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17.跳绳是大家喜爱的一项体育运动，当绳子甩到最高处时，可将其形状视为一条抛物线。如图所示的是小冬与小雪将绳子甩到最高处时的示意图，已知两人拿绳子的手到地面的高度都为1 m，并且相距4 m，现以两人的站立点所在的直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系，其中小冬拿绳子的手的坐标是(0，1)。身高1.60 m的小丽站在绳子的正下方，且距y轴1 m时，绳子刚好经过她的头顶。若身高1.75 m的小伟站在这条绳子的正下方，他距y轴m m，为确保绳子超过他的头顶，则m的取值范围为
$1.5＜m＜2.5$
。答案
$1.5＜m＜2.5$
解析
【分析】
本题是二次函数的实际应用问题，解题思路清晰可按三步推进：第一步，根据题目给出的已知点坐标，用待定系数法求出抛物线的解析式，已知抛物线经过$(0,1)$、$(4,1)$、$(1,1.6)$三个点，代入即可求解系数；第二步，根据“绳子超过小伟头顶”的要求，列出$y＞1.75$的不等式；第三步，求解不等式得到$x$的取值范围，也就是$m$的取值范围。
【解析】
设抛物线的解析式为$y=ax^2+bx+c(a≠0)$。
由题意可知抛物线经过点$(0,1)$、$(4,1)$、$(1,1.6)$：
1. 将$(0,1)$代入解析式，直接得$c=1$；
2. 将$(4,1)$代入$y=ax^2+bx+1$，得$16a+4b+1=1$，化简得$4a+b=0$ ①；
3. 将$(1,1.6)$代入$y=ax^2+bx+1$，得$a+b+1=1.6$，化简得$a+b=0.6$ ②。
用①$-$②得：$3a=-0.6$，解得$a=-0.2$；
将$a=-0.2$代入②，得$-0.2+b=0.6$，解得$b=0.8$。
因此抛物线的解析式为$y=-0.2x^2+0.8x+1$。
要使绳子超过小伟头顶，即$y＞1.75$，列不等式：
$-0.2x^2+0.8x+1＞1.75$
整理得：$x^2-4x+3.75＜0$。
解方程$x^2-4x+3.75=0$，由求根公式得：
$x=\frac{4\pm\sqrt{16-15}}{2}=\frac{4\pm1}{2}$
解得$x_1=1.5$，$x_2=2.5$。
由于该二次函数开口向上，因此不等式$x^2-4x+3.75＜0$的解集为$1.5＜x＜2.5$，即$m$的取值范围是$1.5＜m＜2.5$。
【答案】
$1.5＜m＜2.5$
【知识点】
待定系数法求解析式；二次函数与不等式；二次函数实际应用
【点评】
本题结合生活场景考查二次函数的应用，解题核心是准确求出抛物线解析式，再结合函数与不等式的关系求解取值范围，能有效考查学生将实际问题转化为数学问题的能力。
【难度系数】
0.65
本题是二次函数的实际应用问题，解题思路清晰可按三步推进：第一步，根据题目给出的已知点坐标，用待定系数法求出抛物线的解析式，已知抛物线经过$(0,1)$、$(4,1)$、$(1,1.6)$三个点，代入即可求解系数；第二步，根据“绳子超过小伟头顶”的要求，列出$y＞1.75$的不等式；第三步，求解不等式得到$x$的取值范围，也就是$m$的取值范围。
【解析】
设抛物线的解析式为$y=ax^2+bx+c(a≠0)$。
由题意可知抛物线经过点$(0,1)$、$(4,1)$、$(1,1.6)$：
1. 将$(0,1)$代入解析式，直接得$c=1$；
2. 将$(4,1)$代入$y=ax^2+bx+1$，得$16a+4b+1=1$，化简得$4a+b=0$ ①；
3. 将$(1,1.6)$代入$y=ax^2+bx+1$，得$a+b+1=1.6$，化简得$a+b=0.6$ ②。
用①$-$②得：$3a=-0.6$，解得$a=-0.2$；
将$a=-0.2$代入②，得$-0.2+b=0.6$，解得$b=0.8$。
因此抛物线的解析式为$y=-0.2x^2+0.8x+1$。
要使绳子超过小伟头顶，即$y＞1.75$，列不等式：
$-0.2x^2+0.8x+1＞1.75$
整理得：$x^2-4x+3.75＜0$。
解方程$x^2-4x+3.75=0$，由求根公式得：
$x=\frac{4\pm\sqrt{16-15}}{2}=\frac{4\pm1}{2}$
解得$x_1=1.5$，$x_2=2.5$。
由于该二次函数开口向上，因此不等式$x^2-4x+3.75＜0$的解集为$1.5＜x＜2.5$，即$m$的取值范围是$1.5＜m＜2.5$。
【答案】
$1.5＜m＜2.5$
【知识点】
待定系数法求解析式；二次函数与不等式；二次函数实际应用
【点评】
本题结合生活场景考查二次函数的应用，解题核心是准确求出抛物线解析式，再结合函数与不等式的关系求解取值范围，能有效考查学生将实际问题转化为数学问题的能力。
【难度系数】
0.65
18.体育课上小明推铅球,若铅球离开手的水平距离为$x$(m),铅球离地面的高度为$y$(m),铅球的运行路线为抛物线$y=-0.1×(x-3)^2 +2.5$。当铅球下降过程中到地面的高度达到2.4 m时,铅球离开手的水平距离为
$4$
m。答案
$4$
解析
【分析】
题目给出了铅球运行轨迹的二次函数解析式，要求下降过程中高度为2.4m时对应的水平距离，解题思路如下：1. 首先将高度y=2.4代入抛物线解析式，得到关于x的一元二次方程；2. 求解方程得到两个x的值；3. 结合抛物线的增减性判断下降过程对应的x的取值范围，筛选出符合条件的解即可。
【解析】
将y=2.4代入抛物线解析式$y=-0.1×(x-3)^2 +2.5$，得：
$2.4 = -0.1(x-3)^2 + 2.5$
移项整理：
$-0.1 = -0.1(x-3)^2$
两边同时除以$-0.1$，得：
$(x-3)^2 = 1$
开方得：$x-3 = ±1$
解得：$x_1=4$，$x_2=2$
已知抛物线$y=-0.1(x-3)^2 +2.5$开口向下，对称轴为直线$x=3$：
当$x＜3$时，y随x的增大而增大，为铅球上升阶段；
当$x＞3$时，y随x的增大而减小，为铅球下降阶段。
题目要求下降过程的水平距离，因此舍去$x=2$，取$x=4$。
【答案】
$4$
【知识点】
二次函数的应用；解一元二次方程；二次函数的性质
【点评】
本题结合生活场景考查二次函数的实际应用，解题时需注意根据题目限定条件对解出的结果进行筛选，避免因忽略“下降过程”的要求而错选答案。
【难度系数】
0.7
题目给出了铅球运行轨迹的二次函数解析式，要求下降过程中高度为2.4m时对应的水平距离，解题思路如下：1. 首先将高度y=2.4代入抛物线解析式，得到关于x的一元二次方程；2. 求解方程得到两个x的值；3. 结合抛物线的增减性判断下降过程对应的x的取值范围，筛选出符合条件的解即可。
【解析】
将y=2.4代入抛物线解析式$y=-0.1×(x-3)^2 +2.5$，得：
$2.4 = -0.1(x-3)^2 + 2.5$
移项整理：
$-0.1 = -0.1(x-3)^2$
两边同时除以$-0.1$，得：
$(x-3)^2 = 1$
开方得：$x-3 = ±1$
解得：$x_1=4$，$x_2=2$
已知抛物线$y=-0.1(x-3)^2 +2.5$开口向下，对称轴为直线$x=3$：
当$x＜3$时，y随x的增大而增大，为铅球上升阶段；
当$x＞3$时，y随x的增大而减小，为铅球下降阶段。
题目要求下降过程的水平距离，因此舍去$x=2$，取$x=4$。
【答案】
$4$
【知识点】
二次函数的应用；解一元二次方程；二次函数的性质
【点评】
本题结合生活场景考查二次函数的实际应用，解题时需注意根据题目限定条件对解出的结果进行筛选，避免因忽略“下降过程”的要求而错选答案。
【难度系数】
0.7
19.某景区旅游商店以20元/kg的价格采购一款旅游食品后出售，销售价格不低于22元/kg，不高于45元/kg。经市场调查发现每天的销售量y(kg)与销售价格x(元/kg)之间的函数关系如图所示。
(1)求y关于x的函数表达式；
(2)当销售价格定为多少时，该商店销售这款食品每天获得的销售利润最大？最大销售利润是多少？[销售利润=(销售价格－采购价格)×销售量]
(1)求y关于x的函数表达式；
(2)当销售价格定为多少时，该商店销售这款食品每天获得的销售利润最大？最大销售利润是多少？[销售利润=(销售价格－采购价格)×销售量]
答案
解:(1)当$22≤ x≤30$时,设函数表达式为$y=kx+b$。
将$(22,48),(30,40)$的坐标代入表达式,得
$\begin{cases}22k+b=48,\\30k+b=40,\end{cases}$ 解得$\begin{cases}k=-1,\\b=70,\end{cases}$
$\therefore$函数表达式为$y=-x+70$。
当$30＜x≤45$时,设函数表达式为$y=mx+n$。
将$(30,40),(45,10)$的坐标代入表达式,得
$\begin{cases}30m+n=40,\\45m+n=10,\end{cases}$ 解得$\begin{cases}m=-2,\\n=100,\end{cases}$
$\therefore$函数表达式为$y=-2x+100$。
综上可知,$y$与$x$的函数表达式为
$y=\begin{cases}-x+70(22≤ x≤30),\\-2x+100(30＜x≤45)。\end{cases}$
(2)设利润为$w$元,当$22≤ x≤30$时,$w=(x-20)(-x+70)=-x^2+90x-1400=-(x-45)^2+625$，
当$x=30$时,$w$取得最大值,最大值为400。
当$30＜x≤45$时,$w=(x-20)(-2x+100)=-2x^2+140x-2000=-2(x-35)^2+450$，
当$x=35$时,$w$取得最大值,最大值为450。
$\because450＞400$，
$\therefore$当销售价格定为35元/kg时,该商店销售这款食品每天获得的销售利润最大,最大销售利润为450元。
将$(22,48),(30,40)$的坐标代入表达式,得
$\begin{cases}22k+b=48,\\30k+b=40,\end{cases}$ 解得$\begin{cases}k=-1,\\b=70,\end{cases}$
$\therefore$函数表达式为$y=-x+70$。
当$30＜x≤45$时,设函数表达式为$y=mx+n$。
将$(30,40),(45,10)$的坐标代入表达式,得
$\begin{cases}30m+n=40,\\45m+n=10,\end{cases}$ 解得$\begin{cases}m=-2,\\n=100,\end{cases}$
$\therefore$函数表达式为$y=-2x+100$。
综上可知,$y$与$x$的函数表达式为
$y=\begin{cases}-x+70(22≤ x≤30),\\-2x+100(30＜x≤45)。\end{cases}$
(2)设利润为$w$元,当$22≤ x≤30$时,$w=(x-20)(-x+70)=-x^2+90x-1400=-(x-45)^2+625$，
当$x=30$时,$w$取得最大值,最大值为400。
当$30＜x≤45$时,$w=(x-20)(-2x+100)=-2x^2+140x-2000=-2(x-35)^2+450$，
当$x=35$时,$w$取得最大值,最大值为450。
$\because450＞400$，
$\therefore$当销售价格定为35元/kg时,该商店销售这款食品每天获得的销售利润最大,最大销售利润为450元。
解析
【分析】
(1) 观察图像可知y是关于x的分段一次函数，需分$22≤ x≤30$和$30＜x≤45$两种情况讨论，分别设出一次函数的一般式，将对应区间内的两个已知点坐标代入，用待定系数法即可求出两段的函数表达式，最后综合写出分段函数即可。
(2) 根据“销售利润=(销售价格-采购价格)×销售量”的公式，分两段分别列出利润w关于x的二次函数表达式，结合二次函数的开口方向、对称轴以及自变量x的取值范围，分别求出两段的利润最大值，再比较两个最大值的大小，较大的即为总最大利润，对应的x值就是所求的销售价格。
【解析】
(1) 分情况求函数表达式：
① 当$22≤ x≤30$时，设$y=kx+b$，将$(22,48)$、$(30,40)$代入得：
$\begin{cases}22k+b=48\\30k+b=40\end{cases}$，解得$\begin{cases}k=-1\\b=70\end{cases}$，
$\therefore$ 此时函数表达式为$y=-x+70$；
② 当$30＜ x≤45$时，设$y=mx+n$，将$(30,40)$、$(45,10)$代入得：
$\begin{cases}30m+n=40\\45m+n=10\end{cases}$，解得$\begin{cases}m=-2\\n=100\end{cases}$，
$\therefore$ 此时函数表达式为$y=-2x+100$。
(2) 设每天获得的销售利润为w元，分情况求最值：
① 当$22≤ x≤30$时：
$w=(x-20)(-x+70)=-x^2+90x-1400=-(x-45)^2+625$，
该二次函数开口向下，对称轴为$x=45$，在$22≤ x≤30$范围内w随x的增大而增大，
$\therefore$ 当$x=30$时，w取最大值，最大值为$-(30-45)^2+625=400$；
② 当$30＜ x≤45$时：
$w=(x-20)(-2x+100)=-2x^2+140x-2000=-2(x-35)^2+450$，
该二次函数开口向下，对称轴为$x=35$，在定义域内顶点处取最大值，
$\therefore$ 当$x=35$时，w取最大值，最大值为450。
对比两个最大值，$450＞400$，即售价35元/kg时利润最大。
【答案】
(1) $y=\begin{cases}-x+70&(22≤ x≤30)\\-2x+100&(30＜ x≤45)\end{cases}$
(2) 当销售价格定为35元/kg时，销售利润最大，最大销售利润为450元。
【知识点】
1. 待定系数法求一次函数解析式
2. 二次函数最值计算
3. 分段函数实际应用
【点评】
本题是函数在销售利润问题中的典型应用，解题时需注意分段讨论自变量的取值范围，二次函数求最值时要结合定义域判断最值点的位置，避免直接取顶点值出现错误，是应用性较强的常考题型。
【难度系数】
0.65
(1) 观察图像可知y是关于x的分段一次函数，需分$22≤ x≤30$和$30＜x≤45$两种情况讨论，分别设出一次函数的一般式，将对应区间内的两个已知点坐标代入，用待定系数法即可求出两段的函数表达式，最后综合写出分段函数即可。
(2) 根据“销售利润=(销售价格-采购价格)×销售量”的公式，分两段分别列出利润w关于x的二次函数表达式，结合二次函数的开口方向、对称轴以及自变量x的取值范围，分别求出两段的利润最大值，再比较两个最大值的大小，较大的即为总最大利润，对应的x值就是所求的销售价格。
【解析】
(1) 分情况求函数表达式：
① 当$22≤ x≤30$时，设$y=kx+b$，将$(22,48)$、$(30,40)$代入得：
$\begin{cases}22k+b=48\\30k+b=40\end{cases}$，解得$\begin{cases}k=-1\\b=70\end{cases}$，
$\therefore$ 此时函数表达式为$y=-x+70$；
② 当$30＜ x≤45$时，设$y=mx+n$，将$(30,40)$、$(45,10)$代入得：
$\begin{cases}30m+n=40\\45m+n=10\end{cases}$，解得$\begin{cases}m=-2\\n=100\end{cases}$，
$\therefore$ 此时函数表达式为$y=-2x+100$。
(2) 设每天获得的销售利润为w元，分情况求最值：
① 当$22≤ x≤30$时：
$w=(x-20)(-x+70)=-x^2+90x-1400=-(x-45)^2+625$，
该二次函数开口向下，对称轴为$x=45$，在$22≤ x≤30$范围内w随x的增大而增大，
$\therefore$ 当$x=30$时，w取最大值，最大值为$-(30-45)^2+625=400$；
② 当$30＜ x≤45$时：
$w=(x-20)(-2x+100)=-2x^2+140x-2000=-2(x-35)^2+450$，
该二次函数开口向下，对称轴为$x=35$，在定义域内顶点处取最大值，
$\therefore$ 当$x=35$时，w取最大值，最大值为450。
对比两个最大值，$450＞400$，即售价35元/kg时利润最大。
【答案】
(1) $y=\begin{cases}-x+70&(22≤ x≤30)\\-2x+100&(30＜ x≤45)\end{cases}$
(2) 当销售价格定为35元/kg时，销售利润最大，最大销售利润为450元。
【知识点】
1. 待定系数法求一次函数解析式
2. 二次函数最值计算
3. 分段函数实际应用
【点评】
本题是函数在销售利润问题中的典型应用，解题时需注意分段讨论自变量的取值范围，二次函数求最值时要结合定义域判断最值点的位置，避免直接取顶点值出现错误，是应用性较强的常考题型。
【难度系数】
0.65
