9.如图,乐器上的一根弦$AB=80\ \mathrm{cm}$,两个端点$A,B$固定在乐器板面上,支撑点$C$是靠近点$B$的黄金分割点,支撑点$D$是靠近点$A$的黄金分割点,则$C,D$两点之间的距离为。

9.$(80\sqrt{5}-160)\mathrm{cm}$

【分析】
首先回忆黄金分割的定义：若一个点把一条线段分成两部分，较长部分与整条线段的比值等于较短部分与较长部分的比值，这个比值为$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，该点就是线段的黄金分割点。本题中，支撑点C是靠近B的黄金分割点，因此AC是AB上的较长线段，可得$AC=\frac{\sqrt{5}-1}{2}AB$；支撑点D是靠近A的黄金分割点，因此BD是AB上的较长线段，可得$BD=\frac{\sqrt{5}-1}{2}AB$。观察线段关系可知$AC+BD=AB+CD$，因此$CD=AC+BD-AB$，代入数值计算即可得到结果。
【解析】
解：已知$AB=80\ \mathrm{cm}$，
$\because$ 点C是靠近点B的黄金分割点，
$\therefore AC=\frac{\sqrt{5}-1}{2}× AB=\frac{\sqrt{5}-1}{2}×80=40(\sqrt{5}-1)\ \mathrm{cm}$，
$\because$ 点D是靠近点A的黄金分割点，
$\therefore BD=\frac{\sqrt{5}-1}{2}× AB=40(\sqrt{5}-1)\ \mathrm{cm}$，
又$\because AC+BD=(AD+CD)+(CD+BC)=AB+CD$，
$\therefore CD=AC+BD-AB$
$=40(\sqrt{5}-1)+40(\sqrt{5}-1)-80$
$=80(\sqrt{5}-1)-80$
$=80\sqrt{5}-80-80$
$=(80\sqrt{5}-160)\ \mathrm{cm}$。
【答案】
$(80\sqrt{5}-160)\mathrm{cm}$
【知识点】
黄金分割，线段和差计算
【点评】
本题考查黄金分割的实际应用，解题的关键是准确理解黄金分割点的定义，找准较长线段与原线段的比例关系，结合线段的和差运算即可求解，熟记黄金比是解题的核心。
【难度系数】
0.7

10.阅读理解：
二次根式的除法，要化去分母中的根号，需将分子、分母同乘一个恰当的二次根式。
例如：化简$\frac{1}{\sqrt{3}-\sqrt{2}}$。
解：将分子、分母同乘$\sqrt{3}+\sqrt{2}$，得
$\frac{1}{\sqrt{3}-\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{3}+\sqrt{2}}{(\sqrt{3}-\sqrt{2})(\sqrt{3}+\sqrt{2})}=\sqrt{3}+\sqrt{2}$。
类比运用：
(1)$\frac{1}{\sqrt{2}-1}=$。
拓展延伸：
宽与长的比是$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$的矩形叫黄金矩形。如图①，已知黄金矩形ABCD的宽$AB=\sqrt{2}$。
(2)求黄金矩形ABCD中边BC的长。
(3)如图②，将图①中的黄金矩形截剪掉一个以AB为边的正方形ABEF，得到新的矩形DCEF，猜想矩形DCEF是否为黄金矩形，并证明你的结论。

10. (1)$\sqrt{2}+1$
解析:$\frac{1}{\sqrt{2}-1}=\frac{\sqrt{2}+1}{(\sqrt{2}-1)(\sqrt{2}+1)}=\sqrt{2}+1$。
(2)解:$\because$宽与长的比是$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$的矩形叫黄金矩形,黄金矩形 ABCD 的宽 $AB=\sqrt{2}$,
$\therefore BC=\frac{\sqrt{2}}{\frac{\sqrt{5}-1}{2}}=\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{5}-1}=\frac{\sqrt{10}+\sqrt{2}}{2}$。
(3)解:矩形 DCEF 为黄金矩形。理由如下：
由裁剪可知 $AB=AF=BE=EF=CD=\sqrt{2}$,
由第(2)问可知 $AD=BC=\frac{\sqrt{10}+\sqrt{2}}{2}$,
$\therefore DF=EC=AD-AF=\frac{\sqrt{10}+\sqrt{2}}{2}-\sqrt{2}=\frac{\sqrt{10}-\sqrt{2}}{2}$,$\therefore \frac{DF}{EF}=\frac{\frac{\sqrt{10}-\sqrt{2}}{2}}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$,
故矩形 DCEF 为黄金矩形。

【分析】
（1）第一问考查分母有理化，参考给出的示例，分子分母同乘分母的共轭二次根式$\sqrt{2}+1$，利用平方差公式消去分母中的根号，化简即可得到结果。
（2）第二问根据黄金矩形的定义，宽与长的比为$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，已知宽$AB$的长度，代入比例关系求出长$BC$，计算过程中需要对分母含有根号的分式进行有理化化简。
（3）第三问先根据正方形的性质得到各边长度，再计算新矩形$DCEF$的宽与长的比值，判断该比值是否等于黄金比$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，即可验证是否为黄金矩形。
【解析】
(1) 对$\frac{1}{\sqrt{2}-1}$分母有理化，分子分母同乘$\sqrt{2}+1$：
$\frac{1}{\sqrt{2}-1}=\frac{\sqrt{2}+1}{(\sqrt{2}-1)(\sqrt{2}+1)}=\frac{\sqrt{2}+1}{(\sqrt{2})^2-1^2}=\sqrt{2}+1$
(2) 由黄金矩形的定义可知，$\frac{AB}{BC}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，已知$AB=\sqrt{2}$，代入得：
$BC=\frac{AB}{\frac{\sqrt{5}-1}{2}}=\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{5}-1}$
对该式分母有理化，分子分母同乘$\sqrt{5}+1$：
$BC=\frac{2\sqrt{2}(\sqrt{5}+1)}{(\sqrt{5}-1)(\sqrt{5}+1)}=\frac{2\sqrt{10}+2\sqrt{2}}{5-1}=\frac{\sqrt{10}+\sqrt{2}}{2}$
(3) 矩形$DCEF$是黄金矩形，证明如下：
∵四边形$ABEF$是正方形，
∴$AF=AB=EF=\sqrt{2}$，且$AD=BC=\frac{\sqrt{10}+\sqrt{2}}{2}$
∴$DF=AD-AF=\frac{\sqrt{10}+\sqrt{2}}{2}-\sqrt{2}=\frac{\sqrt{10}-\sqrt{2}}{2}$
计算矩形$DCEF$的宽与长的比：
$\frac{DF}{EF}=\frac{\frac{\sqrt{10}-\sqrt{2}}{2}}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{10}-\sqrt{2}}{2\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{5}}{2}-\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$
符合黄金矩形的定义，故矩形$DCEF$是黄金矩形。
【答案】
(1) $\sqrt{2}+1$；(2) $BC=\frac{\sqrt{10}+\sqrt{2}}{2}$；(3) 矩形$DCEF$是黄金矩形
【知识点】
分母有理化，黄金矩形的判定，二次根式化简
【点评】
本题将二次根式运算与几何图形性质结合，既考查了分母有理化的计算技能，又考查了利用定义验证几何图形特征的能力，计算过程中注意二次根式的运算规则，避免计算失误。
【难度系数】
0.7