_2$，结合图象，求$m$的取值范围。
答案
解:(1)1 $(0,4)$
(2)$\because$抛物线的顶点在$x$轴上，
$\therefore$抛物线的顶点坐标为$(1,0)$。
把$(1,0)$的坐标代入$y=ax^2-2ax+4$，得$0=a×1^2-2a×1+4$，
解得$a=4$，
$\therefore$抛物线的表达式为$y=4x^2-8x+4$。
(3)$\because A(m-1,y_1),B(m,y_2),C(m+2,y_3)$为抛物线上三点，且总有$y_1＞y_3＞y_2$，
又$\because m-1＜m＜m+2$，抛物线的对称轴是直线$x=1$，
$\therefore A,B$两点位于对称轴左侧，点$C$位于对称轴右侧，且点$A$到对称轴的距离大于点$B$到对称轴的距离，点$C$到对称轴的距离大于点$B$到对称轴的距离，
$\therefore 1-(m-1)＞m+2-1＞1-m$，
解得$0＜m＜\frac{1}{2}$。
(2)$\because$抛物线的顶点在$x$轴上，
$\therefore$抛物线的顶点坐标为$(1,0)$。
把$(1,0)$的坐标代入$y=ax^2-2ax+4$，得$0=a×1^2-2a×1+4$，
解得$a=4$，
$\therefore$抛物线的表达式为$y=4x^2-8x+4$。
(3)$\because A(m-1,y_1),B(m,y_2),C(m+2,y_3)$为抛物线上三点，且总有$y_1＞y_3＞y_2$，
又$\because m-1＜m＜m+2$，抛物线的对称轴是直线$x=1$，
$\therefore A,B$两点位于对称轴左侧，点$C$位于对称轴右侧，且点$A$到对称轴的距离大于点$B$到对称轴的距离，点$C$到对称轴的距离大于点$B$到对称轴的距离，
$\therefore 1-(m-1)＞m+2-1＞1-m$，
解得$0＜m＜\frac{1}{2}$。
解析
【分析】
本题围绕二次函数的性质逐步递进考查：
(1) 求抛物线对称轴可直接用二次函数对称轴公式$x=-\frac{b}{2a}$计算；求与y轴交点只需令$x=0$，代入解析式求出对应$y$值即可得到交点坐标。
(2) 顶点在x轴上说明顶点纵坐标为0，结合(1)中求出的对称轴$x=1$，可直接确定顶点坐标，再将顶点坐标代入解析式求出$a$的值，即可得到抛物线表达式。
(3) 已知$a＞0$，抛物线开口向上，此时抛物线上的点离对称轴越远，对应的函数值越大。根据给出的$y_1＞y_3＞y_2$的大小关系，转化为三个点到对称轴$x=1$的距离的大小关系，列出不等式组求解即可得到$m$的取值范围。
【解析】
(1) 对于抛物线$y=ax^2-2ax+4$，其中$b=-2a$，代入对称轴公式得：
$x=-\frac{b}{2a}=-\frac{-2a}{2a}=1$；
令$x=0$，代入解析式得$y=4$，因此抛物线与$y$轴的交点坐标为$(0,4)$。
(2) $\because$抛物线的顶点在$x$轴上，且对称轴为直线$x=1$，
$\therefore$抛物线的顶点坐标为$(1,0)$。
将$(1,0)$代入$y=ax^2-2ax+4$，得：
$0=a×1^2-2a×1+4$，
解得$a=4$，
$\therefore$抛物线的表达式为$y=4x^2-8x+4$。
(3) $\because a＞0$，抛物线开口向上，函数值随点到对称轴的距离增大而增大，
已知$y_1＞y_3＞y_2$，因此三点到对称轴$x=1$的距离满足：
$A$到对称轴的距离$＞C$到对称轴的距离$＞B$到对称轴的距离，
结合点的横坐标大小关系可去掉绝对值得不等式：
$1-(m-1)＞m+2-1＞1-m$，
解左边不等式：$1-m+1＞m+1$，得$m＜\frac{1}{2}$；
解右边不等式：$m+1＞1-m$，得$m＞0$；
综上可得$0＜m＜\frac{1}{2}$。
【答案】
(1) $\boxed{1}$，$\boxed{(0,4)}$；
(2) 顶点坐标为$\boxed{(1,0)}$，抛物线表达式为$\boxed{y=4x^2-8x+4}$；
(3) $m$的取值范围是$\boxed{0＜m＜\frac{1}{2}}$。
【知识点】
二次函数的图象与性质；待定系数法求解析式；二次函数与不等式
【点评】
本题梯度设置合理，前两问考查二次函数基础知识点，属于常规得分题；第三问需要结合二次函数增减性，将函数值的大小关系转化为点到对称轴的距离关系，侧重考查数形结合思想的应用，能有效检验对二次函数性质的灵活运用能力。
【难度系数】
0.6
本题围绕二次函数的性质逐步递进考查：
(1) 求抛物线对称轴可直接用二次函数对称轴公式$x=-\frac{b}{2a}$计算；求与y轴交点只需令$x=0$，代入解析式求出对应$y$值即可得到交点坐标。
(2) 顶点在x轴上说明顶点纵坐标为0，结合(1)中求出的对称轴$x=1$，可直接确定顶点坐标，再将顶点坐标代入解析式求出$a$的值，即可得到抛物线表达式。
(3) 已知$a＞0$，抛物线开口向上，此时抛物线上的点离对称轴越远，对应的函数值越大。根据给出的$y_1＞y_3＞y_2$的大小关系，转化为三个点到对称轴$x=1$的距离的大小关系，列出不等式组求解即可得到$m$的取值范围。
【解析】
(1) 对于抛物线$y=ax^2-2ax+4$，其中$b=-2a$，代入对称轴公式得：
$x=-\frac{b}{2a}=-\frac{-2a}{2a}=1$；
令$x=0$，代入解析式得$y=4$，因此抛物线与$y$轴的交点坐标为$(0,4)$。
(2) $\because$抛物线的顶点在$x$轴上，且对称轴为直线$x=1$，
$\therefore$抛物线的顶点坐标为$(1,0)$。
将$(1,0)$代入$y=ax^2-2ax+4$，得：
$0=a×1^2-2a×1+4$，
解得$a=4$，
$\therefore$抛物线的表达式为$y=4x^2-8x+4$。
(3) $\because a＞0$，抛物线开口向上，函数值随点到对称轴的距离增大而增大，
已知$y_1＞y_3＞y_2$，因此三点到对称轴$x=1$的距离满足：
$A$到对称轴的距离$＞C$到对称轴的距离$＞B$到对称轴的距离，
结合点的横坐标大小关系可去掉绝对值得不等式：
$1-(m-1)＞m+2-1＞1-m$，
解左边不等式：$1-m+1＞m+1$，得$m＜\frac{1}{2}$；
解右边不等式：$m+1＞1-m$，得$m＞0$；
综上可得$0＜m＜\frac{1}{2}$。
【答案】
(1) $\boxed{1}$，$\boxed{(0,4)}$；
(2) 顶点坐标为$\boxed{(1,0)}$，抛物线表达式为$\boxed{y=4x^2-8x+4}$；
(3) $m$的取值范围是$\boxed{0＜m＜\frac{1}{2}}$。
【知识点】
二次函数的图象与性质；待定系数法求解析式；二次函数与不等式
【点评】
本题梯度设置合理，前两问考查二次函数基础知识点，属于常规得分题；第三问需要结合二次函数增减性，将函数值的大小关系转化为点到对称轴的距离关系，侧重考查数形结合思想的应用，能有效检验对二次函数性质的灵活运用能力。
【难度系数】
0.6
