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一般地,点 C 把线段 AB 分成两条线段AC 和 BC,如果
$\frac{AC}{AB}=\frac{BC}{AC}$
,那么称线段AB 被点 C 黄金分割
,点 C 叫作线段 AB的 黄金分割点
,AC 与 AB 的比叫作 黄金比
,等于 $\frac{\sqrt{5}-1}{2}$
,约为 0.618
。答案
$\frac{AC}{AB}=\frac{BC}{AC}$；黄金分割；黄金分割点；黄金比；$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$；0.618
解析
【分析】
本题考查黄金分割的相关基础概念，解题时需回忆黄金分割的定义、相关名称及比值的内容：首先明确黄金分割的核心是线段上的分点将线段分成的两段满足“较长段与全线段的比等于较短段与较长段的比”，再依次对应后续的名称、比值的准确表述即可完成填空。
【解析】
根据黄金分割的定义逐步推导：
1. 点C把线段AB分成两条线段AC和BC（AC为较长线段），若满足$\frac{AC}{AB}=\frac{BC}{AC}$，即较长线段是全线段和较短线段的比例中项，这是黄金分割的核心判定条件；
2. 满足上述比例关系时，称线段AB被点C黄金分割；
3. 这个分点C就叫作线段AB的黄金分割点；
4. 较长线段AC与全线段AB的比叫作黄金比；
5. 设AB=1，AC=x，可得方程$\frac{x}{1}=\frac{1-x}{x}$，整理得$x^2+x-1=0$，取正根得$x=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，即黄金比等于$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$；
6. 代入$\sqrt{5}\approx2.236$计算近似值，得$\frac{\sqrt{5}-1}{2}\approx0.618$。
将上述内容依次填入对应空中即可。
【答案】
$\frac{AC}{AB}=\frac{BC}{AC}$；黄金分割；黄金分割点；黄金比；$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$；0.618
【知识点】
1.黄金分割的定义 2.黄金比
【点评】
本题属于基础概念考察题，侧重对黄金分割相关定义、专有名词及比值的识记掌握，熟练记忆相关概念即可快速得分。
【难度系数】
0.9
本题考查黄金分割的相关基础概念，解题时需回忆黄金分割的定义、相关名称及比值的内容：首先明确黄金分割的核心是线段上的分点将线段分成的两段满足“较长段与全线段的比等于较短段与较长段的比”，再依次对应后续的名称、比值的准确表述即可完成填空。
【解析】
根据黄金分割的定义逐步推导：
1. 点C把线段AB分成两条线段AC和BC（AC为较长线段），若满足$\frac{AC}{AB}=\frac{BC}{AC}$，即较长线段是全线段和较短线段的比例中项，这是黄金分割的核心判定条件；
2. 满足上述比例关系时，称线段AB被点C黄金分割；
3. 这个分点C就叫作线段AB的黄金分割点；
4. 较长线段AC与全线段AB的比叫作黄金比；
5. 设AB=1，AC=x，可得方程$\frac{x}{1}=\frac{1-x}{x}$，整理得$x^2+x-1=0$，取正根得$x=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，即黄金比等于$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$；
6. 代入$\sqrt{5}\approx2.236$计算近似值，得$\frac{\sqrt{5}-1}{2}\approx0.618$。
将上述内容依次填入对应空中即可。
【答案】
$\frac{AC}{AB}=\frac{BC}{AC}$；黄金分割；黄金分割点；黄金比；$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$；0.618
【知识点】
1.黄金分割的定义 2.黄金比
【点评】
本题属于基础概念考察题，侧重对黄金分割相关定义、专有名词及比值的识记掌握，熟练记忆相关概念即可快速得分。
【难度系数】
0.9
1.若P是线段MN的黄金分割点(MP＞NP),则下列比例式成立的是(
A.$\frac{PM}{PN}=\frac{PN}{MN}$
B.$\frac{MN}{PM}=\frac{PN}{MN}$
C.$\frac{MN}{MP}=\frac{MP}{PN}$
D.$\frac{PN}{PM}=\frac{MN}{PM}$
C
)。A.$\frac{PM}{PN}=\frac{PN}{MN}$
B.$\frac{MN}{PM}=\frac{PN}{MN}$
C.$\frac{MN}{MP}=\frac{MP}{PN}$
D.$\frac{PN}{PM}=\frac{MN}{PM}$
答案
1.C
解析
【分析】
解决这道题首先要回忆黄金分割的定义：把一条线段分割为两部分，使较长部分与整条线段的长度比值等于较短部分与较长部分的长度比值。首先根据题中条件“MP＞NP”确定较长线段是MP，较短线段是NP，整条线段是MN，先写出黄金分割对应的基本比例式，再通过比例的基本性质变形，对比各个选项即可找到正确答案。
【解析】
已知P是线段MN的黄金分割点，且MP＞NP，根据黄金分割的定义可得：
$\frac{MP}{MN}=\frac{NP}{MP}$
根据比例的基本性质（内项积等于外项积），将该比例式变形可得：
$\frac{MN}{MP}=\frac{MP}{PN}$
逐一对比选项，只有C选项符合该比例式。
【答案】
C
【知识点】
黄金分割的定义；比例的基本性质
【点评】
本题考查黄金分割相关概念，解题的核心是准确区分黄金分割中的较长线段、较短线段和原线段，牢记三者之间的比例关系，避免因混淆线段长短而选错答案。
【难度系数】
0.7
解决这道题首先要回忆黄金分割的定义：把一条线段分割为两部分，使较长部分与整条线段的长度比值等于较短部分与较长部分的长度比值。首先根据题中条件“MP＞NP”确定较长线段是MP，较短线段是NP，整条线段是MN，先写出黄金分割对应的基本比例式，再通过比例的基本性质变形，对比各个选项即可找到正确答案。
【解析】
已知P是线段MN的黄金分割点，且MP＞NP，根据黄金分割的定义可得：
$\frac{MP}{MN}=\frac{NP}{MP}$
根据比例的基本性质（内项积等于外项积），将该比例式变形可得：
$\frac{MN}{MP}=\frac{MP}{PN}$
逐一对比选项，只有C选项符合该比例式。
【答案】
C
【知识点】
黄金分割的定义；比例的基本性质
【点评】
本题考查黄金分割相关概念，解题的核心是准确区分黄金分割中的较长线段、较短线段和原线段，牢记三者之间的比例关系，避免因混淆线段长短而选错答案。
【难度系数】
0.7
2.已知点 P 将线段 AB 黄金分割，且 AP＞BP，则下列结论不正确的是(
A.$\frac{AP}{BP}=\frac{AB}{AP}$
B.$AP\approx0.618AB$
C.$AP=\frac{\sqrt{5}-1}{2}AB$
D.$BP=\frac{\sqrt{5}-1}{2}AB$
D
)。A.$\frac{AP}{BP}=\frac{AB}{AP}$
B.$AP\approx0.618AB$
C.$AP=\frac{\sqrt{5}-1}{2}AB$
D.$BP=\frac{\sqrt{5}-1}{2}AB$
答案
2.D
解析
【分析】
首先明确题目的已知条件：点P是线段AB的黄金分割点，且较长线段为AP、较短线段为BP。解题时先回忆黄金分割的定义：将一条线段分割为两部分，使较长部分与整条线段的比值等于较短部分与较长部分的比值，该固定比值为黄金比$\frac{\sqrt{5}-1}{2}\approx0.618$。我们先根据定义写出核心比例关系，再逐个对选项进行变形、验证，即可判断出错误结论。
【解析】
∵点P将线段AB黄金分割，且$AP＞BP$，
∴AP是较长线段，根据黄金分割的定义可得：$\frac{AP}{AB}=\frac{BP}{AP}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$。
对各选项逐一判断：
A. 对$\frac{AP}{AB}=\frac{BP}{AP}$交叉变形可得$\frac{AP}{BP}=\frac{AB}{AP}$，该结论正确，不符合题意；
B. 黄金比$\frac{\sqrt{5}-1}{2}\approx0.618$，因此$AP\approx0.618AB$，该结论正确，不符合题意；
C. 由$\frac{AP}{AB}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，变形可得$AP=\frac{\sqrt{5}-1}{2}AB$，该结论正确，不符合题意；
D. $BP=AB-AP=AB-\frac{\sqrt{5}-1}{2}AB=\frac{3-\sqrt{5}}{2}AB≠\frac{\sqrt{5}-1}{2}AB$，该结论错误，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
黄金分割的定义，黄金比
【点评】
本题是基础概念考查题，重点在于区分黄金分割中较长线段、较短线段分别对应的比例关系，解题时要注意抓住“较长线段与原线段的比为黄金比”这一核心，避免混淆长短线段对应的比值。
【难度系数】
0.8
首先明确题目的已知条件：点P是线段AB的黄金分割点，且较长线段为AP、较短线段为BP。解题时先回忆黄金分割的定义：将一条线段分割为两部分，使较长部分与整条线段的比值等于较短部分与较长部分的比值，该固定比值为黄金比$\frac{\sqrt{5}-1}{2}\approx0.618$。我们先根据定义写出核心比例关系，再逐个对选项进行变形、验证，即可判断出错误结论。
【解析】
∵点P将线段AB黄金分割，且$AP＞BP$，
∴AP是较长线段，根据黄金分割的定义可得：$\frac{AP}{AB}=\frac{BP}{AP}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$。
对各选项逐一判断：
A. 对$\frac{AP}{AB}=\frac{BP}{AP}$交叉变形可得$\frac{AP}{BP}=\frac{AB}{AP}$，该结论正确，不符合题意；
B. 黄金比$\frac{\sqrt{5}-1}{2}\approx0.618$，因此$AP\approx0.618AB$，该结论正确，不符合题意；
C. 由$\frac{AP}{AB}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，变形可得$AP=\frac{\sqrt{5}-1}{2}AB$，该结论正确，不符合题意；
D. $BP=AB-AP=AB-\frac{\sqrt{5}-1}{2}AB=\frac{3-\sqrt{5}}{2}AB≠\frac{\sqrt{5}-1}{2}AB$，该结论错误，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
黄金分割的定义，黄金比
【点评】
本题是基础概念考查题，重点在于区分黄金分割中较长线段、较短线段分别对应的比例关系，解题时要注意抓住“较长线段与原线段的比为黄金比”这一核心，避免混淆长短线段对应的比值。
【难度系数】
0.8
3.在中华经典美文阅读中，小明同学发现自己的一本书的宽与长之比为黄金比。已知这本书的长为20 cm，则它的宽约为(
A.12.36 cm
B.13.6 cm
C.32.36 cm
D.7.64 cm
A
)。A.12.36 cm
B.13.6 cm
C.32.36 cm
D.7.64 cm
答案
3.A
解析
【分析】
解题时首先要明确黄金比的数值，黄金比的比值为$\frac{\sqrt{5}-1}{2}\approx0.618$。题目明确给出书的宽与长之比为黄金比，即宽:长=0.618，已知长为20cm，我们可以直接用长乘以黄金比的比值得到宽的长度，也可以先根据“书的宽一定小于长”的常识先排除大于20cm的选项C，缩小选择范围后再计算验证。
【解析】
解：黄金比的比值为$\frac{\sqrt{5}-1}{2}\approx0.618$，
由题意可知$\frac{宽}{长}=黄金比$，
已知书的长为20cm，代入关系式得：
宽=$20×0.618\approx12.36\mathrm{cm}$，
故选A。
【答案】
A
【知识点】
黄金比的概念，比例计算
【点评】
本题属于基础应用题，重点考查对黄金比概念的掌握，解题的关键是牢记黄金比的近似值，结合比例关系计算即可，也可结合生活常识先排除明显错误的选项，提升解题效率。
【难度系数】
0.8
解题时首先要明确黄金比的数值，黄金比的比值为$\frac{\sqrt{5}-1}{2}\approx0.618$。题目明确给出书的宽与长之比为黄金比，即宽:长=0.618，已知长为20cm，我们可以直接用长乘以黄金比的比值得到宽的长度，也可以先根据“书的宽一定小于长”的常识先排除大于20cm的选项C，缩小选择范围后再计算验证。
【解析】
解：黄金比的比值为$\frac{\sqrt{5}-1}{2}\approx0.618$，
由题意可知$\frac{宽}{长}=黄金比$，
已知书的长为20cm，代入关系式得：
宽=$20×0.618\approx12.36\mathrm{cm}$，
故选A。
【答案】
A
【知识点】
黄金比的概念，比例计算
【点评】
本题属于基础应用题，重点考查对黄金比概念的掌握，解题的关键是牢记黄金比的近似值，结合比例关系计算即可，也可结合生活常识先排除明显错误的选项，提升解题效率。
【难度系数】
0.8
4.如图，扇形的圆心角为α，其余部分的圆心角为β，为了使扇子的外形美观，通常情况下α与β的比按黄金分割设计。若取黄金比为0.6，则α=
135°
。答案
4.135°
解析
【分析】
解题首先要明确周角的度数为360°，因此扇形圆心角α和其余部分圆心角β的和为360°；再结合题目给出的黄金比条件，即α与β的比值为0.6，得到α和β的数量关系，将两个关系联立即可求出α的度数。
【解析】
∵ 周角的度数为360°
∴ $α + β = 360°$
由题意得黄金比为0.6，即 $\frac{α}{β}=0.6$，变形得 $α=0.6β$
将$α=0.6β$代入$α + β = 360°$，得：
$0.6β + β = 360°$
$1.6β = 360°$
解得 $β=225°$
则 $α=0.6×225°=135°$
【答案】
$135°$
【知识点】
周角的性质、黄金分割、比例运算
【点评】
本题是基础应用型题目，将黄金分割的比例关系和周角的性质结合考查，解题关键是找到两个角的和与比例关系，计算量较小，容易得分。
【难度系数】
0.8
解题首先要明确周角的度数为360°，因此扇形圆心角α和其余部分圆心角β的和为360°；再结合题目给出的黄金比条件，即α与β的比值为0.6，得到α和β的数量关系，将两个关系联立即可求出α的度数。
【解析】
∵ 周角的度数为360°
∴ $α + β = 360°$
由题意得黄金比为0.6，即 $\frac{α}{β}=0.6$，变形得 $α=0.6β$
将$α=0.6β$代入$α + β = 360°$，得：
$0.6β + β = 360°$
$1.6β = 360°$
解得 $β=225°$
则 $α=0.6×225°=135°$
【答案】
$135°$
【知识点】
周角的性质、黄金分割、比例运算
【点评】
本题是基础应用型题目，将黄金分割的比例关系和周角的性质结合考查，解题关键是找到两个角的和与比例关系，计算量较小，容易得分。
【难度系数】
0.8
5.东方明珠塔高约468 m，上球体(点A处)是塔身的黄金分割点(如图)，则点A到塔顶部的高度约是
178.8 m
。(精确到0.1 m)答案
5.178.8 m
解析
【分析】
解题首先要回忆黄金分割的定义：一条线段的黄金分割点将线段分为两部分，较长部分与整条线段的比值为$\frac{\sqrt{5}-1}{2}\approx0.618$。结合本题实际场景，上球体（点A）是塔身的黄金分割点，可知点A到塔底部的距离为较长线段，要求的点A到塔顶部的高度是较短线段，因此可以用总塔高减去较长线段的长度，或者直接用总塔高乘以$(1-0.618)$计算得到结果。
【解析】
解：根据黄金分割的性质，黄金分割点分线段所得较长线段与线段总长的比值约为0.618。
已知塔高为468m，点A到塔底的距离为较长线段，因此点A到塔顶部的高度为：
$468×(1-0.618)=468×0.382\approx178.8(\mathrm{m})$
【答案】
178.8 m
【知识点】
黄金分割；近似数计算
【点评】
本题是黄金分割在实际生活中的应用题目，解题核心是准确理解黄金分割的比例关系，结合实际场景判断所求线段对应较长段还是较短段，再代入数值计算即可，注意结果要按要求取近似值。
【难度系数】
0.7
解题首先要回忆黄金分割的定义：一条线段的黄金分割点将线段分为两部分，较长部分与整条线段的比值为$\frac{\sqrt{5}-1}{2}\approx0.618$。结合本题实际场景，上球体（点A）是塔身的黄金分割点，可知点A到塔底部的距离为较长线段，要求的点A到塔顶部的高度是较短线段，因此可以用总塔高减去较长线段的长度，或者直接用总塔高乘以$(1-0.618)$计算得到结果。
【解析】
解：根据黄金分割的性质，黄金分割点分线段所得较长线段与线段总长的比值约为0.618。
已知塔高为468m，点A到塔底的距离为较长线段，因此点A到塔顶部的高度为：
$468×(1-0.618)=468×0.382\approx178.8(\mathrm{m})$
【答案】
178.8 m
【知识点】
黄金分割；近似数计算
【点评】
本题是黄金分割在实际生活中的应用题目，解题核心是准确理解黄金分割的比例关系，结合实际场景判断所求线段对应较长段还是较短段，再代入数值计算即可，注意结果要按要求取近似值。
【难度系数】
0.7
6. 如图，在$△ ABC$中，已知$AB=AC=3$，$BC=4$，若$D$，$E$是边$BC$的两个“黄金分割”点，则$△ ADE$的面积为（
A.$10 - 4\sqrt{5}$
B.$3\sqrt{5} - 5$
C.$\dfrac{5 - 2\sqrt{5}}{2}$
D.$20 - 8\sqrt{5}$
A
）。A.$10 - 4\sqrt{5}$
B.$3\sqrt{5} - 5$
C.$\dfrac{5 - 2\sqrt{5}}{2}$
D.$20 - 8\sqrt{5}$
答案
6.A
解析
【分析】
要解决本题，可按以下思路推导：①首先△ABC是等腰三角形，过A作BC边上的高，利用等腰三角形三线合一和勾股定理求出高的长度，这是计算三角形面积的基础；②根据黄金分割的定义，黄金比为$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，先求出BC边上较长分割线段的长度，再推导得到DE的长度；③△ADE的高与△ABC的高相同，结合底DE的长度，利用三角形面积公式即可求出结果。
【解析】
过点$A$作$AF⊥ BC$于点$F$。
$\because AB=AC=3$，$BC=4$，$\therefore$由等腰三角形三线合一得$BF=FC=\frac{1}{2}BC=2$。
在$\mathrm{Rt}△ ABF$中，由勾股定理得：$AF=\sqrt{AB^2-BF^2}=\sqrt{3^2-2^2}=\sqrt{5}$。
$\because D$、$E$是$BC$的黄金分割点，黄金分割比为$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，
$\therefore$较长线段$BE=CD=BC×\frac{\sqrt{5}-1}{2}=4×\frac{\sqrt{5}-1}{2}=2\sqrt{5}-2$，
$\therefore BD=BC-CD=4-(2\sqrt{5}-2)=6-2\sqrt{5}$，同理$EC=6-2\sqrt{5}$，
$\therefore DE=BC-BD-EC=4-2×(6-2\sqrt{5})=4\sqrt{5}-8$。
则$△ ADE$的面积为：
$S_{△ ADE}=\frac{1}{2}× DE× AF=\frac{1}{2}×(4\sqrt{5}-8)×\sqrt{5}=\frac{1}{2}×(20-8\sqrt{5})=10-4\sqrt{5}$。
故选A。
【答案】
A
【知识点】
黄金分割；等腰三角形的性质；勾股定理
【点评】
本题是基础综合题，解题的核心是熟练掌握黄金分割的定义，正确求出线段DE的长度，再结合等腰三角形的性质和面积公式计算即可，易错点是混淆黄金分割中较长线段和较短线段的比例关系。
【难度系数】
0.6
要解决本题，可按以下思路推导：①首先△ABC是等腰三角形，过A作BC边上的高，利用等腰三角形三线合一和勾股定理求出高的长度，这是计算三角形面积的基础；②根据黄金分割的定义，黄金比为$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，先求出BC边上较长分割线段的长度，再推导得到DE的长度；③△ADE的高与△ABC的高相同，结合底DE的长度，利用三角形面积公式即可求出结果。
【解析】
过点$A$作$AF⊥ BC$于点$F$。
$\because AB=AC=3$，$BC=4$，$\therefore$由等腰三角形三线合一得$BF=FC=\frac{1}{2}BC=2$。
在$\mathrm{Rt}△ ABF$中，由勾股定理得：$AF=\sqrt{AB^2-BF^2}=\sqrt{3^2-2^2}=\sqrt{5}$。
$\because D$、$E$是$BC$的黄金分割点，黄金分割比为$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，
$\therefore$较长线段$BE=CD=BC×\frac{\sqrt{5}-1}{2}=4×\frac{\sqrt{5}-1}{2}=2\sqrt{5}-2$，
$\therefore BD=BC-CD=4-(2\sqrt{5}-2)=6-2\sqrt{5}$，同理$EC=6-2\sqrt{5}$，
$\therefore DE=BC-BD-EC=4-2×(6-2\sqrt{5})=4\sqrt{5}-8$。
则$△ ADE$的面积为：
$S_{△ ADE}=\frac{1}{2}× DE× AF=\frac{1}{2}×(4\sqrt{5}-8)×\sqrt{5}=\frac{1}{2}×(20-8\sqrt{5})=10-4\sqrt{5}$。
故选A。
【答案】
A
【知识点】
黄金分割；等腰三角形的性质；勾股定理
【点评】
本题是基础综合题，解题的核心是熟练掌握黄金分割的定义，正确求出线段DE的长度，再结合等腰三角形的性质和面积公式计算即可，易错点是混淆黄金分割中较长线段和较短线段的比例关系。
【难度系数】
0.6
7.电视节目主持人在主持节目时，站在舞台的黄金分割点处最自然得体。如图，若舞台AB长为20 m，试计算主持人应走到离A点
$(10\sqrt{5}-10)\mathrm{m}$或$(30-10\sqrt{5})\mathrm{m}$
处比较得体。答案
7.$(10\sqrt{5}-10)\mathrm{m}$或$(30-10\sqrt{5})\mathrm{m}$
解析
【分析】
要解决这个问题，首先需要明确黄金分割的定义：把一条线段分成两部分，使较长部分与全长的比值等于较短部分与较长部分的比值，这个比值为$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$。同时要注意，一条线段有2个黄金分割点，分别靠近线段的两个端点，因此本题需要分两种情况讨论：一种是主持人站在靠近A点的黄金分割点（此时靠近B的部分为较长段），另一种是站在靠近B点的黄金分割点（此时靠近A的部分为较长段），分别计算两种情况下到A点的距离即可。
【解析】
已知舞台AB长为20m，黄金分割比为$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，分两种情况计算：
1. 当主持人站在靠近B点的黄金分割点时，此时到A点的距离为较长线段：
$AP = \frac{\sqrt{5}-1}{2} × AB = \frac{\sqrt{5}-1}{2} × 20 = 10\sqrt{5}-10 \ (\mathrm{m})$
2. 当主持人站在靠近A点的黄金分割点时，此时到B点的距离为较长线段，到A点的距离为较短线段：
$AP = AB - \frac{\sqrt{5}-1}{2} × AB = 20 - (10\sqrt{5}-10) = 30 - 10\sqrt{5} \ (\mathrm{m})$
【答案】
$(10\sqrt{5}-10)\mathrm{m}$或$(30-10\sqrt{5})\mathrm{m}$
【知识点】
黄金分割的定义；线段长度计算
【点评】
本题是黄金分割在实际生活中的应用，解题的关键是牢记黄金分割比，同时注意一条线段存在两个黄金分割点，避免漏解。
【难度系数】
0.7
要解决这个问题，首先需要明确黄金分割的定义：把一条线段分成两部分，使较长部分与全长的比值等于较短部分与较长部分的比值，这个比值为$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$。同时要注意，一条线段有2个黄金分割点，分别靠近线段的两个端点，因此本题需要分两种情况讨论：一种是主持人站在靠近A点的黄金分割点（此时靠近B的部分为较长段），另一种是站在靠近B点的黄金分割点（此时靠近A的部分为较长段），分别计算两种情况下到A点的距离即可。
【解析】
已知舞台AB长为20m，黄金分割比为$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，分两种情况计算：
1. 当主持人站在靠近B点的黄金分割点时，此时到A点的距离为较长线段：
$AP = \frac{\sqrt{5}-1}{2} × AB = \frac{\sqrt{5}-1}{2} × 20 = 10\sqrt{5}-10 \ (\mathrm{m})$
2. 当主持人站在靠近A点的黄金分割点时，此时到B点的距离为较长线段，到A点的距离为较短线段：
$AP = AB - \frac{\sqrt{5}-1}{2} × AB = 20 - (10\sqrt{5}-10) = 30 - 10\sqrt{5} \ (\mathrm{m})$
【答案】
$(10\sqrt{5}-10)\mathrm{m}$或$(30-10\sqrt{5})\mathrm{m}$
【知识点】
黄金分割的定义；线段长度计算
【点评】
本题是黄金分割在实际生活中的应用，解题的关键是牢记黄金分割比，同时注意一条线段存在两个黄金分割点，避免漏解。
【难度系数】
0.7
8.顶角为$36°$的等腰三角形称为黄金三角形，黄金三角形的底与腰的比为$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$。如图，若$△ ABC$，$△ BDC$，$△ DEC$都是黄金三角形，已知$AB=4$，则$DE=$
$6-2\sqrt{5}$
。答案
8.$6-2\sqrt{5}$
解析
【分析】
解题时首先利用黄金三角形“底边长与腰长的比为$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$”的性质，先确定△ABC的腰和底边，求出BC的长度；再以BC为△BDC的腰，求出DC的长度；最后结合等腰三角形等角对等边的性质，得出DE与DC相等，即可得到DE的长度。
【解析】
解：
∵△ABC是黄金三角形，顶角∠A=36°，AB=AC=4，
∴底边BC与腰AB的比值为$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，
∴$BC=AB×\frac{\sqrt{5}-1}{2}=4×\frac{\sqrt{5}-1}{2}=2(\sqrt{5}-1)$。
∵△BDC是黄金三角形，顶角∠DBC=36°，BC为其腰长，
∴底边DC与腰BC的比值为$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，
∴$DC=BC×\frac{\sqrt{5}-1}{2}=2(\sqrt{5}-1)×\frac{\sqrt{5}-1}{2}=(\sqrt{5}-1)^2=6-2\sqrt{5}$。
又
∵△DEC是黄金三角形，顶角∠EDC=36°，
∴底角∠DEC=∠C=72°，由等角对等边得$DE=DC$，
∴$DE=6-2\sqrt{5}$。
【答案】
$6-2\sqrt{5}$
【知识点】
黄金三角形的性质、等腰三角形的性质、二次根式的运算
【点评】
本题主要考查黄金三角形的特殊比例性质，解题的关键是准确判断每个黄金三角形对应的腰和底边，结合等腰三角形的边角关系逐步推导边长，计算时要注意二次根式乘法的运算规则。
【难度系数】
0.6
解题时首先利用黄金三角形“底边长与腰长的比为$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$”的性质，先确定△ABC的腰和底边，求出BC的长度；再以BC为△BDC的腰，求出DC的长度；最后结合等腰三角形等角对等边的性质，得出DE与DC相等，即可得到DE的长度。
【解析】
解：
∵△ABC是黄金三角形，顶角∠A=36°，AB=AC=4，
∴底边BC与腰AB的比值为$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，
∴$BC=AB×\frac{\sqrt{5}-1}{2}=4×\frac{\sqrt{5}-1}{2}=2(\sqrt{5}-1)$。
∵△BDC是黄金三角形，顶角∠DBC=36°，BC为其腰长，
∴底边DC与腰BC的比值为$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，
∴$DC=BC×\frac{\sqrt{5}-1}{2}=2(\sqrt{5}-1)×\frac{\sqrt{5}-1}{2}=(\sqrt{5}-1)^2=6-2\sqrt{5}$。
又
∵△DEC是黄金三角形，顶角∠EDC=36°，
∴底角∠DEC=∠C=72°，由等角对等边得$DE=DC$，
∴$DE=6-2\sqrt{5}$。
【答案】
$6-2\sqrt{5}$
【知识点】
黄金三角形的性质、等腰三角形的性质、二次根式的运算
【点评】
本题主要考查黄金三角形的特殊比例性质，解题的关键是准确判断每个黄金三角形对应的腰和底边，结合等腰三角形的边角关系逐步推导边长，计算时要注意二次根式乘法的运算规则。
【难度系数】
0.6
