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课堂精要·梳理内容
平行线分线段成比例
内容
基本图形
基本事实
两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例。如图，$l_1 // l_2 // l_3$，则$\frac{AB}{BC}=$
推论
平行于三角形一边的直线与其他两边相
截得的对应线段成比例。如图①，$DE // BC$，则$\frac{AD}{BD}=$
解题策略
当题中无平行线求线段的比时，有时也需作平行线，可将一条直线上的两条线段的比转化到另一条直线上求解
平行线分线段成比例
内容
基本图形
基本事实
两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例。如图，$l_1 // l_2 // l_3$，则$\frac{AB}{BC}=$
$\frac{DE}{EF}$
，$\frac{AB}{AC}=$$\frac{DE}{DF}$
，$\frac{AC}{BC}=$$\frac{DF}{EF}$
推论
平行于三角形一边的直线与其他两边相
截得的对应线段成比例。如图①，$DE // BC$，则$\frac{AD}{BD}=$$\frac{AE}{EC}$
，$\frac{AD}{AB}=$$\frac{AE}{AC}$
；如图②，$DE // BC$，则$\frac{AD}{AB}=$$\frac{AE}{AC}$
，$\frac{BD}{AB}=$$\frac{CE}{AC}$
解题策略
当题中无平行线求线段的比时，有时也需作平行线，可将一条直线上的两条线段的比转化到另一条直线上求解
答案
$\frac{DE}{EF}$、$\frac{DE}{DF}$、$\frac{DF}{EF}$、$\frac{AE}{EC}$、$\frac{AE}{AC}$、$\frac{AE}{AC}$、$\frac{CE}{AC}$
解析
【分析】
解题时首先回忆平行线分线段成比例的基本事实和推论内容：①三条平行线截两条直线时，所得的对应线段成比例，需找准不同直线上线段的对应关系，上下段对应上下段，部分与整体对应部分与整体；②平行于三角形一边的直线截两边（或两边延长线）时，属于平行线分线段成比例的特殊情况（A型、X型），同样按照对应线段成比例的规律匹配对应比值即可。
【解析】
1. 基本事实部分：已知$l_1 // l_2 // l_3$，根据平行线分线段成比例基本事实，两条直线被平行线所截的对应线段成比例：
线段$AB$与$BC$是左侧直线上的上下两段，对应右侧直线上的上下两段$DE$、$EF$，故$\frac{AB}{BC}=\frac{DE}{EF}$；
线段$AB$是左侧直线上段，$AC$是左侧直线总长度，对应右侧上段$DE$和总长度$DF$，故$\frac{AB}{AC}=\frac{DE}{DF}$；
线段$AC$是左侧直线总长度，$BC$是左侧直线下段，对应右侧总长度$DF$和下段$EF$，故$\frac{AC}{BC}=\frac{DF}{EF}$。
2. 推论部分：
图①为“A型”图，$DE // BC$，截$△ ABC$的$AB$、$AC$边，对应线段成比例：$\frac{AD}{BD}=\frac{AE}{EC}$，$\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}$；
图②为“X型”图，$DE // BC$，截$AB$、$AC$的延长线，对应线段成比例：$\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}$，$\frac{BD}{AB}=\frac{CE}{AC}$。
【答案】
$\frac{DE}{EF}$、$\frac{DE}{DF}$、$\frac{DF}{EF}$、$\frac{AE}{EC}$、$\frac{AE}{AC}$、$\frac{AE}{AC}$、$\frac{CE}{AC}$
【知识点】
平行线分线段成比例，比例线段，三角形平行线截边性质
【点评】
本题是平行线分线段成比例相关内容的基础考查，核心是找准不同图形中线段的对应关系，熟练掌握A型、X型两类常见图形的比例规律，是后续学习相似三角形判定和性质的重要基础。
【难度系数】
0.8
解题时首先回忆平行线分线段成比例的基本事实和推论内容：①三条平行线截两条直线时，所得的对应线段成比例，需找准不同直线上线段的对应关系，上下段对应上下段，部分与整体对应部分与整体；②平行于三角形一边的直线截两边（或两边延长线）时，属于平行线分线段成比例的特殊情况（A型、X型），同样按照对应线段成比例的规律匹配对应比值即可。
【解析】
1. 基本事实部分：已知$l_1 // l_2 // l_3$，根据平行线分线段成比例基本事实，两条直线被平行线所截的对应线段成比例：
线段$AB$与$BC$是左侧直线上的上下两段，对应右侧直线上的上下两段$DE$、$EF$，故$\frac{AB}{BC}=\frac{DE}{EF}$；
线段$AB$是左侧直线上段，$AC$是左侧直线总长度，对应右侧上段$DE$和总长度$DF$，故$\frac{AB}{AC}=\frac{DE}{DF}$；
线段$AC$是左侧直线总长度，$BC$是左侧直线下段，对应右侧总长度$DF$和下段$EF$，故$\frac{AC}{BC}=\frac{DF}{EF}$。
2. 推论部分：
图①为“A型”图，$DE // BC$，截$△ ABC$的$AB$、$AC$边，对应线段成比例：$\frac{AD}{BD}=\frac{AE}{EC}$，$\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}$；
图②为“X型”图，$DE // BC$，截$AB$、$AC$的延长线，对应线段成比例：$\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}$，$\frac{BD}{AB}=\frac{CE}{AC}$。
【答案】
$\frac{DE}{EF}$、$\frac{DE}{DF}$、$\frac{DF}{EF}$、$\frac{AE}{EC}$、$\frac{AE}{AC}$、$\frac{AE}{AC}$、$\frac{CE}{AC}$
【知识点】
平行线分线段成比例，比例线段，三角形平行线截边性质
【点评】
本题是平行线分线段成比例相关内容的基础考查，核心是找准不同图形中线段的对应关系，熟练掌握A型、X型两类常见图形的比例规律，是后续学习相似三角形判定和性质的重要基础。
【难度系数】
0.8
1.如图，直线 $ l_1 // l_2 // l_3 $，若 $ AB=2 $，$ BC=3 $，$ DE=1 $，则 $ EF $ 的值为（
A.$\frac{2}{3}$
B.$\frac{3}{2}$
C.6
D.$\frac{1}{6}$
B
）。A.$\frac{2}{3}$
B.$\frac{3}{2}$
C.6
D.$\frac{1}{6}$
答案
1.B
解析
【分析】
观察图形可知三条直线互相平行，被两条截线所截，可联想到平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例。首先找到对应线段：左侧截线上的AB、BC分别对应右侧截线上的DE、EF，据此列出比例式，代入已知数值就能计算出EF的长度。
【解析】
解：
∵ $ l_1 // l_2 // l_3 $
根据平行线分线段成比例定理，可得：
$\frac{AB}{BC}=\frac{DE}{EF}$
将$ AB=2 $，$ BC=3 $，$ DE=1 $代入比例式：
$\frac{2}{3}=\frac{1}{EF}$
交叉相乘得：$2EF=3$
解得：$EF=\frac{3}{2}$
【答案】
B
【知识点】
平行线分线段成比例；比例式计算
【点评】
本题属于基础题，主要考查平行线分线段成比例定理的简单应用，解题核心是准确识别对应线段并列对比例式，计算量小，熟记定理即可轻松解答。
【难度系数】
0.8
观察图形可知三条直线互相平行，被两条截线所截，可联想到平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例。首先找到对应线段：左侧截线上的AB、BC分别对应右侧截线上的DE、EF，据此列出比例式，代入已知数值就能计算出EF的长度。
【解析】
解：
∵ $ l_1 // l_2 // l_3 $
根据平行线分线段成比例定理，可得：
$\frac{AB}{BC}=\frac{DE}{EF}$
将$ AB=2 $，$ BC=3 $，$ DE=1 $代入比例式：
$\frac{2}{3}=\frac{1}{EF}$
交叉相乘得：$2EF=3$
解得：$EF=\frac{3}{2}$
【答案】
B
【知识点】
平行线分线段成比例；比例式计算
【点评】
本题属于基础题，主要考查平行线分线段成比例定理的简单应用，解题核心是准确识别对应线段并列对比例式，计算量小，熟记定理即可轻松解答。
【难度系数】
0.8
2.已知两条直线被三条平行线所截，截得线段的长度如图所示，则x的值为（
A.7
B.$\frac{21}{4}$
C.$\frac{28}{3}$
D.$\frac{12}{7}$
B
）。A.7
B.$\frac{21}{4}$
C.$\frac{28}{3}$
D.$\frac{12}{7}$
答案
2.B
解析
【分析】
首先观察图形特征：三条平行线截两条直线，符合平行线分线段成比例定理的应用场景。解题时先找准两条被截直线上的对应线段：左侧直线上截得的上下段分别为3、x，右侧直线上截得的上下段分别为4、7，根据对应线段成比例列出比例式，再求解即可得到x的值。
【解析】
根据平行线分线段成比例定理：两条直线被三条平行线所截，所得的对应线段成比例，可得：
$\frac{3}{4}=\frac{x}{7}$
交叉相乘得：$4x=3×7$
解得：$x=\frac{21}{4}$
【答案】
B
【知识点】
平行线分线段成比例定理；解一元一次方程
【点评】
本题是基础应用题，核心是熟练掌握平行线分线段成比例定理，解题的关键是准确找到对应线段，避免对应关系混淆出错。
【难度系数】
0.7
首先观察图形特征：三条平行线截两条直线，符合平行线分线段成比例定理的应用场景。解题时先找准两条被截直线上的对应线段：左侧直线上截得的上下段分别为3、x，右侧直线上截得的上下段分别为4、7，根据对应线段成比例列出比例式，再求解即可得到x的值。
【解析】
根据平行线分线段成比例定理：两条直线被三条平行线所截，所得的对应线段成比例，可得：
$\frac{3}{4}=\frac{x}{7}$
交叉相乘得：$4x=3×7$
解得：$x=\frac{21}{4}$
【答案】
B
【知识点】
平行线分线段成比例定理；解一元一次方程
【点评】
本题是基础应用题，核心是熟练掌握平行线分线段成比例定理，解题的关键是准确找到对应线段，避免对应关系混淆出错。
【难度系数】
0.7
3.如图，直线$l_1// l_2// l_3// l_4$，则下列结论正确的有（
①$\frac{AC}{CE}=\frac{BD}{DF}$；②$\frac{AE}{EG}=\frac{BF}{FH}$；③$\frac{AC}{AG}=\frac{BD}{BH}$；
④$\frac{AE}{BF}=\frac{AC}{BD}$；⑤$\frac{AE}{BF}=\frac{AG}{BH}$。
A.2个
B.3个
C.4个
D.5个
D
）。①$\frac{AC}{CE}=\frac{BD}{DF}$；②$\frac{AE}{EG}=\frac{BF}{FH}$；③$\frac{AC}{AG}=\frac{BD}{BH}$；
④$\frac{AE}{BF}=\frac{AC}{BD}$；⑤$\frac{AE}{BF}=\frac{AG}{BH}$。
A.2个
B.3个
C.4个
D.5个
答案
3.D
解析
【分析】
本题考查平行线分线段成比例定理的应用，解题思路如下：首先明确已知条件是四条直线互相平行，它们截两条不同的直线，根据平行线分线段成比例定理，截得的对应线段成比例；再结合比例的基本性质，逐一验证5个结论中的比例式是否符合对应线段成比例的要求即可。
【解析】
解：
∵直线$l_1// l_2// l_3// l_4$，根据平行线分线段成比例定理：一组平行线截两条直线，所得的对应线段成比例。
① 左边截线中线段$AC$对应右边截线中$BD$，$CE$对应$DF$，故$\frac{AC}{CE}=\frac{BD}{DF}$，①正确；
② 左边截线中线段$AE$对应右边截线中$BF$，$EG$对应$FH$，故$\frac{AE}{EG}=\frac{BF}{FH}$，②正确；
③ 左边截线中线段$AC$对应右边截线中$BD$，$AG$对应$BH$，故$\frac{AC}{AG}=\frac{BD}{BH}$，③正确；
④ 设$\frac{AC}{BD}=\frac{CE}{DF}=k$，则$AC=k· BD$，$CE=k· DF$，$AE=AC+CE=k(BD+DF)=k· BF$，故$\frac{AE}{BF}=k=\frac{AC}{BD}$，④正确；
⑤ 同理，$AG=AC+CE+EG=k(BD+DF+FH)=k· BH$，故$\frac{AG}{BH}=k=\frac{AE}{BF}$，⑤正确。
综上，5个结论全部正确。
【答案】
D
【知识点】
平行线分线段成比例，比例的基本性质
【点评】
本题重点考查对平行线分线段成比例定理的理解，解题的核心是准确识别对应线段，同时要能灵活运用比例的性质对比例式进行变形，掌握定理后很容易得分。
【难度系数】
0.7
本题考查平行线分线段成比例定理的应用，解题思路如下：首先明确已知条件是四条直线互相平行，它们截两条不同的直线，根据平行线分线段成比例定理，截得的对应线段成比例；再结合比例的基本性质，逐一验证5个结论中的比例式是否符合对应线段成比例的要求即可。
【解析】
解：
∵直线$l_1// l_2// l_3// l_4$，根据平行线分线段成比例定理：一组平行线截两条直线，所得的对应线段成比例。
① 左边截线中线段$AC$对应右边截线中$BD$，$CE$对应$DF$，故$\frac{AC}{CE}=\frac{BD}{DF}$，①正确；
② 左边截线中线段$AE$对应右边截线中$BF$，$EG$对应$FH$，故$\frac{AE}{EG}=\frac{BF}{FH}$，②正确；
③ 左边截线中线段$AC$对应右边截线中$BD$，$AG$对应$BH$，故$\frac{AC}{AG}=\frac{BD}{BH}$，③正确；
④ 设$\frac{AC}{BD}=\frac{CE}{DF}=k$，则$AC=k· BD$，$CE=k· DF$，$AE=AC+CE=k(BD+DF)=k· BF$，故$\frac{AE}{BF}=k=\frac{AC}{BD}$，④正确；
⑤ 同理，$AG=AC+CE+EG=k(BD+DF+FH)=k· BH$，故$\frac{AG}{BH}=k=\frac{AE}{BF}$，⑤正确。
综上，5个结论全部正确。
【答案】
D
【知识点】
平行线分线段成比例，比例的基本性质
【点评】
本题重点考查对平行线分线段成比例定理的理解，解题的核心是准确识别对应线段，同时要能灵活运用比例的性质对比例式进行变形，掌握定理后很容易得分。
【难度系数】
0.7
4.如图，$AB// CD$，$AD$，$CB$相交于点$O$，且$OB=\frac{1}{2}CO$，$AD=12$，则$OA=$
4
。答案
4.4
解析
【分析】
首先根据已知条件AB//CD，可推导得到两对内错角相等，结合对顶角相等即可证明△AOB与△DOC相似；再利用相似三角形对应边成比例的性质，得到OA与OD的比例关系；最后结合AD=OA+OD=12的线段和关系，即可求出OA的长度。
【解析】
解：$\because AB// CD$
$\therefore ∠ A=∠ D，∠ B=∠ C$（两直线平行，内错角相等）
又$\because ∠ AOB=∠ DOC$（对顶角相等）
$\therefore △ AOB∽ △ DOC$（两角分别相等的两个三角形相似）
$\therefore \frac{OA}{OD}=\frac{OB}{CO}$
已知$OB=\frac{1}{2}CO$，即$\frac{OB}{CO}=\frac{1}{2}$，代入得$\frac{OA}{OD}=\frac{1}{2}$，即$OD=2OA$
$\because AD=OA+OD=12$
$\therefore OA+2OA=12$，即$3OA=12$
解得$OA=4$
【答案】
4
【知识点】
相似三角形的判定；相似三角形的性质；平行线的性质
【点评】
本题是相似三角形应用的基础题型，解题核心是先通过平行线和对顶角证明三角形相似，再利用相似三角形的边比例关系结合线段和求解线段长，熟练掌握相似三角形的判定和性质即可快速解题。
【难度系数】
0.7
首先根据已知条件AB//CD，可推导得到两对内错角相等，结合对顶角相等即可证明△AOB与△DOC相似；再利用相似三角形对应边成比例的性质，得到OA与OD的比例关系；最后结合AD=OA+OD=12的线段和关系，即可求出OA的长度。
【解析】
解：$\because AB// CD$
$\therefore ∠ A=∠ D，∠ B=∠ C$（两直线平行，内错角相等）
又$\because ∠ AOB=∠ DOC$（对顶角相等）
$\therefore △ AOB∽ △ DOC$（两角分别相等的两个三角形相似）
$\therefore \frac{OA}{OD}=\frac{OB}{CO}$
已知$OB=\frac{1}{2}CO$，即$\frac{OB}{CO}=\frac{1}{2}$，代入得$\frac{OA}{OD}=\frac{1}{2}$，即$OD=2OA$
$\because AD=OA+OD=12$
$\therefore OA+2OA=12$，即$3OA=12$
解得$OA=4$
【答案】
4
【知识点】
相似三角形的判定；相似三角形的性质；平行线的性质
【点评】
本题是相似三角形应用的基础题型，解题核心是先通过平行线和对顶角证明三角形相似，再利用相似三角形的边比例关系结合线段和求解线段长，熟练掌握相似三角形的判定和性质即可快速解题。
【难度系数】
0.7
5. 如图，$DE // AF // BC$，且$AD = 2\ \mathrm{cm}$，$AB=6\ \mathrm{cm}$。
(1)求$\frac{AD}{BD}$的值；
(2)若$FD=1.5\ \mathrm{cm}$，$AE=1.2\ \mathrm{cm}$，分别求出$DC$和$EC$的值。
(1)求$\frac{AD}{BD}$的值；
(2)若$FD=1.5\ \mathrm{cm}$，$AE=1.2\ \mathrm{cm}$，分别求出$DC$和$EC$的值。
答案
5. 解:(1)$\frac{AD}{BD}=\frac{1}{2}$。
(2)$\because DE// AF// BC,\therefore \frac{AD}{BD}=\frac{FD}{DC}=\frac{AE}{EC}=\frac{1}{2}$。
$\therefore DC=2FD=3\ \mathrm{cm},EC=2AE=2.4\ \mathrm{cm}$。
(2)$\because DE// AF// BC,\therefore \frac{AD}{BD}=\frac{FD}{DC}=\frac{AE}{EC}=\frac{1}{2}$。
$\therefore DC=2FD=3\ \mathrm{cm},EC=2AE=2.4\ \mathrm{cm}$。
解析
【分析】
(1) 要求$\frac{AD}{BD}$的值，先根据已知的$AD$和$AB$的长度，利用线段的差求出$BD$的长度，再代入计算比值即可。
(2) 已知$DE // AF // BC$，可应用平行线分线段成比例定理得到对应线段的比值相等，结合第一问求出的比值，代入已知线段长度即可计算出$DC$和$EC$的值。
【解析】
(1) 已知$AD=2\ \mathrm{cm}$，$AB=6\ \mathrm{cm}$，则$BD=AB-AD=6-2=4\ \mathrm{cm}$，
因此$\frac{AD}{BD}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$。
(2) $\because DE // AF // BC$，根据平行线分线段成比例定理可得：
$\frac{AD}{BD}=\frac{FD}{DC}=\frac{AE}{EC}=\frac{1}{2}$，
将$FD=1.5\ \mathrm{cm}$代入$\frac{FD}{DC}=\frac{1}{2}$，得$DC=2FD=2×1.5=3\ \mathrm{cm}$；
将$AE=1.2\ \mathrm{cm}$代入$\frac{AE}{EC}=\frac{1}{2}$，得$EC=2AE=2×1.2=2.4\ \mathrm{cm}$。
【答案】
(1)$\frac{AD}{BD}=\frac{1}{2}$；
(2)$DC=3\ \mathrm{cm}$，$EC=2.4\ \mathrm{cm}$
【知识点】
平行线分线段成比例定理、比例线段计算
【点评】
本题是平行线分线段成比例定理的基础应用类题目，解题核心是准确识别平行线截得的对应线段，正确列出比例式即可求解，侧重对基础定理应用能力的考查。
【难度系数】
0.8
(1) 要求$\frac{AD}{BD}$的值，先根据已知的$AD$和$AB$的长度，利用线段的差求出$BD$的长度，再代入计算比值即可。
(2) 已知$DE // AF // BC$，可应用平行线分线段成比例定理得到对应线段的比值相等，结合第一问求出的比值，代入已知线段长度即可计算出$DC$和$EC$的值。
【解析】
(1) 已知$AD=2\ \mathrm{cm}$，$AB=6\ \mathrm{cm}$，则$BD=AB-AD=6-2=4\ \mathrm{cm}$，
因此$\frac{AD}{BD}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$。
(2) $\because DE // AF // BC$，根据平行线分线段成比例定理可得：
$\frac{AD}{BD}=\frac{FD}{DC}=\frac{AE}{EC}=\frac{1}{2}$，
将$FD=1.5\ \mathrm{cm}$代入$\frac{FD}{DC}=\frac{1}{2}$，得$DC=2FD=2×1.5=3\ \mathrm{cm}$；
将$AE=1.2\ \mathrm{cm}$代入$\frac{AE}{EC}=\frac{1}{2}$，得$EC=2AE=2×1.2=2.4\ \mathrm{cm}$。
【答案】
(1)$\frac{AD}{BD}=\frac{1}{2}$；
(2)$DC=3\ \mathrm{cm}$，$EC=2.4\ \mathrm{cm}$
【知识点】
平行线分线段成比例定理、比例线段计算
【点评】
本题是平行线分线段成比例定理的基础应用类题目，解题核心是准确识别平行线截得的对应线段，正确列出比例式即可求解，侧重对基础定理应用能力的考查。
【难度系数】
0.8
