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1. [2025成都中考]中国古代数学著作《九章算术》中记载了这样一个题目:今有善田一亩,价三百;恶田七亩,价五百。今并买一顷,价钱一万。问:善、恶田各几何?大意:今有良田1亩价值300钱;劣田7亩价值500钱。今合买良、劣田1顷(100亩),价值10 000钱。问:良田、劣田各有多少亩?设良田为x亩,劣田为y亩,则可列方程组为 (
A.$\begin{cases} x + y = 100, \\ 300x + \dfrac{500}{7}y = 10\ 000 \end{cases}$
B.$\begin{cases} x + y = 100, \\ 300y + \dfrac{500}{7}x = 10\ 000 \end{cases}$
C.$\begin{cases} x + y = 100, \\ 300x + 500y = 10\ 000 \end{cases}$
D.$\begin{cases} x + y = 100, \\ 300y + 500x = 10\ 000 \end{cases}$
A
)A.$\begin{cases} x + y = 100, \\ 300x + \dfrac{500}{7}y = 10\ 000 \end{cases}$
B.$\begin{cases} x + y = 100, \\ 300y + \dfrac{500}{7}x = 10\ 000 \end{cases}$
C.$\begin{cases} x + y = 100, \\ 300x + 500y = 10\ 000 \end{cases}$
D.$\begin{cases} x + y = 100, \\ 300y + 500x = 10\ 000 \end{cases}$
答案
1.A
2. [2025凉山州中考]若$(3x + 2y - 19)^2 + |2x + y - 11| = 0$，则$x + y$的平方根是（
A.$8$
B.$\pm 8$
C.$\pm 2\sqrt{2}$
D.$2\sqrt{2}$
C
）A.$8$
B.$\pm 8$
C.$\pm 2\sqrt{2}$
D.$2\sqrt{2}$
答案
2.C 因为$(3x + 2y - 19)^2 + |2x + y - 11| = 0$, 所以
$\begin{cases}3x + 2y - 19 = 0,①\\2x + y - 11 = 0,②\end{cases}$
①-②×2,得$-x + 3 = 0$,解得$x=3$,把$x=3$代入②,得$2×3 + y -11=0$,解得$y=5$,所以$x+y=3+5=8$,所以$x+y$的平方根是$\pm 2\sqrt{2}$。
$\begin{cases}3x + 2y - 19 = 0,①\\2x + y - 11 = 0,②\end{cases}$
①-②×2,得$-x + 3 = 0$,解得$x=3$,把$x=3$代入②,得$2×3 + y -11=0$,解得$y=5$,所以$x+y=3+5=8$,所以$x+y$的平方根是$\pm 2\sqrt{2}$。
3. [2025 徐州中考] 若二元一次方程组$\begin{cases}3x + y = 3, \\2x - y = 2\end{cases}$的解为$\begin{cases}x = a, \\y = b,\end{cases}$则$a + b$的值为 ______ 。
答案
3.1 因为二元一次方程组$\begin{cases}3x + y = 3, \\2x - y = 2\end{cases}$的解为$\begin{cases}x = a, \\y = b,\end{cases}$所以
$\begin{cases}3a + b = 3,①\\2a - b = 2,②\end{cases}$
①+②,得$5a=5$,解得$a=1$,将$a=1$代入①,得$b=0$,所以$a+b=1+0=1$。
$\begin{cases}3a + b = 3,①\\2a - b = 2,②\end{cases}$
①+②,得$5a=5$,解得$a=1$,将$a=1$代入①,得$b=0$,所以$a+b=1+0=1$。
4. [2025广元中考]幻方的历史悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”中。把洛书用今天的数学符号翻译出来，就是一个三阶幻方（如图1），将9个数填在$3 × 3$（三行三列）的方格中，如果满足每个横行、每个竖列、每条对角线上的三个数字之和都相等，就得到一个广义的三阶幻方。图2的方格中填写了一些数字和字母，若能构成一个广义的三阶幻方，则$x^y = $
1
。答案
4.1 根据题意,得$\begin{cases}y-2=-4+2,\\y+2=-4+x,\end{cases}$解得$\begin{cases}x=6,\\y=0,\end{cases}$所以$x^y=6^0=1$。
5. [2025江西中考]某文物考古研究院用1:1复原的青铜蒸馏器进行了蒸馏酒实验。用复原的青铜蒸馏器蒸馏粮食酒和芋头酒，需要的原材料与出酒率(出酒率 = $\frac{出酒量}{糟醅量} × 100\%$)如下表：
如果第一次实验分别蒸馏出粮食酒和芋头酒共16公斤；第二次实验分别蒸馏出粮食酒和芋头酒共36公斤，且所用的粮食糟醅量是第一次的2倍，芋头糟醅量是第一次的3倍。
(1)第一次实验分别用了多少公斤粮食糟醅和芋头糟醅？
(2)受限于当时的生产条件，古代青铜蒸馏器的出酒量约为现代复原品的80%。若粮食糟醅中大米占比约为$\frac{1}{4}$，请问，在古代要想蒸馏出这两次实验得到的粮食酒总量，需要准备多少公斤大米？
如果第一次实验分别蒸馏出粮食酒和芋头酒共16公斤；第二次实验分别蒸馏出粮食酒和芋头酒共36公斤，且所用的粮食糟醅量是第一次的2倍，芋头糟醅量是第一次的3倍。
(1)第一次实验分别用了多少公斤粮食糟醅和芋头糟醅？
(2)受限于当时的生产条件，古代青铜蒸馏器的出酒量约为现代复原品的80%。若粮食糟醅中大米占比约为$\frac{1}{4}$，请问，在古代要想蒸馏出这两次实验得到的粮食酒总量，需要准备多少公斤大米？
答案
5. 解:(1)设第一次实验用了x公斤粮食糟醅,y公斤芋头糟醅,
根据题意,得$\begin{cases}30\%x + 20\%y = 16,\\30\% ×2x + 20\% ×3y = 36,\end{cases}$
解得$\begin{cases}x=40,\\y=20。\end{cases}$
答:第一次实验用了40公斤粮食糟醅,20公斤芋头糟醅。
(2)设需要准备m公斤大米,
根据题意,得$(m ÷ \frac{1}{4}) ×30\% ×80\% = (40 +40×2)×30\%$,
解得$m=37.5$。
答:需要准备37.5公斤大米。
根据题意,得$\begin{cases}30\%x + 20\%y = 16,\\30\% ×2x + 20\% ×3y = 36,\end{cases}$
解得$\begin{cases}x=40,\\y=20。\end{cases}$
答:第一次实验用了40公斤粮食糟醅,20公斤芋头糟醅。
(2)设需要准备m公斤大米,
根据题意,得$(m ÷ \frac{1}{4}) ×30\% ×80\% = (40 +40×2)×30\%$,
解得$m=37.5$。
答:需要准备37.5公斤大米。
