1. [2026 三明三元区期末]根据以下素材，探索完成任务。
如何设计板材裁切方案
素材1
图1中是一张学生椅，主要由靠背、座子及铁架组成。经测量，该款学生椅的靠背尺寸为40 cm ×15 cm，座子尺寸为40 cm ×35 cm，图2是靠背与座子的尺寸示意图。

40 cm 靠背15 cm
座子35 cm
40 cm
素材2
因学校需要，某工厂配合制作该款学生椅。经清点库存时发现，工厂仓库已有大量的学生椅铁架，只需在市场上购进某型号板材加工制作该款学生椅的靠背与座子。已知该板材长为240 cm，宽为40 cm。（不计裁切损耗）
我是板材裁切师
任务1
拟定裁切方案
(1)若要不造成板材浪费，请你设计出一张该板材的所有裁切方法(可设裁切靠背m张、座子n张)。
方法一:裁切靠背16张和座子0张。
方法二:裁切靠背张和座子张。
方法三:裁切靠背张和座子张。
任务2
确定搭配数量
(2)若该工厂购进50张该型号板材，能制作成多少张该款学生椅？
任务3
解决实际问题
(3)现需要制作500张该款学生椅，该工厂仓库现有8张座子，还需要购买该型号板材多少张(恰好全部用完)？并给出一种裁切方案。

1. 解:(1)9 3 2 6
设一张该板材裁切靠背m张,座子n张,根据题意,得$15m + 35n = 240$,所以$n=\frac{48-3m}{7}$,因为m,n为非负整数,所以
$\begin{cases}m=16,\\n=0\end{cases}$或$\begin{cases}m=9,\\n=3\end{cases}$或$\begin{cases}m=2,\\n=6,\end{cases}$
所以方法二裁切靠背9张和座子3张,方法三裁切靠背2张和座子6张。
(2)因为$\frac{50×240}{35+15}=240$(张),
所以该工厂购进50张该型号板材,能制作成240张该款学生椅。
(3)答案不唯一。设用x张板材裁切靠背9张和座子3张,用y张板材裁切靠背2张和座子6张,
根据题意,得$\begin{cases}9x + 2y = 500,\\3x + 6y = 500 -8,\end{cases}$
解得$\begin{cases}x=42,\\y=61,\end{cases}$
因为42+61=103(张),
所以还需要购买该型号板材103张,用其中42张板材裁切靠背9张和座子3张,用61张板材裁切靠背2张和座子6张。