3.已知$2m - 3n = -4$,则代数式$m(n - 4) - n(m - 6)$的值为.

3.8 【解析】因为$2m-3n=-4$,所以$-4m+6n=8$.
$m(n-4)-n(m-6)=mn-4m -mn +6n=-4m+6n=-2(2m-3n)=8.$

【典型例题 3】先化简，再求值：
$(2x+y)^2 - (2x+y)(2x-y) - 2y(x+y)$，
其中 $x=(\dfrac{1}{2})^{2025}, y=2^{2024}$。
【解】原式$=4x^2 + 4xy + y^2 - 4x^2 + y^2 - 2xy - 2y^2 = 2xy$，
当 $x=(\dfrac{1}{2})^{2025}, y=2^{2024}$ 时，原式$=2×(\dfrac{1}{2})^{2025}×2^{2024}=2×\dfrac{1}{2}×(\dfrac{1}{2})^{2024}×2^{2024}=(\dfrac{1}{2}×2)^{2024}=1^{2024}=1$。

解：
原式$=4x^2 + 4xy + y^2 - (4x^2 - y^2) - 2xy - 2y^2$
$=4x^2 + 4xy + y^2 - 4x^2 + y^2 - 2xy - 2y^2$
$=2xy$
当$x=(\dfrac{1}{2})^{2025}$，$y=2^{2024}$时，
原式$=2× (\dfrac{1}{2})^{2025} × 2^{2024}$
$=2× \dfrac{1}{2} × (\dfrac{1}{2})^{2024} × 2^{2024}$
$=(\dfrac{1}{2} × 2)^{2024}$
$=1^{2024}$
$=1$

4. 先化简，再求值：$5(x - 1)^2 - (2x + 3)(2x - 3)$，其中实数$x$满足$10x - x^2 - 5 = 0$。

【解】原式$=5(x^2-2x+1)-(4x^2-9)=5x^2-10x+5-4x^2+9=x^2-10x+14.$
因为x满足$10x -x^2 -5=0$,
所以$x^2-10x=-5$,
所以原式$=-5+14=9.$

【知识回顾】我们在学习代数式求值时，遇到这样一类题：代数式 $ ax - y + 6 + 3x - 5y - 1 $ 的值与 $ x $ 的取值无关，求 $ a $ 的值。
通常的解题思路：把 $ x, y $ 看作字母，$ a $ 看作系数，合并同类项。因为代数式的值与 $ x $ 的取值无关，所以含 $ x $ 项的系数为 0。
具体解题过程：原式 $ = (a + 3)x - 6y + 5 $，
因为代数式的值与 $ x $ 的取值无关，
所以 $ a + 3 = 0 $，解得 $ a = -3 $。
【理解应用】（1）若关于 $ x $ 的多项式 $ m(2x - 3) + 2m^2 - 4x $ 的值与 $ x $ 的取值无关，求 $ m $ 的值。
（2）已知 $ A = -2x^2 - 2(2x + 1) - x(1 - 3m) + x $，$ B = -x^2 - mx + 1 $，且 $ A - 2B $ 的值与 $ x $ 的取值无关，求 $ m $ 的值。
【能力提升】（3）7 张如图1所示的小长方形，长为 $ a $，宽为 $ b $，按照图2所示的方式不重叠地放在大长方形 $ ABCD $ 内，大长方形中未被覆盖的两个部分都是长方形。设右上角长方形的面积为 $ S_1 $，左下角长方形的面积为 $ S_2 $，当 $ AB $ 的长变化时，$ S_1 - S_2 $ 的值始终保持不变，求 $ a $ 与 $ b $ 的数量关系。

【解】(1)$m(2x-3)+2m^2-4x=2mx-3m+2m^2-4x=(2m-4)x+2m^2-3m$,因为其值与x的取值无关,所以$2m-4=0$,所以$m=2.$
(2)因为$A=-2x^2-2(2x+1)-x(1-3m)+x$,$B=-x^2-mx+1$,所以$A-2B=-2x^2-2(2x+1)-x(1-3m)+x-2(-x^2-mx+1)=-2x^2-4x-2-x+3mx+x+2x^2+2mx-2=(5m-4)x-4.$因为$A-2B$的值与x无关,所以$5m-4=0$,即$m=\dfrac{4}{5}.$
(3)设$AB=x$,由题图可知$S_1=a(x-3b)$,$S_2=2b(x-2a)$,所以$S_1-S_2=a(x-3b)-2b(x-2a)=(a-2b)x+ab.$因为当AB的长变化时,$S_1-S_2$的值始终保持不变,所以$S_1-S_2$的取值与x无关,所以$a-2b=0$,所以$a=2b.$