9. 新趋势·传统文化 [2026 晋中期末]2025 年 10 月10 日,故宫博物院迎来百年华诞。太和殿,又称“金銮殿”,位于紫禁城南北主轴线的显要位置,其建筑高与建筑和台基总高的比值约为$\frac{\sqrt{6}-1}{2}$,则与$\frac{\sqrt{6}-1}{2}$最接近的整数是 ()

A.1
B.2
C.3
D.4

因为$\sqrt{4}＜\sqrt{6}＜\sqrt{9}$,所以$2＜\sqrt{6}＜3$,所以$1＜\sqrt{6}-1＜2$,所以$\frac{1}{2}＜\frac{\sqrt{6}-1}{2}＜1$,所以与$\frac{\sqrt{6}-1}{2}$最接近的整数是1。

10. 教材P39T15 变式 [2026 驻马店联考]某计算器中有$\boxed{\sqrt{\ \ }}$,$\boxed{1/x}$,$\boxed{x^2}$三个按键,以下是这三个按键的功能。
① :将荧幕显示的数变成它的算术平方根。
② :将荧幕显示的数变成它的倒数。
③ :将荧幕显示的数变成它的平方。
如图,小明输入一个数据后,依次按照从第1步到第3步循环按键。

若一开始输入的数据为5,那么第2026步之后,显示的结果是 ()

A.5
B.0.2
C.0.04
D.25

由题意知,第1步结果为$5^2=25$,第2步结果为$\frac{1}{25}=0.04$,第3步结果为$\sqrt{0.04}=0.2$,第4步结果为$0.2^2=0.04$,第5步结果为$\frac{1}{0.04}=25$,第6步结果为$\sqrt{25}=5$,第7步结果为$5^2=25······$所以运算的结果以25,0.04,0.2,0.04,25,5这六个数循环出现,因为$2026÷6=337······4$,所以第2026步之后显示的结果为0.04。

11. 新趋势·数学文化 [2024 安徽中考] 我国古代数学家张衡将圆周率取值为$\sqrt{10}$,祖冲之给出圆周率的一种分数形式的近似值为$\frac{22}{7}$。比较大小:$\sqrt{10}$______$\frac{22}{7}$。(填“＞”或“＜”)

$(\sqrt{10})^2=10$,$(\frac{22}{7})^2=\frac{484}{49}$,因为$10＞\frac{484}{49}$,所以$\sqrt{10}＞\frac{22}{7}$。

12. 教材P38T11变式 利用计算器比较下列各组数的大小:(1) $\sqrt{18}$ $\sqrt[3]{35}$;(2) $\frac{8}{13}$ $\frac{\sqrt{6}-1}{2}$。
(填“＞”“＜”或“=”)

(1) ＞ ;(2) ＜

13. ▶新趋势·过程性学习 小李同学探索$\sqrt{86}$的近似值的过程如下：
因为面积为86的正方形的边长是$\sqrt{86}$，且$9 ＜ \sqrt{86} ＜ 10$，
所以设$\sqrt{86}=9+x$，其中$0 ＜ x ＜ 1$，画出示意图，如图所示。
根据示意图，可得$S_{大正方形}=81 + 2×9x + x^2$，
因为$S_{大正方形}=86$，所以$81 + 2×9x + x^2 = 86$。
当$x^2 ＜ 1$时，可忽略$x^2$，得$81 + 18x \approx 86$，解得$x \approx 0.28$，所以$\sqrt{86} \approx 9.28$。
(1)填空：$\sqrt{157}$的整数部分的值为；
(2)仿照上述方法，探究$\sqrt{157}$的近似值。(结果精确到0.01)
(答题要求：画出示意图，标明数据，并写出求解过程)

解:(1)12
因为$144＜157＜169$,所以$\sqrt{144}＜\sqrt{157}＜\sqrt{169}$,即$12＜\sqrt{157}＜13$,所以$\sqrt{157}$的整数部分的值为12。
(2)如图,$S_{大正方形}=144+2×12x+x^2$,
因为$S_{大正方形}=157$,所以$144+2×12x+x^2=157$。
当$x^2＜1$时,可忽略$x^2$,得$144+24x\approx157$,
解得$x\approx0.54$,
所以$\sqrt{157}\approx12.54$。

14. 推理能力 [2026 景德镇期中] 已知 $a,b,n$ 均为正整数。
(1)若 $n ＜ \sqrt{10} ＜ n+1$，则 $n = \_\_\_\_\_\_$；
(2)若 $n-1 ＜ \sqrt{a} ＜ n$，$n ＜ \sqrt{b} ＜ n+1$，则满足条件的 $a$ 的个数总比 $b$ 的个数少 ______ 个。

(1)3
因为$\sqrt{9} ＜ \sqrt{10} ＜ \sqrt{16}$,所以$3 ＜ \sqrt{10} ＜ 4$,因为$n ＜ \sqrt{10} ＜ n+1$,$n$ 为正整数,所以 $n=3$。
(2)2
因为 $n-1 ＜ \sqrt{a} ＜ n$,所以 $(n-1)^2 ＜ a ＜ n^2$,所以 $a$ 的个数为$n^2-(n-1)^2-1 = n^2 -n^2 +2n -1 -1 = 2n-2$,因为 $n ＜ \sqrt{b} ＜ n+1$,所以 $n^2 ＜ b ＜ (n+1)^2$,所以 $b$ 的个数为$(n+1)^2 -n^2 -1 = n^2 +2n +1 -n^2 -1 = 2n$,因为 $2n-(2n-2)=2$,所以满足条件的 $a$ 的个数总比 $b$ 的个数少 2 个。