登录
1. [2024新疆生产建设兵团中考]估计$\sqrt{5}$的值在（
A.2和3之间
B.3和4之间
C.4和5之间
D.5和6之间
A
）A.2和3之间
B.3和4之间
C.4和5之间
D.5和6之间
答案
因为$\sqrt{4} ＜ \sqrt{5} ＜ \sqrt{9}$,所以$2 ＜ \sqrt{5} ＜ 3$,所以估计$\sqrt{5}$的值在2和3之间。
变式 [2026 南京玄武区期末] 下列整数中，与$\sqrt{22} - 2$最接近的整数是（
A.1
B.2
C.3
D.4
C
）A.1
B.2
C.3
D.4
答案
因为$\sqrt{16} ＜ \sqrt{22} ＜ \sqrt{25}$,所以$4 ＜ \sqrt{22} ＜ 5$,又因为$4.5^2 = 20.25 ＜ 22$,所以$4.5 ＜ \sqrt{22} ＜ 5$,所以$4.5 - 2 ＜ \sqrt{22} - 2 ＜ 5 - 2$,即$2.5 ＜ \sqrt{22} - 2 ＜ 3$,所以$\sqrt{22} - 2$最接近的一个整数是3。
2. [2025陕西中考]满足$\sqrt{2} ＜ a ＜ 5$的整数a可以是
3
。（写出一个符合题意的数即可）答案
(答案不唯一)3
3. 新趋势·过程性学习 [2026 扬州期末] 小明同学探索$\sqrt{7}$的整数部分和小数部分的过程如下:因为$\sqrt{4}＜\sqrt{7}＜\sqrt{9}$,即$2＜\sqrt{7}＜3$,所以$\sqrt{7}$的整数部分为2,小数部分为$\sqrt{7}-2$。
请你根据上述的方法解决下列问题:
(1)如果$\sqrt{2}$的整数部分为$a$,小数部分为$b$,求$a - b$的值;
(2)已知$m$是$\sqrt{17}-3$的整数部分,$n$是$\sqrt{17}-3$的小数部分,求$(-m)^3 + (n + 4)^2$的平方根。
请你根据上述的方法解决下列问题:
(1)如果$\sqrt{2}$的整数部分为$a$,小数部分为$b$,求$a - b$的值;
(2)已知$m$是$\sqrt{17}-3$的整数部分,$n$是$\sqrt{17}-3$的小数部分,求$(-m)^3 + (n + 4)^2$的平方根。
答案
(1)因为$1 ＜ \sqrt{2} ＜ 2$,
所以$\sqrt{2}$的整数部分为1,小数部分为$\sqrt{2}-1$,即$a = 1,b = \sqrt{2}-1$,
所以$a - b = 1 - \sqrt{2} + 1 = 2 - \sqrt{2}$。
(2)因为$\sqrt{16} ＜ \sqrt{17} ＜ \sqrt{25}$,所以$4 ＜ \sqrt{17} ＜ 5$,
所以$4 - 3 ＜ \sqrt{17} - 3 ＜ 5 - 3$,即$1 ＜ \sqrt{17} - 3 ＜ 2$,
所以$\sqrt{17} - 3$的整数部分为1,$\sqrt{17} - 3$的小数部分为$\sqrt{17} - 3 - 1 = \sqrt{17} - 4$,即$m = 1,n = \sqrt{17} - 4$,
所以$(-m)^3 + (n + 4)^2 = (-1)^3 + (\sqrt{17} - 4 + 4)^2 = 16$,
所以$(-m)^3 + (n + 4)^2$的平方根为$\pm4$。
所以$\sqrt{2}$的整数部分为1,小数部分为$\sqrt{2}-1$,即$a = 1,b = \sqrt{2}-1$,
所以$a - b = 1 - \sqrt{2} + 1 = 2 - \sqrt{2}$。
(2)因为$\sqrt{16} ＜ \sqrt{17} ＜ \sqrt{25}$,所以$4 ＜ \sqrt{17} ＜ 5$,
所以$4 - 3 ＜ \sqrt{17} - 3 ＜ 5 - 3$,即$1 ＜ \sqrt{17} - 3 ＜ 2$,
所以$\sqrt{17} - 3$的整数部分为1,$\sqrt{17} - 3$的小数部分为$\sqrt{17} - 3 - 1 = \sqrt{17} - 4$,即$m = 1,n = \sqrt{17} - 4$,
所以$(-m)^3 + (n + 4)^2 = (-1)^3 + (\sqrt{17} - 4 + 4)^2 = 16$,
所以$(-m)^3 + (n + 4)^2$的平方根为$\pm4$。
4. [2024威海中考]下列各数中，最小的数是（
A.$-2$
B.$-(-2)$
C.$-\dfrac{1}{2}$
D.$-\sqrt{2}$
A
）A.$-2$
B.$-(-2)$
C.$-\dfrac{1}{2}$
D.$-\sqrt{2}$
答案
因为$-(-2) = 2, -2 ＜ -\sqrt{2} ＜ -\dfrac{1}{2} ＜ 2$,所以$-2 ＜ -\sqrt{2} ＜ -\dfrac{1}{2} ＜ -(-2)$,所以最小的数是$-2$。
5. [2026 杭州上城区期末]若 $m=3,n=\sqrt{10},k=\sqrt[3]{7}$,
则 $m,n,k$ 的大小关系是 $\quad (\quad)$
A.$k ＜ m ＜ n$
B.$m ＜ k ＜ n$
C.$k ＜ n ＜ m$
D.$m ＜ n ＜ k$
则 $m,n,k$ 的大小关系是 $\quad (\quad)$
A.$k ＜ m ＜ n$
B.$m ＜ k ＜ n$
C.$k ＜ n ＜ m$
D.$m ＜ n ＜ k$
答案
$m^6 = 729,n^6 = 1\ 000,k^6 = 49$,因为$49 ＜ 729 ＜ 1\ 000$,所以$k^6 ＜ m^6 ＜ n^6$,又因为$m,n,k$都是正数,所以$k ＜ m ＜ n$。
6. [2025 北京育英学校期末] 比较大小：
(1) $\sqrt{40}$
(1) $\sqrt{40}$
＞
$6$；(2) $\sqrt{12} - 1$ ＜
$3$。答案
(1) ＞;(2) ＜ (1)因为$\sqrt{40} ＞ \sqrt{36}$,所以$\sqrt{40} ＞ 6$。
(2)因为$\sqrt{9} ＜ \sqrt{12} ＜ \sqrt{16}$,所以$3 ＜ \sqrt{12} ＜ 4$,所以$3 - 1 ＜ \sqrt{12} - 1 ＜ 4 - 1$,即$2 ＜ \sqrt{12} - 1 ＜ 3$,所以$\sqrt{12} - 1 ＜ 3$。
(2)因为$\sqrt{9} ＜ \sqrt{12} ＜ \sqrt{16}$,所以$3 ＜ \sqrt{12} ＜ 4$,所以$3 - 1 ＜ \sqrt{12} - 1 ＜ 4 - 1$,即$2 ＜ \sqrt{12} - 1 ＜ 3$,所以$\sqrt{12} - 1 ＜ 3$。
7. 教材P36 思考·交流变式 比较$\frac{\sqrt{2}-1}{3}$与$\frac{1}{3}$的大小。
答案
解:因为$\dfrac{\sqrt{2} - 1}{3} - \dfrac{1}{3} = \dfrac{\sqrt{2} - 2}{3}$,$\sqrt{2} - 2 ＜ 0$,
所以$\dfrac{\sqrt{2} - 2}{3} ＜ 0$,所以$\dfrac{\sqrt{2} - 1}{3} ＜ \dfrac{1}{3}$。
所以$\dfrac{\sqrt{2} - 2}{3} ＜ 0$,所以$\dfrac{\sqrt{2} - 1}{3} ＜ \dfrac{1}{3}$。
8. 教材P36例7变式 如图,校园里的旗杆AC高11 m(旗杆垂直于地面),小强和小军想要在旗杆顶部点A与地面一固定点B之间拉一根直的铁丝,小强已测量出固定点B到旗杆底部C的距离是8 m,小军已准备好一根长12.3 m的铁丝,你认为这根铁丝的长度够用吗?并说明理由。
答案
解:这根铁丝的长度不够用。理由如下:
由题意可知,$AC = 11\ \mathrm{m},BC = 8\ \mathrm{m}$,
因为旗杆$AC$垂直于地面,所以$△ ABC$是直角三角形,
由勾股定理,得$AB^2 = AC^2 + BC^2 = 11^2 + 8^2 = 185$,
因为$\sqrt{185} ＞ \sqrt{169}$,
所以$\sqrt{185} ＞ 13 ＞ 12.3$,
所以这根铁丝的长度不够用。
由题意可知,$AC = 11\ \mathrm{m},BC = 8\ \mathrm{m}$,
因为旗杆$AC$垂直于地面,所以$△ ABC$是直角三角形,
由勾股定理,得$AB^2 = AC^2 + BC^2 = 11^2 + 8^2 = 185$,
因为$\sqrt{185} ＞ \sqrt{169}$,
所以$\sqrt{185} ＞ 13 ＞ 12.3$,
所以这根铁丝的长度不够用。
