15. 如图,直线 $ l $ 是四边形 $ A B C D $ 的一条对称轴,如果 $ A B // C D $,有下列结论:①$ A D // B C $;②$ A B = B C $;③$ A B \perp A D $;④$ O A = O C $.其中正确的结论是______.(填写序号)

①②④

16. 如图,在正方形 $ A B C D $ 中,点 $ G $ 在 $ B C $ 边上,连接 $ A G $,$ D E \perp A G $ 于点 $ E $,$ B F \perp A G $ 于点 $ F $,若 $ B F = 4 $,$ D E = 9 $,则 $ E F $ 的长为______.

$5$

17. 如图,点 $ E $ 是正方形 $ A B C D $ 内一点,如果 $ \triangle A B E $ 为等边三角形,则 $ \angle D C E = $______度.

$15$

18. 如图,点 $ O $ 为直线 $ M N $ 上一点,点 $ P $ 为射线 $ O C $ 上一点,$ O A $,$ O B $ 分别是 $ \angle M O C $,$ \angle N O C $ 的平分线,$ P E // O B $,$ P F // O A $,判定四边形 $ P E O F $ 的形状,并说明理由.

四边形$PEOF$是矩形。理由如下：
因为$OA$平分$\angle MOC$，$OB$平分$\angle NOC$，所以$\angle AOC=\frac{1}{2}\angle MOC$，$\angle BOC=\frac{1}{2}\angle NOC$。
又$\angle MOC + \angle NOC=180^{\circ}$，所以$\angle AOC+\angle BOC=\frac{1}{2}(\angle MOC+\angle NOC) = 90^{\circ}$，即$\angle EOF = 90^{\circ}$。
因为$PE// OB$，$PF// OA$，所以四边形$PEOF$是平行四边形（两组对边分别平行的四边形是平行四边形）。
又因为$\angle EOF = 90^{\circ}$，所以平行四边形$PEOF$是矩形（有一个角是直角的平行四边形是矩形）。
故四边形$PEOF$是矩形。

19. 如图,$ A E // B F $,$ A C $ 平分 $ \angle B A E $,且交 $ B F $ 于点 $ C $,$ B D $ 平分 $ \angle A B F $,且交 $ A E $ 于点 $ D $,连接 $ C D $.
(1)求证:四边形 $ A B C D $ 是菱形.
(2)若 $ \angle A D B = 30 ^ { \circ } $,$ B D = 6 $,求 $ A D $ 的长.

$(1)$ 证明如上；$(2)$ $AD$的长为$\boldsymbol{2\sqrt{3}}$。